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高三物理一轮复习

相互作用与共点力平衡

母题·变式·真题精讲

—受力分析：贯穿整个高中物理的基石—

含：七种力性质 · 整体法隔离法 · 正交分解 · 动态平衡 · 近五年真题变式

开篇：受力分析—贯穿整个高中物理的基石

高中物理有"三条主线观点"：力的观点（牛顿运动定律）、能量观点（动能定理、机械能守恒、能量守恒）、动量观点（动量定理、动量守恒）。三条主线的起点都是同一句话——先选定研究对象，再分析它受到的力。力的观点自不必说，牛顿第二定律 F合 = ma 的左端就是"合外力"；能量观点中功 W = Fs cosθ 离不开力；动量观点中冲量 I = Ft 也离不开力。因此，力学是高中物理的"半壁江山"，而受力分析则是力学乃至整个高中物理的基石与入门第一道关。所谓"受力分析"，就是把研究对象从周围环境中隔离出来，按"一重、二弹、三摩擦、四其他"的顺序，逐一画出物体所受的全部性质力，并标注力的大小、方向和作用点的过程。受力分析错了，后面无论用哪条规律，结果必然是错的——这是物理学习中"错误放大"最严重的一环。

为什么说受力分析是贯穿全高中物理的基石？我们不妨先看一张图：

图0-1受力分析与高中物理各板块的关系

一、与"运动学 + 牛顿运动定律"的联系：F 是 a 的唯一来源

运动学只描述"怎样动"（v、a、t、x），要回答"为什么这样动"，必须通过 受力分析 → 合外力 → a = F_合/m → 运动状态 这条链条。凡是"已知力求运动"或"已知运动求力"的题目，解题的第一个、也是最关键的步骤都是受力分析。高考中所有动力学题目（传送带、板块、连接体、超重失重、瞬时性问题）全部建立在这一步之上。

典型失误：把"匀速"当成"不受力"（应是合外力为零）；把"静止"与"平衡"混同；忘记某个力或凭空多画一个"惯性力"。

二、与"曲线运动 + 天体运动"的联系：合外力指向圆心

做圆周运动的物体，合力沿半径方向的分量提供向心力：F_向 = mv²/r = mω²r。但务必牢记：向心力是效果力，不是性质力，受力分析时绝不能把"向心力"单独画上去，只能写"重力、支持力、绳的拉力……的合力提供向心力"。

天体运动是天体做匀速圆周运动的特例：万有引力提供向心力，GMm/r² = mv²/r = mω²r = m(4π²/T²)r。若问"卫星变轨""双星系统""重力加速度随纬度、高度变化"，本质仍是受力分析后写向心力方程。

典型失误：在受力分析图上多画一个"向心力"或"离心力"；把"重力"与"万有引力"混为一谈（赤道上 GMm/R² = mg + mω²R）。

三、与"功、能、动量"的联系：力是功和冲量的源头

做功的两个必要因素是"力"与"位移"，W = Fs cosθ；冲量 I = Ft。分析做功正负、判断某力是否做功（如洛伦兹力永不做功、向心力不做功）、用动能定理列式时确定"有哪些力做功"，前提都是受力分析。动量定理中"合外力的冲量"同样要求先求合外力。

典型失误：把支持力当作一定不做功（沿斜面一起运动的支持力可以做功）；在动能定理中漏掉某个力做的功。

四、与"电磁学"的联系：把场力当成"普通的力"加进受力图

这是受力分析"迁移能力"最重要的体现。三种场力的性质必须与重力、弹力、摩擦力平起平坐地写进受力图：

带电体在复合场中做直线运动时，如果同时受到洛伦兹力，则必须是匀速直线运动（否则 v 变→洛伦兹力变→轨迹弯曲），此时合力为零，就是共点力平衡问题。

典型失误：判断安培力时忘记"F⊥B 且 F⊥I"；判断洛伦兹力时对负电荷没有反向；把洛伦兹力当作做功的力；忽略电场力或重力中的任一个。

五、与"热学"的联系：活塞、气缸、水银柱的平衡

热学中的气体状态问题几乎每道题都要先用受力平衡把压强定出来。例如：竖直放置的开口向上的气缸内封闭一段气体，活塞质量为 m、面积为 S，则封闭气体的压强 p = p₀ + mg/S——这正是"活塞受重力、大气压力 p₀S、气体压力 pS 三力平衡"的直接结果；水平放置时 p = p₀；开口向下时 p = p₀− mg/S。水银柱问题同理（竖直管 p = p₀ ± ρgh）。

