文档文本内容
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、单选题
1．如图，在
中，
分别以点A、C 为圆心，大于
长为半径画弧，两弧分别相交于点
M、N，直线
与
相交于点E．过点C 作
，垂足为点D，
与
相交于点F．若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接DE，如图，利用基本作图得到AE=CE，则DE 为斜边AC 的中线，所以DE=AE=CE，则
∠ADE=∠A=34°，接着证明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性质计算∠BFC 的度数．
【详解】连接DE，如图，
由作法得MN 垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDE=90°，
∵DE 为斜边AC 的中线，
∴DE=AE=CE，
∴∠ADE=∠A=34°，
∵BD=CE，
∴BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=
∠ADE=17°，
∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．
故选：B．
【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已
知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
2．如图，在△ABC 中，AB=5，BC=6，AC 的垂直平分线分别交BC，AC 于点D，E，则△ABD 的周长为（ ）
A．8
B．11
C．16
D．17
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到
，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵DE 是线段AC 的垂直平分线，
∴
，
∴
的周长
，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线性质，并将周长转化成已知边得
长度是解题的关键．
3．如图，在△ABC 中，按以下步骤：①分别以点B，C 为圆心，大于
BC 长为半径作弧，两弧交于点
M，N；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD，若AB＝10，AC＝4，则△ACD 的周长是（ ）
A．24
B．18
C．14
D．9
【答案】C
【分析】根据作图得到MN 是线段BC 的垂直平分线，得到BD＝DC，再根据周长公式进行线段代换即可求
解．
【详解】由作图可知MN 是线段BC 的垂直平分线，
∴BD＝DC，
∴△ACD 的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝14．
故选：C
【点评】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，根据题意得到MN 是线段BC 的垂直平分线是解题
关键．
4．如图，在
中，
，点
，分别以点B 和点C 为圆心，大于
的
长为半径作弧，两弧交于E，F 两点，作直线
，交
于点H，交
于点G．若
，则点
G 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】过点B 作
轴于N，过点C 作
交
的延长线于M．证明
，推出
，设
，则
，构建方程组，
解决问题即可．
【详解】过点B 作
轴于N，过点C 作
交
的延长线于M．
由作图可知，
垂直平分线段
，
∴点G 是
的中点，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴点
．
故选：D．
【点评】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，将
放在每个小正方形的边长均为1 的网格中，点A、B、C 均落在格点上，若点B 的坐标
为
，点C 的坐标为
，则到
三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据点B、C 的坐标确定平面直角坐标系，再根据线段垂直平分线的性质确定出交点坐标即可．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系．
作线段AC、AB 的垂线，交点为O，
由图可知：OA=OB=OC，
∴到
三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0）．
故答案为：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
6．如图，在
中，点
是
的中点，分别以点
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧
交于
，直线
交
于点
，连接
．若
的周长为10，则
的周长为（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】D
【分析】△ABE 的周长为AB+AE+BE=10，根据DE 是线段AC 的垂直平分线，得AE=EC，得到AB+BC=10，
AC=2AD=6，计算周长即可
【详解】∵ED 是线段AC 的垂直平分线，
∴AE=EC，
∵△ABE 的周长为AB+AE+BE=10，
∴AB+BC=10，
∵AC=2AD=6，
∴△ABC 的周长为AB+BC+AC=10+6=16，
故选D
【点评】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长，灵活运用线段垂直平分线的性质实施线段的等量
代换是解题的关键．
7．如图，在
中，
，
，以
为圆心，任意长为半径画弧交
于
、
于
，再分别以
、
为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点
，连接
并延长交
于
，下列四个结论：①
是
的平分线；②
；③点
在
的中垂线上；④
．其中正确的有（ ）
A．只有①②③
B．只有①②④
C．只有①③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．
【详解】根据作图过程可知
是
的角平分线，①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADC=60°，故②正确；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∴CD=
AD，
∵AD=DB，
∴CD=
DB，
∴CD=
CB，
S△ACD=
CD•AC，S△ACB=
CB•AC，
∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，
故选D．
【点评】本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟
练掌握有关知识点是解答的关键．
8．如图，在
中，
垂直平分
，垂足为E，
平分
于点M，
的延长线于点N，己知
，则
（ ）
A．5
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】因为ED 是BC 的垂直平分线，那么BD=CD，而AD 是∠BAC 的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角
平分线的性质可得DM=DN，再根据 HL 可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．
【详解】连接BD，如图：
