文档文本内容
2016-2017 学年河南省许昌市长葛市九年级（下）第一次月考数
学试卷
一、选择题（每题3 分，共24 分）
1．﹣
的倒数是（ ）
A．2B．﹣2 C．
D．
2．不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C ．
D．
3．在一次数学测试中，某学习小组6 名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，
82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82
B．中位数是82 C．极差是30
D．平均数是82
4．下列运算正确的是（ ）
A．﹣a（a
b
﹣）=
a
﹣
2
ab
﹣
B．（2ab）
2÷a2b=4ab C．2ab•3a=6a2b D．（a
1
﹣）（1
a
﹣）
=a2
1
﹣
5．如图是由5 个相同的小正方体构成的几何体，其左视图是（ ）
第1页（共34页）
A．
B．
C．
D．
6．任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、
FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△EGH 为等腰三角形B．△EGF 为等边三角形
C．四边形EGFH 为菱形D．△EHF 为等腰三角形
7．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B、C
不重合），作BE⊥AD 于E，CF⊥AD 于F，则BE+CF 的值（ ）
A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小
8．如图，在边长为2 的正方形ABCD 中剪去一个边长为1 的小正方形CEFG，动点
P 从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止
（不含点A 和点B），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
第2页（共34页）
二、填空题（每题3 分，共21 分）
9．在“2016 丝绸之路”国际投资贸易洽谈会上，我省销售的产品和合作项目签
约金额为730000000 元，将730000000 用科学记数法表示为 ．
10．分解因式：a3
4a=
﹣
．
11．如图，直线AB∥CD，CA 平分∠BCD，若∠1=50°，则∠2= ．
12．若一元二次方程x2+4x+c=0 有两个不相等的实数根，则c 的值可以是 （写
出一个即可）．
13．如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，点A 的坐标为（2，1），BO=2
，反比例函数y=
的图象经过点B，则k 的值为 ．
14．如图，半径为1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与
圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=2，点P 是这个菱形内部或边上的一点，
若以点P、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D 两点不重合）两点间
第3页（共34页）
的最短距离为 ．
三、解答题（共75 分）
16．先化简：（2x﹣
）÷
，然后从0，1，﹣2 中选择一个适当的数作为
x 的值代入求值．
17．如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF=BE，EF 与
CD 交于点G．
（1）求证：BD∥EF；
（2）若
= ，BE=4，求EC 的长．
18．2015 年安徽省中考体育考试方案出台，体育总分由2014 年的40 分增加到45
分，考试项目分为必考项目和选考项目．男生的必考项目是1000 米跑，女生的必
考项目是800 米跑；选考项目为立定跳远、1 分钟跳绳和坐位体前屈．某校为了解
毕业班学生对选考项目的喜爱程度，以便进行有针对性的训练，对本校九年级部
分学生进行了一次随机问卷调查，下图是采集数据后绘制的两幅不完整的统计图
（A：立定跳远，B：1 分钟跳绳，C：坐位体前屈）．请你根据图中提供的信息解答以
下问题：
（1）填写扇形统计图中缺失的数据，并把条形图补充完整；
（2）2015 年该校九年级共有学生200 人，按此调查，可以估计2015 年该校九年级
学生中喜爱1 分钟跳绳的学生约有多少人？
（3）安徽省教育厅规定：各地市可在选考项目中确定两项作为本地市中考体育考
试项目，那么该校所在地市确定的中考体育项目中“含有1 分钟跳绳”的概率是
第4页（共34页）
多少？
19．如图，某办公楼AB 的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办
公楼在建筑物的墙上留下高2 米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公
楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有25 米的距离（B，F，C 在一条直线上）．
（1）求办公楼AB 的高度；
（2）若要在A，E 之间挂一些彩旗，请你求出A，E 之间的距离．
（参考数据：sin22°≈，cos22°
，tan22
）
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B，与y 轴交于点A，与反
比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x 轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，
OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF⊥y 轴，垂足为点
F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D 的坐标．
第5页（共34页）
21．东营市某学校2015 年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费
2000 元，购买乙种足球共花费1400 元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量
的2 倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20 元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016 年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、
乙两种足球共50 个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第
一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购
买甲、乙两种足球的总费用不超过2900 元，那么这所学校最多可购买多少个乙种
足球？
22．如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
点P 为射线BD，CE 的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE 绕点A 旋转，
①当∠EAC=90°时，求PB 的长；
②直接写出旋转过程中线段PB 长的最小值与最大值．
23．如图1（注：与图2 完全相同），二次函数y= x2+bx+c 的图象与x 轴交于A（3，
0），B（﹣1，0）两点，与y 轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
第6页（共34页）
