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线段的垂直平分线——巩固练习（基础）
【巩固练习】
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D，交BC 于点E．已知
∠BAE=10°，则∠C 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，交BC 于点D，交AB 于点E，已知AE=1cm，
△ACD 的周长为12cm，则△ABC 的周长是（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
3． 如图，在△ABE 中，∠A=105°，AE 的垂直平分线MN 交BE 于点C，且AB+BC=BE，则∠B 的度
数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
4．如图，已知直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 上一点，且CE=EB，ED⊥CB 于D，则下列
结论中不一定成立的是（ ）
A．AE=BE B．CE= 2
1
AB C．∠CEB=2∠A D．AC= 2
1
AB
5．如图，等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D，交AC 于E，连接
BE，则∠CBE 等于（ ）
A、80°
B、70°
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C、60°
D、50°
6．如图所示，BE⊥AC 于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）．
A．25° B．27° C．30° D．45°
二．填空题
7． ΔABC 中，若AB－AC＝2cm，BC 的垂直平分线交AB 于D 点，且ΔACD 的周长为14cm，则AB
＝_____，AC_____．
8．如图，ΔABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交AC 于P 点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC 的周长＝_____．
9．如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D，交边AB 于点E．若△EDC 的周
长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为 ．
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝2cm， AB 的垂直平分线MN 交AC 于D，连结
BD，则AC 的长是___________cm．
11．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC，AB 于点D，E． 若∠CBD :
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∠DBA ＝3:1，则∠A 的度数为________．
12．如图，在△ABC 中，AC＝16cm，AB 的垂直平分线交AC 于D，如果BC＝10 cm，
那么△BCD 的周长是 cm．
三．解答题：
13．已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于F．
求证：∠BAF=∠ACF．
14．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，E 为CD 的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE 交BC 的延
长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．
15．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P 到该镇所属A
村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C 不在同一直线上，地理位置如下图），
请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕
迹．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】B；
【解析】∵∠B=90°，∠BAE=10°∴∠AEB=80°,由线段垂直平分线的性质，AE=CE，
∠EAC=∠C, ∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,∴∠C=40°
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２．【答案】B；
【解析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，AB=2AE=2 ，又∵△ACD 的周长
=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12,∴△ABC 的周长是12+2=14（cm）.
3．【答案】C；
【解析】连结AC, 利用线段垂直平分线的性质知∠E=∠EAC AC=CE，等量代换得AB=CE=AC，
利用三角形的外角性质得∠B=∠ACB=2∠E，从而根据三角形的内角和计算．
4．【答案】D；
【解析】∵CE=EB，∴∠B=∠BCE．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠A+∠B=90°．
∴∠A=∠ACE．
∴AE=CE=EB．
故选项A、B 都正确；
∵∠ACB=90°，ED⊥CB，
∴AC∥ED．
则∠A=∠DEB，∠CED=∠ACE．
又∠A=∠ACE，
∴∠CEB=2∠A．
故选项C 正确；
当∠B=30°或∠A=60°时，选项D 才成立．
故选D．
5．【答案】C；
【解析】三角形垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
6．【答案】B ；
【解析】AC，BD 互为对方的中垂线，∠ABD＝∠CBD＝∠E＝54°÷2＝27°．
二．填空题
7．【答案】8, 6；
【解析】由题意，BD＝CD，AB－AC＝2，AB＋AC＝14，解得AB＝8；AC＝6．
8.【答案】70, 8；
【解析】由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°，
∠BPC＝70°．ΔPBC 的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝5＋3＝8cm．
9．【答案】6；
【解析】∵ED+DC+EC=24，①（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=12 即
BE+BD-DE=12．②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．
10．【答案】6；
【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半．AD＝DB＝4，AC＝4＋2＝6．
11．【答案】18°；
【解析】∠A＝∠ABD＝x，∠CBD＝3x，5x＝90°，x＝18°．
12．【答案】26；
【解析】△BCD 的周长＝BD＋DC＋BC＝ AD＋DC＋BC＝16＋10＝26cm．
三．解答题
13．【解析】
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠1=∠2，
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∵FE 是AD 的垂直平分线，
∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），
∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，
∴∠BAF=∠ACF．
14．【解析】
证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是CD 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中，
ADC
ECF,
DE
EC,
AED
FEC,
∴△ADE≌△FCE（A．S．A），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE 且Ｆ是BC 与AE 延长线的交点
∴BE 是线段AF 的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
15．【解析】
解：已知、B 村、C 村，
求作新建一个医疗点P，使P 到该镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等．
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