∵DE 所在直线是BC 的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD 平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BMD 与Rt△CDN 中
，
∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN=4，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的
定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．
二、填空题
9．如图，在
中，
垂直平分AB，垂足为Q，交BC 于点P．按以下步骤
作图：以点A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB 于点D，E；分别以点D，E 为圆心，以大
于
的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF 与直线PQ 相交于点G，则
的度数
为__________度．
【答案】56
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线
可得△AQG 是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
【详解】∵△ABC 是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，
由作法可知，AG 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAG＝
∠BAC＝34°，
∵PQ 是AB 的垂直平分线，
∴△AGQ 是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90°−∠BAG＝90°−34°＝56°，
故答案为：56．
【点评】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平
分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．
10．如图，直线l 为线段
的垂直平分线，垂足为C，直线l 上的两点E，F 位于
异侧（E，F 两点不与
点C 重合）．只需添加一个条件即可证明
，这个条件可以是____．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定直接写出条件即可
【详解】证明：添加：
，理由如下：
∵直线l 为线段
的垂直平分线
∴AC=CB,∠ACE=∠BCF
又
∴
（SAS）
故答案为：
【点评】本题考查全等三角形的判定，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定是关键
11．如图，
是
中
边的垂直平分线，若
，则
的周长为_____
．
【答案】9
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD=CD，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】∵DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴BD+CD=BD+AD=AB=5cm，
∴△EBC 的周长=BC+BD+CD=4+5=9（cm）．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解
答本题的关键．
12．如图，在
中，线段
的垂直平分线交
于点
，连接
，若
，
，则
的度数为_____°．
【答案】30
【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的
性质得到∠A=∠B，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】∵∠C=80°，∠CBD=40°，
∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，
∵线段AB 的垂直平分线交AC 于点D，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=
∠CDB=30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O 是AB 边的中点，点P 是射线AC 上的一个动
点，BQ∥CA 交PO 的延长线于点Q，OM⊥PQ 交BC 边于点M．当CP＝1 时，BM 的长为_____．
【答案】2.5 或1
【分析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．
【详解】如图，设BM＝x，
在Rt△ABC 中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝
＝
＝8，
∵QB∥AP，
∴∠A＝∠OBQ，
∵O 是AB 的中点，
∴OA＝OB，
在△OAP 和△OBQ 中，
，
∴△OAP≌△OBQ（ASA），
∴PA＝BQ＝6
1
﹣＝5，OQ＝OP，
∵OM⊥PQ
，
∴MQ＝MP，
∴52+x2＝12+（8﹣x）
2，
解得x＝2.5．
当点P 在AC 的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）
2，
解得x＝1，
综上所述，满足条件的BM 的值为2.5 或1．
故答案为：2.5 或1．
【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键
是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
14．如图，OA，OB 分别是线段MC、MD 的垂直平分线，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小蚂蚁
从点M 出发，爬到OA 边上任意一点E，再爬到OB 边上任意一点F，然后爬回M 点，则小蚂蚁爬行的最短
路径的长度为_____．
【答案】10cm
【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】设CD 与OA 的交点为E，与OB 的交点为F，
∵OA、OB 分别是线段MC、MD 的垂直平分线，
∴ME＝CE，MF＝DF，
∴小蚂蚁爬行的路径最短＝CE+EF+DF=CD＝10cm，
故答案为：10cm．
【点评】本题考查了轴对称的性质-最短路径的问题，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握知
识点．
三、解答题
15．如图，已知直线
，直线
分别与
、
交于点
、
．请用尺规作图法，在线段
上求作点
，
使点
到
、
的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作出线段AB 的垂直平分线即可．
【详解】如图所示，点
即为所求．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图．
16．如图，
为半圆O 的直径，且
为半圆上的一点，
．
（1）请用尺规作图在
上作一点D，使得
；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接
，若
，求
的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】（1）延长
，在
的延长线上截取
，使得
，作线段
的垂直平分线垂足为
D，点D 即为所求作；
（2）解直角三角形求出
，可得结论．
【详解】（1）如图，作法如下：
延长
，在
的延长线上截取
，使得
；
分别以点E，B 为圆心，大于