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD 的面积（请在图1 中探索）；
（3）若点P，Q 同时从A 点出发，都以每秒1 个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运
动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q 运动到t 秒时，△APQ
沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形
APEQ 的形状，并求出E 点坐标（请在图2 中探索）．
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2016-2017 学年河南省许昌市长葛市九年级（下）第一次
月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3 分，共24 分）
1．﹣
的倒数是（ ）
A．2B．﹣2 C．
D．
【考点】倒数；绝对值．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可化简绝对值，根据乘积为1 的两个数
互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣|﹣|的倒数是﹣2，
故选：B．
2．不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C ．
D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以求出原不等式组的解集，从而可以
解答本题．
第8页（共34页）
【解答】解：
由①，得x＞﹣3，
由②，得x≤2，
故原不等式组的解集是﹣3＜x≤2，
故选C．
3．在一次数学测试中，某学习小组6 名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，
82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82
B．中位数是82 C．极差是30
D．平均数是82
【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．
【分析】根据极差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
【解答】解：将数据从小到大排列为：65，76，82，82，86，95，
A、众数是82，说法正确；
B、中位数是82，说法正确；
C、极差为95
65=30
﹣
，说法正确；
D、平均数=
=81≠82，说法错误；
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．﹣a（a
b
﹣）=
a
﹣
2
ab
﹣
B．（2ab）
2÷a2b=4ab C．2ab•3a=6a2b D．（a
1
﹣）（1
a
﹣）
=a2
1
﹣
【考点】整式的混合运算．
【分析】A、原式利用单项式乘以多项式法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式先计算乘方运算，再计算除法运算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=
a
﹣
2+ab，错误；
第9页（共34页）
B、原式=4a2b2÷a2b=4b，错误；
C、原式=6a2b，正确；
D、原式=﹣（a
1
﹣）
2=
a
﹣
2+2a
1
﹣，错误，
故选C
5．如图是由5 个相同的小正方体构成的几何体，其左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】几何体的左视图有2 列，每列小正方形数目分别为2，1；据此画出图形即
可求解．
【解答】解：观察图形可知，如图是由5 个相同的小正方体构成的几何体，其左视
图是
．
故选：C．
6．任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、
FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
第10页（共34页）
A．△EGH 为等腰三角形B．△EGF 为等边三角形
C．四边形EGFH 为菱形D．△EHF 为等腰三角形
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：A、正确．∵EG=EH，
∴△EGH 是等腰三角形．
B、错误．∵EG=GF，
∴△EFG 是等腰三角形，
若△EFG 是等边三角形，则EF=EG，显然不可能．
C、正确．∵EG=EH=HF=FG，
∴四边形EHFG 是菱形．
D、正确．∵EH=FH，
∴△EFH 是等腰三角形．
故选B．
7．如图，已知在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B、C
不重合），作BE⊥AD 于E，CF⊥AD 于F，则BE+CF 的值（ ）
A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小
【考点】锐角三角函数的增减性．
【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α，易知BE+CF=BC•cosα，根据0＜α＜90°，
由此即可作出判断．
第11页（共34页）
【解答】解：∵BE⊥AD 于E，CF⊥AD 于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α，
∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D 从B→D 运动时，α 是逐渐增大的，
∴cosα 的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC•cosα 的值是逐渐减小的．
故选C．
8．如图，在边长为2 的正方形ABCD 中剪去一个边长为1 的小正方形CEFG，动点
P 从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止
（不含点A 和点B），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据点P 在AD、DE、EF、FG、GB 上时，△ABP 的面积S 与时间t 的关系确定
函数图象．
第12页（共34页）
【解答】解：当点P 在AD 上时，△ABP 的底AB 不变，高增大，所以△ABP 的面积S
随着时间t 的增大而增大；
当点P 在DE 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；
当点P 在EF 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t
的减小而减小；
当点P 在FG 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；
当点P 在GB 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t
的减小而减小；
故选：B．
二、填空题（每题3 分，共21 分）
9．在“2016 丝绸之路”国际投资贸易洽谈会上，我省销售的产品和合作项目签
约金额为730000000 元，将730000000 用科学记数法表示为
7.3
×
10
8
．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．
确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负
数．
【解答】解：730000000 用科学记数法表示为：7.3×108．
故答案为：7.3×108．