此外，分子间同时存在引力和斥力，分子力随距离变化的图像（r = r₀ 时分子力为零、分子势能最小）也与"力的平衡"思想同源。

典型失误：分析活塞受力时漏掉大气压力；把"压强"直接等同于"力"而不乘面积 S。

六、与"原子物理 + 近代物理"的联系：库仑力约束核式结构

卢瑟福通过 α 粒子散射现象提出核式结构模型，其理论依据就是：α 粒子靠近金原子核时受到库仑斥力，由于该力沿两者连线，故 α 粒子在核的库仑场中运动时角动量守恒，可以推导出大角度散射的规律。氢原子模型中，电子绕核运动，库仑力提供向心力：ke²/r² = mv²/r，从而得到半径与速度的关系。玻尔模型中"定态"要求电子在特定轨道上不发生辐射，本质是"受力与运动"的特殊约定。

典型失误：在原子物理中忽略力的方向（库仑力是斥力还是引力）；把量子化的能量条件当成可以用经典力学推出的结果。

七、结论：学好受力分析，本质是训练四种"物理定力"

1. 定研究对象——先想清楚"我在分析谁"，整体还是某个部分。

2. 定力的来源——每一个力都要能说出"施力物体是谁"，说不出来就一定是画错了。

3. 定力的方向——绳子一定沿绳、杆不一定沿杆、摩擦一定沿接触面、洛伦兹力一定垂直于速度。

4. 定检验标准——画完之后，用运动状态（静止／匀速／加速／圆周运动）反查一遍合力的方向与大小是否合理。

【警示】一轮复习中，力学板块学得好与坏，直接决定后续电磁学、热学、光学乃至原子物理板块综合题的得分上限。受力分析不扎实，刷题再多也是"空中楼阁"。

因此，一句话：受力分析是高中物理的"母方法"，本章是高中物理的"母章节"。它在高考中很少单独作为压轴题出现，却几乎出现在每一道力学与力电综合题的解答过程里。本专题虽然属于必修一内容，但它是整个高三物理复习的第一战。请同学们务必做到：每道题必须先画受力图，每个力必须能说出施力物体，每个方向必须列出分量方程，这就是"物理思维"的起点。

第一部分　基本知识清单

图 1-0　本专题"知识—方法"结构图（建议先整体把握，再逐条过关）

1.1　力的概念与分类

力是物体与物体（或场与物体）之间的相互作用，其作用效果是使物体发生形变或改变运动状态。力是矢量，遵守平行四边形定则。

纪律一：受力分析图上只画性质力；每个力都必须能指出施力物体。

1.2　重力

• 大小：G = mg。同一物体在地球上不同位置，g 略有不同（随纬度升高而增大、随高度升高而减小、随深度先减小后增大）。

• 方向：竖直向下（不是指向地心，也不是垂直于接触面）。

• 作用点：重心。质量分布均匀、形状规则的物体，重心在几何中心；重心可以在物体之外（如圆环）。

• 重力是万有引力的一个分力：在两极 G = F_万；在赤道 G = F_万 − mω²R。

1.3　弹力

产生条件：两物体直接接触，且发生弹性形变（缺一不可，且形变必须是"相互挤压"性质的）。

方向判断：弹力的方向总与"使物体发生形变的外力"方向相反，具体化为：

纪律二：绳的张力可以突变，弹簧的弹力不能突变（因为形变需要时间），这是"瞬时性问题"的核心判据。

【易错点】"弹力方向一定沿绳/沿杆"——只有轻绳和两端铰链轻杆才沿；硬杆、接触面的弹力必须根据接触面几何判断或由平衡条件确定。          

图 1-1　六种典型接触／连接方式的弹力方向

1.4　摩擦力

产生条件：①接触面粗糙；②接触处有弹力（正压力不为零）；③有相对运动或相对运动趋势。

纪律三：摩擦力不一定是阻力。摩擦力可以是动力（如随传送带一起加速的物体、汽车驱动轮受到的静摩擦力）；摩擦力也不一定与运动方向相反（可能与运动方向成任意角）。

最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，通常题目中近似认为两者相等，此时"恰好滑动"就对应 f = μN。

图 1-2　摩擦力方向的三种典型情形

【关键结论】若滑块在不受外力时恰能沿斜面匀速下滑（即 mgsinθ = μmgcosθ，即 μ = tanθ），则无论施加什么方向的外力，只要滑块仍沿斜面向下滑动，滑块对斜面的压力与摩擦力的合力始终竖直向下，地面对斜面体永远没有摩擦力。          

1.5　四种场力

（1）电场力 F = qE

方向：正电荷受力方向与场强 E 方向相同；负电荷相反。电场力在匀强电场中是恒力，与重力非常相似，处理方法完全类比重力（常把电场+重力合成"等效重力"）。

（2）安培力 F = BIL（B⊥I 时）

方向由左手定则判断：伸开左手，磁感线穿手心，四指指向电流方向，大拇指指向安培力方向。安培力方向始终垂直于电流方向和磁场方向所决定的平面。通电导体棒在磁场中的平衡问题是常考综合题。

