文档文本内容
12.3 角的平分线的性质
专题一 利用角的平分线的性质解题
1．如图，在△ABC 中，AC=AB，D 在BC 上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且
DF=DG．求证：AD⊥BC.
2．如图，已知CD⊥AB 于点D，BE⊥AC 于点E，BE，CD 交于点O，且AO 平分∠BAC．
求证：OB=OC．
3．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，
2 1
BAC
B
∶
∶
∠
∠
，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB 于点
E，AC=3 cm，求BE 的长．
专题二 角平分线的性质在实际生活中的应用
4．如图，三条公路把A、B、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域
内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在AC、BC 两边高线的交点处
B．在AC、BC 两边中线的交点处
C．在∠A、∠B 两内角平分线的交点处
D．在AC、BC 两边垂直平分线的交点处
5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相
等，并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在
__________，理由是__________．
6．已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出
该点．（保留作图痕迹）
状元笔记
【知识要点】
1．角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【温馨提示】
1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．
2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交
点，这样的点共有4 个．
【方法技巧】
1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．
若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，
若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，
若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．
2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．
若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；
若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线
段相等；
若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段
相等．
参考答案:
1．证明：∵DF
AB
DG
AC
DF
DG
，
，
，
∴AD 是
BAC
∠
的平分线，
∴
BAD
CAD
∠
∠
．
在
ABD
△
和
ACD
△
中，
（公共边）
（已求）
已知）
AD
AD
DAC
DAB
AC
AB
(
∴
SAS)
ABD
ACD(
△
≌△
．
∴
ADB
ADC
∠
∠
．
又∵
180
BDA
CDA
∠
∠
，∴
90
BDA
∠
，∴AD
BC
．
2．证明：∵AO 平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD=OE，
在Rt△BDO 和Rt△CEO 中，
,
,
COE
DOB
OE
OD
CEO
BDO
∴
(ASA)
BDO
CEO
△
≌△
．
∴OB=OC．
3．解：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠B=90°，
又DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，
又
2 1
BAC
B
∶
∶
∠
∠
，∴∠A=60°，∠B=30°，
又∵AD 平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
∴
3
AE
AC
cm．
在Rt△DAE 和Rt△DBE 中，
.
DE
DE
BED
AED
B
DAE
∴△DAE≌△DBE（AAS），
∴
3
BE
AE
cm．
4．C 解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B 两内角平分线的交点处．故选
C．
5．∠A 的角平分线上，且距A1cm 处 角平分线上的点到角两边的距离相等
6．解：作两个角的平分线，交点P 就是所求作的点．