10．分解因式：a3
4a=
﹣
a （
a + 2 ）（
a
2
﹣
）
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2
4
﹣）
=a（a+2）（a
2
﹣）．
故答案为：a（a+2）（a
2
﹣）
11．如图，直线AB∥CD，CA 平分∠BCD，若∠1=50°，则∠2=
65°
．
第13页（共34页）
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD=180°，根据对顶角相等得
∠ABC=∠1=50°，则∠BCD=130°，再利用角平分线定义得到∠ACD= ∠BCD=65°，
然后根据平行线的性质得到∠2 的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
而∠ABC=∠1=50°，
∴∠BCD=130°，
∵CA 平分∠BCD，
∴∠ACD= ∠BCD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ACD=65°．
故答案为65°．
12．若一元二次方程x2+4x+c=0 有两个不相等的实数根，则c 的值可以是
1
（写
出一个即可）．
【考点】根的判别式．
【分析】直接利用根的判别式，得出△＞0，进而求出c 的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+c=0 有两个不相等的实数根，
∴△=16
4c
﹣
＞0，
解得：c＜4，
故c 的值可以是1．
故答案为：1
第14页（共34页）
13．如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，点A 的坐标为（2，1），BO=2
，反比例函数y=
的图象经过点B，则k 的值为 ﹣
8
．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据∠AOB=90°，先过点A 作AC⊥x 轴，过点B 作BD⊥x 轴，构造相似三角
形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B 的坐标，
进而得出k 的值．
【解答】解：过点A 作AC⊥x 轴，过点B 作BD⊥x 轴，垂足分别为C、D，则
∠OCA=∠BDO=90°，
∴∠DBO+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△DBO∽△COA，
∴
，
∵点A 的坐标为（2，1），
∴AC=1，OC=2，
∴AO=
=
，
第15页（共34页）
∴
，即BD=4，DO=2，
∴B（﹣2，4），
∵反比例函数y= 的图象经过点B，
∴k 的值为﹣2×4=
8
﹣．
故答案为：﹣8
14．如图，半径为1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与
圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是
﹣
．
【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．
【分析】连接OM 交AB 于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB 且OC=MC= ，继
而求出∠AOC=60°、AB=2AC=
，然后根据S 弓形ABM=S 扇形OAB
S
﹣△AOB、S 阴影=S 半圆﹣2S
弓形ABM计算可得答案．
【解答】解：如图，连接OM 交AB 于点C，连接OA、OB，
第16页（共34页）
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC= ，
在RT△AOC 中，∵OA=1，OC= ，
∴cos∠AOC=
= ，AC=
=
∴∠AOC=60°，AB=2AC=
，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S 弓形ABM=S 扇形OAB
S
﹣△AOB
=
﹣×
×
=
﹣
，
S 阴影=S 半圆﹣2S 弓形ABM
= π×12
2
﹣（
﹣
）
=
﹣
．
故答案为：
﹣
．
15．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=2，点P 是这个菱形内部或边上的一点，
若以点P、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D 两点不重合）两点间
第17页（共34页）
的最短距离为
2
2
﹣
．
【考点】菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质．
【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．
分别求出PD 的最小值，即可判断．
【解答】解：①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满
足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短
“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，为2；
②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交
于一点，则弧AC（除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在
BD 上时，PD 最小，最小值为2√3
2
﹣；
③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点
A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足
题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD 的最小值为2
2
﹣．
三、解答题（共75 分）
16．先化简：（2x﹣
）÷
，然后从0，1，﹣2 中选择一个适当的数作为
x 的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x 的值代入进
行计算即可．
【解答】解：原式=（
﹣
）÷
第18页（共34页）
=
•
=
，
当x=
2
﹣时，原式=
= ．
17．如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF=BE，EF 与
CD 交于点G．
（1）求证：BD∥EF；
（2）若
= ，BE=4，求EC 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵DF=BE，
∴四边形BEFD 是平行四边形，
∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD 是平行四边形，
∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，
∴△DFG∽CEG，
第19页（共34页）
∴
=
，
∴CE=
=4× =6．
18．2015 年安徽省中考体育考试方案出台，体育总分由2014 年的40 分增加到45
分，考试项目分为必考项目和选考项目．男生的必考项目是1000 米跑，女生的必
考项目是800 米跑；选考项目为立定跳远、1 分钟跳绳和坐位体前屈．某校为了解
毕业班学生对选考项目的喜爱程度，以便进行有针对性的训练，对本校九年级部
分学生进行了一次随机问卷调查，下图是采集数据后绘制的两幅不完整的统计图
（A：立定跳远，B：1 分钟跳绳，C：坐位体前屈）．请你根据图中提供的信息解答以
下问题：
（1）填写扇形统计图中缺失的数据，并把条形图补充完整；
（2）2015 年该校九年级共有学生200 人，按此调查，可以估计2015 年该校九年级