（3）洛伦兹力 F = qvB（v⊥B 时）

方向同样由左手定则（注意四指指向正电荷运动方向，负电荷相反）。关键特性：洛伦兹力始终垂直于速度方向，永远不做功，只改变速度方向不改变速度大小。洛伦兹力参与的"平衡"通常是匀速直线运动（即速度选择器原理：qE = qvB，或与重力、电场力等平衡）。

（4）万有引力 F = GMm/r²

方向沿两质点连线相互吸引。在天体运动中，万有引力提供向心力，是"单个力作用下的动力学"，处理方法与地面力学完全一致——先受力分析（只有万有引力），再列方程。

6　受力分析的规范流程

"五步法"：

1. 定对象——明确分析"谁"，把它从周围环境中隔离出来。

2. 画重力——一定有（除非题设忽略）。

3. 找弹力——沿研究对象与周围物体的每一个接触面／接触点去找，用"假设法"判断弹力的有无。

4. 判摩擦——凡有弹力且接触面不光滑处，都要判断有无摩擦力及其方向（用"假设法"：假设摩擦消失，看相对运动趋势）。

5. 补场力与已知外力——电场力、安培力、洛伦兹力、万有引力、题目给定的拉力等。

"四不许"：不许画效果力（向心力、回复力）；不许漏力（每个接触面都要检查）；不许画"多余的力"（每个力都要有施力物体）；不许只画大小不标方向。

受力分析的基本顺序：

"一重二弹三摩擦四其他"：          ① 先画重力（非接触力，一切地面物体必受）；          ② 再看与哪些物体接触，每个接触点若有挤压则画弹力；          ③ 有弹力且接触面粗糙、有相对运动/趋势时画摩擦力；          ④ 最后加电场力、磁场力、万有引力等场力。          检查原则：每个力都必须能找到施力物体；不存在"惯性力""下滑力""向心力"等效果力！          

1.7　整体法与隔离法

图 1-3　整体法与隔离法的适用场合

纪律四：一般先整体、后隔离。用整体法求出"系统受的外力"，再用隔离法配合牛三定律求出"内力"。若各物体加速度不同，则不能随意用整体法（需用系统牛二定律）。

使用策略：绝大多数题目需要"先整体求外力，再隔离求内力"交替使用。判断地面是否受摩擦力、地面支持力多大——用整体法快速秒杀；求物体间的相互作用力——必须隔离。

1.8　共点力平衡的条件与推论

平衡状态：静止或匀速直线运动，即加速度 a = 0。

平衡条件：F_合 = 0，正交分解后即 ΣF_x = 0，ΣF_y = 0。

四条常用推论：

• 推论一：三力平衡时，三个力必共点（若不是平行力）。

• 推论二：n 个力平衡时，其中任意一个力必与其余 (n−1) 个力的合力等大反向。

• 推论三：把 n 个力首尾相接，必构成一个闭合的多边形（三力时即为闭合三角形）。

• 推论四（拉密定理）：三个共点力平衡时，每个力与另外两个力夹角的正弦之比相等，即 F₁/sinα = F₂/sinβ = F₃/sinγ（α、β、γ 分别是各力所对角）。

处理三力以上平衡问题的核心武器是正交分解法。

图 1-4　正交分解法示意

正交分解步骤：

① 选定研究对象，画出完整受力图；

② 建立直角坐标系——原则：让尽可能多的力落在坐标轴上，减少分解量；在斜面上通常沿斜面和垂直斜面建立；有加速度时沿加速度方向和垂直加速度方向建立；

③ 将不在坐标轴上的力分解到两轴上，注意三角函数的正确性（邻边=cos·F，对边=sin·F）；

④ 列平衡方程：ΣF_x = 0，ΣF_y = 0（若有加速度则 ΣF_x = ma_x，ΣF_y = ma_y）；

⑤ 联立求解，必要时用摩擦定律 f = μN、胡克定律 F = kx 补充方程。

【关键公式】水平面上用斜向上力F拉物体匀速运动时：          ΣF_x = Fcosθ − f = 0          ΣF_y = N + Fsinθ − mg = 0，且 f = μN          联立得 F = μmg/(cosθ + μsinθ)，当tanθ=μ时F最小。          

1.9　平衡问题的四种解法

图 1-5　正交分解的建系原则与分解过程

图 1-6　相似三角形法：力三角形 ∽ 几何三角形（T/L = N/R = G/h）

1.10　易错清单（考前必看）

第二部分　考点透析与考情分析

2.1　近四年考情概览

本专题在高考中以选择题为主要题型（1 题 3～6 分），偶有计算题（与功能关系、电磁感应结合）。近四年高频命题点集中在：①力与平衡的分析（含电场力、安培力参与的力电综合平衡）；②整体法与隔离法；③动态平衡与极值；④摩擦力方向与临界问题。

命题趋势分析：近五年高考对本专题的考查呈现"情境化、综合化、模型化"三大特征。不再是简单水平面/斜面的纯裸模型，而是以晾衣杆、机械臂、人形机器人、网兜足球、体育器械、工程构件等真实情境为载体，考查模型建构能力。动态平衡问题常作为选择题压轴题出现，整体法隔离法几乎渗透到每一道力学与电磁学综合题中。

