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思想方法专题：矩形中的折叠问题
——体会折叠中的方程思想及数形结合思想
类型一 折叠中求角度
1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C′处，折痕为EF.若
∠EFC′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
第1 题图 第2 题图
2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD 和BC 重合，
得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B，得到
折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
类型二 折叠中求线段长
3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC 折叠，点B
落在E 处，AE 交DC 于点O，若AO＝5cm，则AB 的长为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
第3 题图 第4 题图
4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC＝8，CD＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A
恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )
A．3 B. C．5 D.
5．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点E 为BC 的中点，将
△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF，则CF 的长为________．
类型三 折叠中求面积
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6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD
于E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上的一点，将
△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM.
(1)当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；
(2)连接BN，当DM＝1 时，求△ABN 的面积．
参考答案与解析
1．B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD 中，AD∥BC，∴∠DEF
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＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD 为
矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.
2．B 3.C 4.C
5.
解析：如图，连接BF 交AE 于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝
∠FAE，∴AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E 为BC 的中点，∴BE＝BC＝3.又∵AB＝4，∴在
Rt△ABE 中，由勾股定理得AE＝＝5.∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BH，∴BH＝，则BF＝2BH＝.∵E
是BC 的中点，∴FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC 中，由勾股定理得CF＝＝＝.
6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.∵将矩形ABCD 沿对
角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F＝∠B，AB＝AF，∴AF＝CD，∠F＝∠D.在△AFE 与
△CDE 中，∴△AFE≌△CDE.
(2)解：∵AB＝4，BC＝8，∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4.∵△AFE≌△CDE，∴EF＝
DE.在Rt△CED 中，由勾股定理得DE2＋CD2＝CE2，即DE2＋42＝(8－DE)2，∴DE＝3，∴AE
＝8－3＝5，∴S 阴影＝×4×5＝10.
7．解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN 平分∠MAB，
∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB＝90°，
∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM 中，∵AD＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，
即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝.
(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥DC，
∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝
∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ
＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ 中，由勾股定理得AQ2＝AN2
＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB 和△NAQ 在AB 边上的高相
等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝S△NAQ＝××AN·NQ＝××3×4＝.
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