学生中喜爱1 分钟跳绳的学生约有多少人？
（3）安徽省教育厅规定：各地市可在选考项目中确定两项作为本地市中考体育考
试项目，那么该校所在地市确定的中考体育项目中“含有1 分钟跳绳”的概率是
多少？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．
【分析】（1）根据喜爱A 的人数除以喜爱A 的所占的百分比，可得抽测的总人数，
根据有理数的减法，可得喜爱B 的人数，根据喜爱B 的人数除以抽测的人数，可
得喜爱B 的人数所占的百分比，根据有理数的减法，可得喜爱C 的人数所占的百
分比；
第20页（共34页）
（2）根据九年级人数乘以喜爱B 所占的百分比，可得答案；
（3）根据树状图，可得总结过及B 出现的次数，根据b 出现的次数比上总结果，可
得答案．
【解答】解：（1）由条形统计图中A 对应的数据和扇形统计图中A 对应的百分比可
知，抽取的样本容量为8÷20%=40，
故喜爱B 项目的人数为：40
8
18=14
﹣﹣
（人），所占百分比为14÷40=35%；
喜爱C 项目的人数所占百分比为：1
20%
35%=45%
﹣
﹣
或18÷40=45%．
补充后的统计图为：
（2）由（1）可知，样本中喜爱B 项目占样本容量的35%，故据此可估计该校九年级
学生中喜爱项目B 的学生约有200×35%=70（人） …
（3）选两项的结果AB，AC，BA，BC，CA，CB，
B 出现的结果为AB，BA，BC，CB，
一共有6 种情况，其中含有项目B 的有4 种情况，因此P（含有1 分钟跳绳项目）=
=
19．如图，某办公楼AB 的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办
公楼在建筑物的墙上留下高2 米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公
楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有25 米的距离（B，F，C 在一条直线上）．
（1）求办公楼AB 的高度；
（2）若要在A，E 之间挂一些彩旗，请你求出A，E 之间的距离．
第21页（共34页）
（参考数据：sin22°≈，cos22°
，tan22
）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=
，求出即可；
（2）利用Rt△AME 中，cos22°=
，求出AE 即可
【解答】解：（1）如图，
过点E 作EM⊥AB，垂足为M．
设AB 为x．
Rt△ABF 中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x，
∴BC=BF+FC=x+25，
在Rt△AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB
BM=AB
CE=x
2
﹣
﹣
﹣，
tan22°=
，
则
= ，
第22页（共34页）
解得：x=20．
即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．
在Rt△AME 中，cos22°=
．
∴AE=
，
即A、E 之间的距离约为48m
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B，与y 轴交于点A，与反
比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x 轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，
OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF⊥y 轴，垂足为点
F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D 的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k 的几何意义；反比
例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数
图象即可得出点C 的坐标，再根据点C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特
征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；
第23页（共34页）
（2）由点D 在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D 的坐标为（n，﹣）（n＞
0）．通过解直角三角形求出线段OA 的长度，再利用三角形的面积公式利用含n
的代数式表示出S△BAF，根据点D 在反比例函数图形上利用反比例函数系数k 的几
何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出
关于n 的分式方程，解方程，即可得出n 值，从而得出点D 的坐标．
【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x 轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC 中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，
∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，
结合函数图象可知点C 的坐标为（﹣2，3）．
∵点C 在反比例函数y= 的图象上，
∴m=
2
﹣×3=
6
﹣，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
（2）∵点D 在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴设点D 的坐标为（n，﹣）（n＞0）．
在Rt△AOB 中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，
第24页（共34页）
∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．
∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+
．
∵点D 在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴S△DFO= ×|
6
﹣|=3．
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+
=4×3，
解得：n= ，
经验证，n= 是分式方程4+
=4×3 的解，
∴点D 的坐标为（，﹣4）．
21．东营市某学校2015 年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费
2000 元，购买乙种足球共花费1400 元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量
的2 倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20 元．
第25页（共34页）
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016 年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、
乙两种足球共50 个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第
一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购