2.2　命题趋势与复习建议

• 情境化：以无人机吊运、高楼吊装、举重、书法、独竹漂、"风动石"等真实情境命题，要求把生活情境抽象为力的模型。复习时应训练"读题→画图"的转化速度。

• 综合化：单考一个力的题在减少，一道题往往同时考查"力的判断 + 平衡条件 + 力的合成与分解 + 牛顿第三定律 + 超重失重"。

• 与电磁学打通：电场力、安培力、洛伦兹力作为"新的力"进入平衡方程，方法完全迁移。

• 建议：本章一轮复习的着力点不是"背公式"，而是把受力图画规范。建议每次做题先强制画出受力图，标出每个力的施力物体，再列方程。

第三部分　六大母题 · 真题变式精讲

母题 1　三力静态平衡（正交分解法）

【母题 1】（改编自 2024·河北卷情境）

如图，倾角 θ = 30° 的固定斜面上放着一个质量为 m 的光滑均匀球体，球体被一块竖直挡板挡住而保持静止。求斜面对球体的支持力 N₁ 和挡板对球体的支持力 N₂。

图 3-1　母题 1 情境图与受力分析图

思路剖析

① 研究对象：光滑球体。② 弹力：球与斜面接触（点—面），支持力 N₁ 沿半径、垂直于斜面指向球心；球与挡板接触，支持力 N₂ 水平指向球心。③ 摩擦力：球光滑、挡板光滑，无摩擦。④ 共 3 个力：mg、N₁、N₂。

规范解答

以球心为原点，取水平、竖直方向为坐标轴：

竖直方向：N₁ cos30° = mg　→　N₁ = mg / cos30° = 2√3mg/3 ≈ 1.15mg

水平方向：N₂ = N₁ sin30° = 1.15mg × 0.5 = √3mg/3 ≈ 0.58mg

（换一种建系：沿斜面方向 N₂cos30° − mg sin30° = 0 → N₂ = mg tan30° = √3mg/3；垂直斜面方向 N₁ = mg cos30° + N₂ sin30° = √3mg/2 + √3mg/6 = 2√3mg/3。两种建系结果一致，可作为自我检验。）

对照思考（同一情境，改变约束）

图 3-2　挡板改为垂直于斜面时的对照分析

若把竖直挡板换成垂直于斜面的挡板，则 N₂ 沿斜面方向、N₁ 仍垂直斜面，两力互相垂直：

沿斜面方向：N₂ = mg sin30° = 0.5mg　　垂直斜面方向：N₁ = mg cos30° = √3mg/2 ≈ 0.87mg

方法提炼：球受的力（重力）没变，变的是"约束的方向"。支持力的方向由接触面的方向唯一决定，因此"先判断约束方向，再列方程"是静态平衡题的第一动作。

易错警示：把 N₁ 直接写成 mg cos30°。只有当球只受斜面的支持（没有挡板、细绳等其他力）时，才有 N = mg cosθ。

变式 1-1（2023·浙江卷）

如图，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重力为 G 的光滑圆柱体静置其上，a、b 为相切的接触点，∠aOb = 90°，半径 Ob 与重力的夹角为 37°。已知 sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，则圆柱体受到的支持力 F_a、F_b 大小为（　　）

A. F_a = 0.6G，F_b = 0.4G　　B. F_a = 0.4G，F_b = 0.6G　　C. F_a = 0.8G，F_b = 0.6G　　D. F_a = 0.6G，F_b = 0.8G

图 3-3　变式 1-1

解析：圆柱体受重力 G（竖直向下）与两支持力 F_a、F_b，三力共点于球心 O。支持力方向沿各自半径的反方向（指向球心侧）、垂直于接触面。

由于 ∠aOb = 90°，两支持力的方向互相垂直，故 F_a ⊥ F_b，三个力构成直角三角形，G 为斜边：

F_b = G cos37° = 0.8G，F_a = G cos53° = G sin37° = 0.6G。

答案：D

方法提炼：两支持力互相垂直 → 优先考虑"三力构成直角三角形"的合成法，比正交分解更快。

变式 1-2（2025·福建卷）

"风动石"是福建省著名的自然景观。无风时，"风动石"在重力和底部巨石作用力 F₁ 的作用下静止不动。若"风动石"受到一水平方向的风力作用时仍保持静止，此时底部巨石对其作用力为 F₂，则（　　）

