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梦想 成人成才
第2 课时 角平分线的判定
基础巩固
一、填空题
1．如图1，在△ABC 中，∠C＝900，BC＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D，
且DC∶DB＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。
第3 题图
D
C
B
A
图1
图2
2．如图2 所示，在△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D 到BC
的距离为________cm．
3．如图3，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出
发，作点D 到BC、AC 和AB 的垂
线DE、
DF 和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG 的关系是 。
图3
图4
4．如图4，已知AB∥CD，O 为∠A、∠C 的角平分线的交点，OE⊥AC 于E，且
OE=2，则两平行线间AB、CD 的距离等于 。
5．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC=
。
二、选择题
6．如图5，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，
设PB＝m ，PC＝n ，AB＝c ，
AC＝b ，则
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)
(
n
m
与
)
(
c
b
的大小关系是（ ）
A、
n
m
＞
c
b
B、
n
m
＜
c
b
C、
n
m
＝
c
b
D、无法确定
选择第4 题图
P
D
C
B
A
图5
图6
7．已知Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D，若BC=32，且
BD：CD=9：7，则D 到AB 边的距离为( )
A．18 B．16 C．14 D．12
8．如图6，AE⊥BC 于E，CA 为∠BAE 的角平分线，AD=AE，连结CD，则下列
结论不正确的是( )
A ．CD=CE B ．∠AC
D=
∠ACE C ．∠CDA =90° D ．
∠BCD=∠ACD
9．在△ABC 中，∠B=∠ACB，CD 是∠ACB 的角平分线，已知∠ADC=105°，
则∠A 的度数为( )
A．40° B．36° C．70° D．60°
10．在以下结论中，不正确的是( )
A．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上
B．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等
C．一个角只有一条角平分线
D．角的平分线有时是直线，有时是线段
三、解答题
11．如图7 所示，AE 是∠BAC 的角平分线，EB⊥AB 于B，EC⊥AC 于C，D 是
AE 上一点，求证：BD=C
D。
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图7
图8 A
B
C
D
P
O
图9
12．如图8，BD=CD，BF⊥AC 于F，CE⊥AB 于E。求证：点D 在∠BAC 的角平
分线上。
13．如图9，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB 于D，BC⊥OA 于C，AD 与BC 交于点P。
求证：AP=BP。
综合提高
一、填空题
1
4．如图10，已知相交直线AB 和CD，
及另一直线EF。如果要在EF 上找出与AB、CD 距离相等的
点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有
个。
图10
15．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC 的周长为23cm，BC=4 cm，则
△DEF 的边中必有一条边等于______。
16．在△ABC 中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC 的平分线交BC 于D，且BD︰
DC=5︰3，则D 到AB 的距离为_____________。
17．∠B=∠C=90
°，E 是BC 的中点，DE
平分∠ADC，∠CED=35 0，如图11，则∠EAB 的度数是 。
18．△ABC 中，AB=AC，∠B、∠C 的角平分线的交点为O，连结AO，若
S△AOB=6c
m2，则S△AOB= 。
二、选择题
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D
C
B
A
E
图11
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19．如图1
2 所示，已知△ABC 中，
∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，交BC 于点D，DE⊥AB 于点E，且AB=6 cm,则
△DEB 的周长为( )。
A.9 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.不能确定
A
B
C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
图12
20．下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
21．如图13， ∠AOB 和一条定长线段A，在
∠AOB 内找一点P，使P 到OA、OB 的距离都等于A，
做法如下：（1）作OB 的垂线NH，使NH=A，H 为垂足．
（2）过N 作NM∥OB．（3）作∠AOB 的平分线OP，与
NM 交于P．（4）点P 即为所求．其中（3）的依据是（
）
A．平
行线之间的距离处处相等
B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D．到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分
线上
22．如图14，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE⊥AB
于E，PF⊥AC 于F，下列结论中不正确的是（ ）
A．DE=DF B．AE=AF
C．△ADE≌△ADF D．AD=DE+DF
23．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对
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图13
A
D
C
B
图14
E
F
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三、解答题
24 ．如图15 ，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交
△BAC 的外角平分线AD 于D, F 为垂足, DE⊥AB 于
E，且AB>AC，求证：BE－AC=AE．
25．如图16 所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底
角的平分线，∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD．
图16
拓展探究
一、解答题
26．如图17， △ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于
D， F 为垂足， DE⊥AB 于E， 且AB>AC 求证：BE－AC=AE．
图17
图18
27．如图18，已知AD∥BC， ∠DAB 和∠ABC 的平分线交于E， 过E 的直线
交AD 于D， 交BC 于C， 求证: DE=EC．
28．如图19，已知AC∥BD、EA、EB 分别平分∠CAB 和△DBA，CD 过点E，则
AB 与AC+BD相等吗？请说明理由．
参考答案
基础巩固
一、填空题
1. 15； 2. 2； 3.
DE=DF=DG； 4.
