每日一题第2867题(2026年全国高中数学联赛A卷一试填空8)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联A卷的一试填空题的第8题，难度中等。

这个题想写过程是真的麻烦，不过数出最终结果倒是没有那么难。首先肯定是先考虑正方体六个面中，没有任何一个面恰含2条红色棱。显然不可能某个面四条棱均被染为红色，否则若面ABCD的四条棱均为红色，此时稍微列举一下就知道不可能了。

若某个面只有一条红色棱，则该条红色棱必在某个含有三条红色棱的面上。若上述命题不成立，不妨设A1D1为红色棱，且面ADD1A1与面A1B1C1D1均只有一条红色棱，则AD,AA1,DD1,A1B1,B1C1,C1D1均不被染色，所以剩下的棱AB,BC,CD,BB1,CC1均为红色棱，此时面ABB1A1含有两条红色棱，矛盾，故原命题成立。

所以6条红色棱必然分布在三个平面上，其中每个平面均有三条红色棱，且有三条红色棱为相邻两侧面的公共棱。且从上述推断可得有三条棱的三个平面两两相邻。

下面计算没有任何一个面恰含2条红色棱的染色种数。先从6个面中选一个面，并从这个面的四条棱中选三条棱染为红色，共有6×4=24种，不妨设选的面为ABCD，其中DA,AB,BC三条棱为红色棱。

则此时另外两个平面必为面ADD1A1与面ABB1A1或面BCC1B1与面ABB1A1，共2种选择，不妨设选择的面为面ADD1A1与面ABB1A1，则AA1必为红色棱。

此时列举可得只能DD1与A1B1为红色棱。

又易得先选面ADD1A1或先选面ABB1A1染三条红色棱时，也可得到上述染色方案，所以每一种染色方案计算了3次，所以总数为(24×2)/3=16，那么最后的概率也就出来了。