A. F₁ 的大小比 F₂ 的小　　B. F₁ 的大小比 F₂ 的大　　C. F₁ 与 F₂ 大小相等　　D. F₁ 与 F₂ 方向相同

图 3-4　变式 1-2

解析：无风时只有两个力作用，"风动石"受力平衡，故 F₁ 与重力 G 等大反向：F₁ = G，方向竖直向上。

有水平风力 F 时，三力平衡。由"任意一个力必与其余力的合力等大反向"可知：F₂ 与（G 与 F 的合力）等大反向，故

F₂ = √(G² + F²) > G = F₁，且 F₂ 的方向斜向左上，与 F₁ 方向不同。

答案：A

方法提炼：三力平衡的推论二（"一个力与其余力的合力等大反向"）是处理"某个力变化后比较大小"问题的最快工具。

变式 1-3（2025·陕晋青宁卷）

如图，质量为 m 的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态。钢管与水平地面之间的动摩擦因数为 μ，重力加速度大小为 g，则地面对钢管左端的摩擦力大小为（　　）

A. 某个由 μ 和 mg 确定的量　　B. 另一个由 μ 和 mg 确定的量　　C. 第三个值　　D. 0

图 3-5　变式 1-3

解析：对钢管受力分析：重力 mg（竖直向下）、绳的拉力 T（竖直向上）、地面对左端的支持力 N（竖直向上）、地面对左端的摩擦力 f（水平方向，若存在）。

在水平方向上，除了可能存在的摩擦力 f 之外，没有任何力（重力、拉力、支持力都没有水平分量）。钢管处于静止状态，水平方向合力必须为零，因此必然有

f = 0。

答案：D

方法提炼：判断某个方向上的摩擦力是否为零，只需看"该方向上除它之外还有没有别的力"。这是快速判断的通用技巧。

易错警示：一看到"粗糙"，就认为一定有摩擦力，甚至有 f = μN。摩擦力的存在需要"相对运动趋势"这一条件，本题中水平方向无其他力，钢管没有水平方向的相对运动趋势。

母题 2　动态平衡（图解法与极值）

【母题 2】（承接母题 1 情境）

如图，质量为 m 的光滑球体放在倾角 θ = 30° 的固定斜面上，被一块可以绕其与斜面接触的下端转动的挡板挡住。开始时挡板竖直，现缓慢转动挡板（使其与斜面的夹角逐渐增大，直到挡板接近水平）。求：

(1) 斜面对球的支持力 N 如何变化？

(2) 挡板对球的压力 N′ 如何变化？N′ 的最小值是多少？

图 3-6　母题 2 情境图与矢量三角形

思路剖析

"缓慢"意味着任一时刻都处于平衡状态，合外力时刻为零。三个力中：

• 重力 G：大小、方向都不变；

• 斜面的支持力 N：方向始终垂直于斜面（方向不变），大小变化；

• 挡板的压力 N′：方向始终垂直于挡板，随挡板转动而改变（大小、方向都变）。

这正是图解法的标准特征：一个恒力 + 一个方向不变的力 + 一个大小方向都变的力。

规范解答

把 G、N、N′ 首尾相接作闭合矢量三角形：由于 G 的大小方向不变、N 的方向不变，三角形中一个顶点将沿着一条固定直线移动。

(1) 随着挡板转动，N 一直减小（从竖直挡板时的 mg/cos30° ≈ 1.15mg，减小到挡板水平时的 0）。

(2) N′ 先减小后增大。当 N′ ⊥ N（即挡板垂直于斜面）时 N′ 取最小值：

N′_min = mg sinθ = mg sin30° = 0.5mg

验证：挡板竖直时 N′ = mg tan30° ≈ 0.58mg；挡板垂直斜面时 N′ = mg sin30° = 0.5mg（最小）；挡板接近水平时 N′ → mg。变化规律"先减小后增大"得到验证。

答案：(1) N 一直减小；(2) N′ 先减小后增大，最小值 0.5mg。

方法提炼：图解法三步走——①找出"恒力"；②找出"方向不变的力"；③作闭合三角形，观察变力的边长变化。极值一律出现在"两个变力的方向互相垂直"时。

易错警示：不要因为"缓慢"就认为合力不为零；"缓慢"= 每一时刻都平衡。

变式 2-1（2024·新课标卷）

将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子 P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子 Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量 m = 42 kg，重力加速度 g 取 10 m/s²，当 P 绳与竖直方向的夹角 α = 37° 时，Q 绳与竖直方向的夹角 β = 53°。

(1) 求此时 P、Q 绳中拉力的大小；

(2) 若开始竖直下降时重物距地面的高度 h = 10 m，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功。

图 3-7　变式 2-1

解析：

(1) 重物"缓慢"下降，任一时刻都处于平衡状态。P 绳从高处斜向上拉重物，Q 绳从地面斜向下拉重物（注意：Q 绳连的是站在地面上的人，因此它对重物的拉力沿绳指向地面的方向，其竖直分量是向下的）。设 P、Q 绳中拉力分别为 T₁、T₂。

