公式法

摘要

公式法，指应用公式解决问题的方法，包含对公式的直接应用、变形使用和拓展应用等，体现了人们数学化地思考与解决问题的过程. 公式是纽带，沟通了数学中量与量之间的联系，而要运用好公式解决问题，需要理解公式的内涵，知晓公式的变形，明确公式的适用范围等.

典例示范

（一）正向使用公式

例 1 已知  均为锐角，则  _______.

• • 思路：欲求 ，先求 ，考虑使用两角和正切公式.
• • 解答：由题意可知，.

   均为锐角，

  故 .

• • 反思：依据题意，直接使用两角和公式，求得  的值，从而解决问题.

例 2 设  是等比数列，公比 ， 为  的前  项和，记 . 若  是数列  的最大项，则  _______.

• • 思路：根据等比数列通项公式与求和公式，先求  的表达式，再具体研究最值.
• • 解答：由题意知，

  因 ，所以 ，当且仅当  即  时等号成立.

  此时  有最大值，故 .

• • 反思：先利用公式求得  的表达式，再利用基本不等式求得最值，此公式既有等式形式，也有不等式形式.

（二）逆向使用公式

例 3 求值：.

• • 思路：代数式为齐次式，首先考虑弦化切，后续再结合代数式特征进行转化.
• • 解答：
• • 反思：由代数式  的特征，构造后逆向使用两角和正切公式求解.

（三）变形使用公式

例 4 已知函数 ，则  的最大值为 _______.

• • 思路：根据条件，需要应用三角公式对函数进行等价变形.
• • 解答：

  故 .

• • 反思：借助公式  得 ，体现了公式的变形使用.

（四）构造使用公式

例 5 已知实数  满足 ，求  的最小值.

• • 思路：二元条件下，研究相应代数式的最值，需要寻求代数式表达的几何意义.
• • 解答：联想点到直线的距离公式 ，得：

  它表示圆  上的点到直线  的距离的  倍.

  由几何意义知，所求最小值是 .

• • 反思：通过构造，先将代数式转化为圆上点到直线的距离，再结合图象寻找距离的最小值，解决最值问题.