4； 5. 130°
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A
B
F
C
D
图15
D
C
A
B
E
图19
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二、选择题
6.A 7.C 8.D 9.A 10.D
三、解答题
11．证：先证Rt△ACE≌Rt△ABE，推出AB=AC。再证△ABD≌△ACD(或
△DCE≌△DBE)，得出DC=DB。
12．证：在△DBE 和△DCF 中，
90 ,
,
,
BED
CFD
BDE
CDF
BD
CD
所以△DBE≌△DCF(AAS)。∴DE=DF。
又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点D 在∠BAC 的角平分线上。
13．证：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB，BC⊥OA，∴PC=PD
在△ACP 和△BDP 中，
90 ,
,
,
ACP
BDP
PC
PD
APC
BPD
，∴△APC≌△BPD
∴AP=BP。
综合提高
一、填空题
14. 作∠AOD、∠AOC(或∠BOD)的平分线与EF 的交点；1；2 15. 4cm 或
9.5cm 16. 1.5cm 17. 35° 18. 6cm2
二、选择题
19.C 20.D 21.B 22.D 23.C
三、解答题
24 ．证：过D 作DN⊥AC, 垂足为N, 连结DB 、DC 则DN=DE
，DB=DC ，又∵DE⊥AB, DN⊥AC,
∴Rt△DBE≌Rt△DCN ， ∴BE=CN ．又∵AD=AD ，DE=DN ，
∴Rt△DEA≌Rt△DNA，∴AN=AE，∴BE=AC+AN=AC+AE，∴BE－AC=AE．
25．证一（截长法）：如图1 所示，过点D 作
BD⊥AB 于E，
∵AD 是∠BAC 的平分线
∴∠CAD＝∠EAD，又∠DEA＝∠DCA 且AD 公共，
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B
A
C
E
D
图1
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∴△ADE≌△ACD（AAS），∴ AE＝AC，CD＝DE
在△DEB 中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴△EBD 是等腰直角三角形．∴DE＝EB，
∴CD＝EB．
∴AC＋CD＝AE＋EB，即AC＋CD＝AB．
证法二（补短法）：
如图2 所示，在AC 的延长线上截取CM＝CD，连结DM．
在△MCD 中，∠MCD＝90°，CD＝CM
∴△MCD 是等腰直角三角形．∴∠M＝45°
又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45°
∴∠M＝∠B＝45° 又∵AD 平分∠CAD
∴在△MAD 与△BAD 中
AD
AD
BAD
MA
45
B
M
＝
＝
＝
∴△MAD≌△BAD（AAS）∴MA＝AB，即AC＋CD＝AB．
拓展探究
一、解答题
26．证：过D 作DN⊥AC， 垂足为N， 连结DB、DC，则DN=DE， DB=DC
又∵DE⊥AB， DN⊥AC， ∴Rt△DBE≌Rt△DCN， ∴BE=CN
又∵AD=AD， DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA ∴AN=AE
∴BE=AC+AN=AC+AE ∴BE－AC=AE
图3
27．证：在AB 上截取AF=AD。∵A
E 是
∠DAF 的平分线(已知)
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A
B
C
M
D
图2
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∴∠DAE=∠FAE(角平分线定义)
在△DAE 和△FAE 中，
)
(
)
(
)
(
公共边
已证
已作
AE
AE
FAE
DAE
AF
AD
∴△DAE≌△FAE(SAS)
∴DE=FE(全等三角形对应边相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等)
∵∠AFE+∠BFE=1800(邻补角定义)
又AD∥BC(已知) ∴∠D+∠C=1800(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠BFE=∠C(等角的补角相等)
∵BE 是∠ABC 的平分线(已知)∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义)
在△FBE 和△CBE 中
)
(
)
(
)
(
公共边
已证
已证
BE
BE
C
BFE
CBE
FBE
∴△FBE≌△CBE(AAS)
∴FE=CE(全等三角形对应边相等) ∴DE=EC．
图4
28．结果：相等．
3 4
D
C
A
B
6
5
(1)
F
E
1
2
3 4
D
C
A
B
6
5
(2)
E
F
1
2
证法一：如图（1）在AB 上截取AF=AC，连结EF．
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梦想 成人成才
在△ACE 和△AFE 中，
1
2
AC
AF
AE
AE
∴△ACE≌△AFE（SAS）
5
180
5
6
180
C
AC
BD
C
D
∠6=∠D
在△EFB 和△BDE 中，
6
3
4
D
BE
BE
∴△EFB≌△EDB（AAS） ∴FB=DB
∴AC+BD=AF+FB=AB
证法二：如图（2），延长BE，与AC 的延长线相交于点F
4
3
4
AC
BD
F
∠F=∠3
在△AEF 和△AEB 中，
3
1
2
F
AE
AE
∴△AEF≌△AEB （AAS ）
∴AB=AF，BE=FE
在△BED 和△FEC 中，
5
6
4
BE
FE
F
∴△BED≌△FEC（ASA） ∴BD=FC
∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．
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