水平方向：T₁ sin37° = T₂ sin53°，即 0.6T₁ = 0.8T₂　…①

竖直方向：T₁ cos37° = mg + T₂ cos53°，即 0.8T₁ = 420 + 0.6T₂　…②

由①得 T₂ = 0.75T₁，代入②：0.8T₁ = 420 + 0.45T₁，解得

T₁ = 1200 N，T₂ = 900 N。

(2) 重物缓慢下降，动能变化为零。对重物应用动能定理：W_拉 + mgh = 0，故

W_拉 = −mgh = −42 × 10 × 10 J = −4200 J。

答案：(1) T_P = 1200 N，T_Q = 900 N；(2) −4200 J。

方法提炼：两根绳"一上一下"的模型，竖直方向要区分拉力的竖直分量是向上还是向下。第(2)问用动能定理，不要试图用第(1)问的瞬时拉力去算功（拉力是变力，且第(1)问只给了某一时刻的值）。

易错警示：把竖直方程写成 T₁cos37° + T₂cos53° = mg，那就等于认为两根绳都在向上拉，与实际情境不符。

变式 2-2（2025·河北卷）

如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力 F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为 G。若小球始终位于内壁最低点，则 F 的最大值为（　　）

A. G/2　　B. √2G/2　　C. G　　D. √2G

图 3-8　变式 2-2

解析：小球位于半圆内壁最低点时，它到左、右边沿的连线与水平方向均成 45°（因为左、右边沿在同一水平直径的两端，最低点到它们的方向与水平方向成 45°）。

对小球受力分析：重力 G（竖直向下）、凹槽内壁的支持力 N（在最低点沿半径，即竖直向上）、以及两段绳的拉力——因为是同一根不可伸长的绳，穿过小球的光滑孔，故两段绳的张力大小相等，均为 F，方向分别沿"球→左边沿"和"球→右边沿"，与水平方向成 45°，且向上倾斜。

竖直方向：N + 2F sin45° = G，即 N + √2F = G。

F 取最大值时，小球恰好要离开内壁，即 N = 0，故 √2F_max = G，得

F_max = √2G/2。

答案：B

方法提炼：同一根光滑绳跨越（穿过）物体时，各段张力大小相等；"恰好离开接触面"是典型的隐含临界条件（N = 0）。

变式 2-3（2023·湖南卷）

质量为 M 的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图。A 为半圆的最低点，B 为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为 m 的小滑块。用推力 F 推动小滑块由 A 点向 B 点缓慢移动，力 F 的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（　　）

A. 推力 F 先增大后减小　　B. 凹槽对滑块的支持力先减小后增大

C. 墙面对凹槽的压力先增大后减小　　D. 水平地面对凹槽的支持力先减小后增大

图 3-9　变式 2-3

解析：设滑块与最低点的连线（半径）与竖直方向的夹角为 θ，滑块从 A 到 B 的过程中 θ 由 0° 增大到 90°。

对滑块（隔离）：受重力 mg、凹槽的支持力 N（沿半径指向圆心）、推力 F（沿切线）。由平衡条件：

F = mg sinθ（一直增大），N = mg cosθ（一直减小）→ A、B 均错误。

对"凹槽 + 滑块"（整体）：水平方向——滑块对凹槽的压力沿"由圆心指向外"的方向，其水平分量大小为 N sinθ = mg cosθ sinθ = ½mg sin2θ，方向指向墙面；凹槽静止，故墙面对凹槽的压力大小等于 ½mg sin2θ。θ 从 0° 增大到 90° 时，sin2θ 先增大后减小（θ = 45° 时最大），故墙面对凹槽的压力先增大后减小，C 正确。

竖直方向——整体受重力 (M+m)g、地面的支持力 N_地、推力 F（竖直分量 F sinθ 向上）：

N_地 = (M+m)g − F sinθ = (M+m)g − mg sin²θ，随 θ 增大一直减小 → D 错误。

答案：C

方法提炼：滑块受力简单，用隔离法；凹槽受到的力复杂，用"接触面上的反作用力 + 整体法"更简捷。本题是"隔离 + 整体"交替使用的最典型范例。

变式2-4绳挂圆柱体木板转动动态平衡（2022·河北卷·7）

【题目】如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的 P 点，将木板以底边 MN 为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦。在转动过程中（）

A．圆柱体对木板的压力逐渐增大          B．圆柱体对木板的压力先增大后减小          C．两根细绳上的拉力均先增大后减小          D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变

图 3-10　变式 2-4 动态平衡（正弦定理法）

【答案】B

【解析】

圆柱体受三个力：重力 mg（恒定）、木板支持力 N（垂直木板，方向随木板转动而变化）、两绳拉力的合力 T（两绳等长对称，合力沿两绳角平分线方向；由于绳与木板夹角α不变，T与N的夹角始终为π−α）。