买甲、乙两种足球的总费用不超过2900 元，那么这所学校最多可购买多少个乙种
足球？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设购买一个甲种足球需x 元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购
买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2 倍列出方程解答即可；
（2）设这所学校再次购买y 个乙种足球，根据题意列出不等式解答即可．
【解答】解：
（1）设购买一个甲种足球需x 元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：
，
解得：x=50，
经检验x=50 是原方程的解，
答：购买一个甲种足球需50 元，则购买一个乙种足球需70 元；
（2）设这所学校再次购买y 个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50
y
﹣）+70×（1
10%
﹣
）y≤2900，
解得：y≤18.75，
由题意可得，最多可购买18 个乙种足球，
答：这所学校最多可购买18 个乙种足球．
22．如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
点P 为射线BD，CE 的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE 绕点A 旋转，
①当∠EAC=90°时，求PB 的长；
②直接写出旋转过程中线段PB 长的最小值与最大值．
第26页（共34页）
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE 即可．
（2）①分两种情形a、如图2 中，当点E 在AB 上时，BE=AB
AE=1
﹣
．由
△PEB∽△AEC，得
=
，由此即可解决问题．b、如图3 中，当点E 在BA 延长线
上时，BE=3．解法类似．
②a、如图4 中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PB
的值最小．b、如图5 中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 上方与⊙A 相切
时，PB 的值最大．分别求出PB 即可．
【解答】（1）证明：如图1 中，
∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，
在△ADB 和△AEC 中，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE．
（2）①解：a、如图2 中，当点E 在AB 上时，BE=AB
AE=1
﹣
．
第27页（共34页）
∵∠EAC=90°，
∴CE=
=
，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴
=
，
∴
=
，
∴PB=
b、如图3 中，当点E 在BA 延长线上时，BE=3．
第28页（共34页）
∵∠EAC=90°，
∴CE=
=
，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴
=
，
∴
=
，
∴PB=
，
综上，PB=
或
．
②解：a、如图4 中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，
PB 的值最小．
理由：此时∠BCE 最小，因此PB 最小，（△PBC 是直角三角形，斜边BC 为定值，
∠BCE 最小，因此PB 最小）
∵AE⊥EC，
∴EC=
=
=
，
第29页（共34页）
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=
，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD 是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD
PD=
﹣
1
﹣．
b、如图5 中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 上方与⊙A 相切时，PB 的值
最大．
理由：此时∠BCE 最大，因此PB 最大，（△PBC 是直角三角形，斜边BC 为定值，
∠BCE 最大，因此PB 最大）
∵AE⊥EC，
∴EC=
=
=
，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=
，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD 是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD+PD=
+1．
综上所述，PB 长的最小值是
﹣1，最大值是
+1．
第30页（共34页）
23．如图1（注：与图2 完全相同），二次函数y= x2+bx+c 的图象与x 轴交于A（3，
0），B（﹣1，0）两点，与y 轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD 的面积（请在图1 中探索）；
（3）若点P，Q 同时从A 点出发，都以每秒1 个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运
动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q 运动到t 秒时，△APQ
沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形
APEQ 的形状，并求出E 点坐标（请在图2 中探索）．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A，B 点坐标代入函数y= x2+bx+c 中，求得b、c，进而可求解析式；
（2）由解析式先求得点D、C 坐标，再根据S△ACD=S 梯形AOMD
S
﹣△CDM
S
﹣△AOC，列式计算
即可；
（3）注意到P，Q 运动速度相同，则△APQ 运动时都为等腰三角形，又由A、E 对称，
则AP=EP，AQ=EQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的
性质可用t 表示E 点坐标，又E 在二次函数的图象上，所以代入即可求t，进而E
可表示．
【解答】解：（1）∵二次函数y= x2+bx+c 的图象与x 轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
第31页（共34页）
∴
，
解得：
，
∴y= x2﹣x
4
﹣；
（2）过点D 作DM⊥y 轴于点M，
∵y= x2﹣x
4=
﹣
（x
1
﹣）
2﹣
，
∴点D（1，﹣
）、点C（0，﹣4），
则S△ACD=S 梯形AOMD
S
﹣△CDM
S
﹣△AOC
= ×（1+3）×
﹣×（
﹣4）×1﹣×3×4
=4；
（3）四边形APEQ 为菱形，E 点坐标为（﹣，﹣
）．理由如下
第32页（共34页）
如图2，E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作，QF⊥AP 于F，
∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ
∴AP=AQ=QE=EP，
∴四边形AQEP 为菱形，
∵FQ∥OC，
∴
=
=
，
∴
=
=
∴AF= t，FQ= t•
∴Q（3﹣t，﹣t），
∵EQ=AP=t，
∴E（3﹣t
t
﹣，﹣t），
∵E 在二次函数y= x2﹣x
4
﹣上，
∴﹣t= （3﹣t）
2﹣（3﹣t）﹣4，
第33页（共34页）
∴t=
，或t=0（与A 重合，舍去），
∴E（﹣，﹣
）．
第34页（共34页）