画弧，作BE 的中垂线，中垂线与BE 的交点即为所求的D 点．
（2）连接
．
，
∴OD 为△ABE 的中位线，
∴
，
是直径，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点评】本题主要考查了利用垂直平分线的性质作图、解直角三角等知识，解题的关键是运用圆的直径所
对的圆周角为直角，确定为直角三角形，再进行求解．
17．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC＜BC．
（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．
①作出AB 的垂直平分线MN，MN 分别与AB 交于点D，与BC 交于点E．
②过点B 作BF 垂直于AE，垂足为F．
（2）推理证明：求证AC=BF．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析
【分析】（1）①根据垂直平分线的作法得出即可；②延长
，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的
作法得出即可；
（2）根据垂直平分线的性质得到AE=BE，再加上
，
，证得：
，根据全等的性质得
．
【详解】（1）①②：
如图直线MN，BF 就是所要求的作的图形．
（2）证明：∵MN 垂直平分AB，
∴AE=BE．
∵BF⊥AE，垂足为F，
∴
．
∵
，
∴
．
∴AC=BF．
【点评】此题主要考查了垂直平分线的作法、过直线外一点作已知直线的垂线的作法、垂直平分线性质以
及全等三角形的应用，根据已知得出AE 与BE 的关系是解题关键．
18．如图，已知
的周长为
，根据要求解答下列问题：
（1）用直尺和圆规作出
的边
的垂直平分线
，分别交
、
于点
、
，连接
，
请写出画法并保留作图痕迹；
（2）若
，求
的周长．
【答案】（1）作图见解析；（2）
．
【分析】（1）如图，分别以点
、
为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直
线分别交
、
于点
、
，则直线
就是
的垂直平分线．
（2）利用线段的垂直平分线的性质得
从而解决问题即可．
【详解】（1）如图，直线
即为所求作．
（2）
直线
是
的垂直平分线，
，
cm，
cm，
又∵
cm，
，
cm，
即
的周长为
cm．
【点评】本题考查作图
复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
19．如图，在
中，
．
（1）请用尺规作图：作
的平分线
，
交
于点
；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若点
恰好在线段
的垂直平分线上，求
的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】（1）以点A 为圆心，以任意长为半径画弧交AC，AB 于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两
点距离的一半长为半径画弧，连结点A 与这两弧交点交BC 于点D．
（2）根据线段垂直平分线的性质可得
，结合角平分线的性质可得
，根
据直角三角形的性质即可求出
的度数．
【详解】（1）如答题20 图，
即为所求．
（2）∵点
恰好在线段
的垂直平分线上，
∴
；
∴
．
∵
，
∴
∴
．
【点评】本题主要考查了基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质．正确
掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．如图，在钝角
中，
．
（1）作
的垂直平分线，与边
，
分别交于点
、
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹）；
（2）在（1）的条件下，过点
作
交
的延长线于点
，连接
，求证
．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）利用尺规作图法作AC 的垂直平分线即可；
（2）在（1）的条件下，画出△ABC 的AC 边上的高BH 即可，进而可以写出∠ADE 和∠HBC 的大小关系．
【详解】（1）如图，AC 的垂直平分线DE 即为所求；
（2）在（1）的条件下，AC 边上的高BH 即为所求．
∠ADE 和∠HBC 的大小关系为：相等．理由如下：
∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝EC，
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵BH⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BH，
∴∠CDE＝∠HBC，
∴∠ADE＝∠HBC．
【点评】本题考查了作图−复杂作图、线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关
键是掌握线段垂直平分线的性质．
21．如图，两条公路
和
相交于点
，在
的内部有工厂
和
，现要修建一个货站
到两
条公路
，
的距离相等，且到两工厂
，
的距离也相等，用尺规作出货站
的位置．（要求：不
写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【答案】见解析
【分析】根据题意作
的平分线
，
的垂直平分线
，其交点即为所求．
【详解】如图，作
的平分线
，
的垂直平分线
，
与
的交点就是货站
的位置．
【点评】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知角平分线与垂直平分线的性质．
22．如图，在每个小正方形边长为1 的方格纸中，
ABC 的顶点都在方格纸格点上．
（1）将
ABC 经过平移后得到
，图中标出了点B 的对应点
，补全
；
（2）若连接
，
，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）画出AC 边上的高线BD；
（4）画出
ABC 中AC 边上的中线BE；
（5）
BCE 的面积为 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）平行且相等；（3）作图见解析；（4）作图见解析；（5）4
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得到答案；
（2）连接
，
，结合（1）的结论，根据平移的性质分析，即可得到答案；
（3）以点
为圆心作圆弧，与
分别相交于点
、
；根据垂直平分线的性质，分别以点
、
为圆
心，大于
为半径作圆弧，相交于点
；连接
并交
于点
，连接
，即可得到答案；
（4）根据垂直平分线的性质，分别以点
、
为圆心，大于
为半径作圆弧，分别相交于点
、
，
连接
；直线
与
相交于点
，点
即为
中点，从而完成求解；
（5）结合（4）的结论，根据中线的性质，得
，通过计算
，即可得到答案．
【详解】（1）结合题意，根据平移的性质作图如下：
（2）如图，连接
，
根据（1）的结论，得
，且
根据平移的性质，
沿
平移得
∴
，
这两条线段之间的关系是平行且相等
故答案为：平行且相等；
（3）以点
为圆心作圆弧，与
分别相交于点
、
；
分别以点
、
为圆心，大于
为半径作圆弧，相交于点
；连接
并交
于点
，连接
，
线段
即为AC 边上的高；
（4）分别以点
、
为圆心，大于
为半径作圆弧，分别相交于点
、
，连接
；
直线
与
相交于点
；连接
，
即为所求；
（5）根据（4）的结论，得
∵
∴
故答案为：4．
【点评】本题考查了平移、垂直平分线、三角形中线的知识；解题的关键是熟练掌握平移、垂直平分线、
三角形中线的性质，从而完成求解．