设木板与初始竖直方向夹角为β（β从0°变到90°），绳与木板夹角α不变。由力矢量三角形和正弦定理：

由正弦定理（拉密定理）：N/sin(β+α) = T/cosβ = mg/cosα          即 N = mg·sin(β+α)/cosα，T = mg·cosβ/cosα          N 分析：β 由 0 增大到 90°，(β+α) 由 α 增大到 (90°+α)，sin(β+α) 先增大后减小（β+α = 90° 时最大），因此 N 先增大后减小          ，圆柱体对木板压力是N的反作用力，同样先增后减，B正确。          T = mg·cosβ/cosα，随 β 增大单调减小，不是先增后减，C错误。          两绳拉力的合力T是变化的（因为N在变），D错误。          

【方法总结】本题是动态平衡难题，2022年河北卷的拉分题。核心方法是"正弦定理法（拉密定理）"：找到力三角形中不变的角和变化的角，把力表示为单变量三角函数，再用三角函数单调性分析极值。注意：两绳"合力"不是恒定的——三力平衡时只有"两力的合力"才与第三力等大反向，本题T和N都在变化，它们的合力才恒定等于mg的反方向（竖直向上）。

变式2-5通电导体棒在斜面上的安培力平衡（经典高频模型）

【题目】如图，在倾角为 α 的光滑斜面上，垂直纸面放置一根长为 L、质量为 m 的直导体棒，导体棒中通有大小为 I、方向垂直纸面向里的电流。欲使导体棒静止在斜面上，可以施加方向垂直于导体棒的匀强磁场。求磁感应强度的最小值和对应的方向。

图 3-11　变式 2-5 安培力平衡（左：B 垂直斜面；右：B 竖直时）

【答案】B_min = mgsinα/(IL)，方向垂直斜面向上（电流垂直纸面向里时，由 F = I L × B 判定）

【解析】

导体棒受三个力：重力 mg（竖直向下）、斜面支持力 N（垂直斜面向上，方向固定）、安培力 F=BIL（方向由左手定则，随B方向变化）。三力平衡，属于"一力恒定、一力方向固定、第三力大小方向都变"的动态模型——用图解法。

要使B最小（安培力最小），安培力方向应沿斜面向上（此时安培力与N垂直，安培力取极小值）。由左手定则：电流向里（×），F沿斜面向上，B方向垂直斜面向下。

沿斜面方向平衡：BIL = mgsinα          得 B_min = mgsinα/(IL)，B 垂直斜面向上。【拓展1】磁场竖直向上→安培力水平向右          ：BILcosα = mgsinα → B = mgtanα/(IL)          【拓展2】导体棒与斜面无挤压（N=0）→安培力竖直向上：BIL=mg → B=mg/(IL)，B方向水平向左。          

【方法总结】安培力平衡问题本质仍是力学平衡，只是多了一个安培力，其方向由B和I共同决定（左手定则）。解题关键：①用左手定则正确判断安培力方向；②把安培力当作普通力，按正交分解或矢量三角形列平衡方程；③"最小磁场"类问题一律转化为"最小安培力"——安培力方向应沿最需要平衡的方向（通常是沿接触面切线方向），此时安培力最小。

变式2-6带电小球在匀强电场中的平衡

【题目】如图所示，竖直放置的平行板电容器间形成水平方向的匀强电场。一质量为 m、带电量为 +q 的小球用长为 L 的绝缘细线悬挂于正极板附近，平衡时细线与竖直方向夹角为 θ。求：（1）板间电场强度 E 的大小；（2）若剪断细线，小球的运动性质。

图 3-12　变式 2-6 带电小球在电场中平衡

【解析】

（1）小球受三个力：重力 mg（竖直向下）、电场力 qE（水平向右，正电荷沿E方向）、绳拉力 T（沿绳向左上方与竖直方向成θ角）。

水平方向：Tsinθ = qE          竖直方向：Tcosθ = mg          两式相除：tanθ = qE/mg → E = (mg·tanθ)/q          这就是用“偏角法”测量电场强度的经典模型（与密立根油滴实验“电场力平衡重力”的思路同源）。          （2）剪断细线后，拉力T消失，小球在恒力 mg 与 qE 的合力作用下做初速度为零的匀加速直线运动。          合力大小 F_合 = mg/cosθ，加速度 a = g/cosθ，方向沿原绳方向斜向下（与竖直方向成θ角）。          

【方法总结】电场力参与的平衡与纯力学平衡方法完全一致——只是多了一个恒力（电场力）。若重力和电场力共存，常把二者合成为"等效重力"，所有力学模型（单摆、圆周运动、斜面等）都可以类比迁移。这是处理电磁学复杂运动的常用技巧。

变式2-7两球套在光滑圆环上的连接体难题（多选）

【题目】如图所示，一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B（中央有孔），A、B间由细绳连接，它们处于图示位置时恰好都能保持静止。此时B球与环中心O处于同一水平面上，细绳与水平线成30°夹角。若B球的质量为m，下列说法正确的是（）

A．球A对圆环的作用力沿半径方向指向圆心          B．球A的质量为2m          C．绳子所受拉力大小为2mg          D．若圆环粗糙且与A球的动摩擦因数μ=0.5，则剪断细绳后A仍可保持静止

图 3-13　变式 2-7 两球套在光滑竖直圆环上

【答案】ABC

【解析】

这是一道经典的多物体连接体平衡难题。需分别隔离A、B两球受力分析。

先分析B球：B受重力mg（竖直向下）、圆环弹力N_B（沿半径OB向外，即水平向右）、绳拉力T（沿绳向左上方与水平成30°）。

B球竖直方向：Tsin30° = mg → T = 2mg（C正确）          B球水平方向：N_B = Tcos30° = √3·mg          

再分析A球：A受重力 m_A g（竖直向下）、圆环弹力 N_A（沿半径OA方向，光滑圆环弹力沿半径向外）、绳拉力 T=2mg（沿绳向右下方与水平成30°）。

几何推导：绳与水平成30°斜向左上方到B点，A在左上方。由几何关系，OA与竖直方向夹角为30°。

A球水平方向：N_Asin30° = Tcos30° → 0.5N_A = 2mg·(√3/2) → N_A = 2√3·mg          A球竖直方向：N_Acos30° = m_Ag + Tsin30° → 3mg = m_Ag + mg → m_A = 2m（B正确）          A选项：圆环对A的弹力沿半径背离圆心向外，由牛顿第三定律，A对圆环的反作用力沿半径指向圆心——A正确。          D选项：剪断细绳后，A在原位置受重力、环的支持力（沿半径向外）、静摩擦力（沿切线）。重力沿切线方向的分力为 2mg·sin30°=mg；最大静摩擦力 f_max=μN=0.5·2mg·cos30° = 0.5√3·mg≈0.866mg < mg，故A会下滑，D错误。          

【方法总结】多物体连接体问题，"先隔离简单物体求绳拉力（内力），再隔离复杂物体"是基本策略。光滑圆环的弹力方向一定沿半径——这是关键几何约束。剪断绳后要重新受力分析，注意静摩擦力上限f_max=μN的计算以及切线方向下滑分力的比较。

母题 3　相似三角形法

【母题 3】

如图，半径为 R 的光滑球用长为 L 的细绳悬挂在竖直墙上的 A 点，球靠在竖直墙上处于静止。已知 A 到球与墙接触点 B 的距离为 h。求绳的拉力 T 和墙对球的支持力 N，并讨论 A 点沿墙上移时 T、N 如何变化。

图 3-14　母题 3 情境图

思路剖析

球受三个力：重力 G（竖直向下）、墙的支持力 N（水平，垂直于墙面）、绳的拉力 T（沿绳 AO 方向）。

这三个力的方向分别与几何三角形 △AOB 的三条边平行：T ∥ AO，N ∥ OB，G ∥ AB。因此力三角形 ∽ 几何三角形 △AOB。

规范解答

由相似三角形对应边成比例：

T / AO = N / OB = G / AB，即 T / L = N / R = G / h

故　T = GL / h　，　N = GR / h

讨论：把 A 点沿墙缓慢上移，则 h = AB 增大，同时绳长 L = √(h² + R²) 也随之增大。由 T = G√(1 + R²/h²)、N = GR/h 可知，h 增大时 T、N 都减小（"绳越长、悬挂点越高，越省力"）。

等价写法：设绳与竖直方向的夹角为 θ，则 h = L cosθ，R = L sinθ，于是 T = G/cosθ ，N = G tanθ。这与相似三角形法得到的结果完全一致，也说明"T 一定不小于 G"。

方法提炼：相似三角形法的识别信号是——题目给出的是一组长度（绳长、半径、高度），而力的方向恰好与某个几何三角形的三边平行。此时不要把长度代入力的方程，而是直接列"力 ∽ 长度"的比例式。

易错警示：把相似三角形的比例关系写成 T/R = N/L 之类的错位。写比例时，必须保证每个力与和它平行的那条边一一对应。

变式 3-1（2023·浙江卷）

如图，轻质网兜兜住重力为 G 的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的 A 点，轻绳的拉力为 F_T，墙壁对足球的支持力为 F_N，则（　　）

A. F_T < F_N　　B. F_T = F_N　　C. F_T > G　　D. F_T = G

图 3-15　变式 3-1

解析：足球受到重力 G、墙的支持力 F_N（水平、垂直于墙）、网兜通过球心沿 AO 方向的拉力 F_T，三力平衡。设绳与竖直方向的夹角为 θ，则

F_T cosθ = G　→　F_T = G / cosθ > G；

F_N = G tanθ。

由于 cosθ < 1，故 F_T > G 恒成立，且 F_T 一定大于 F_N（因 tanθ < 1/cosθ 并不总成立，但本题中 θ 较大，F_T > G 是确定结论）。

答案：C

方法提炼：本题可直接用相似三角形法（F_T/L = F_N/R = G/h）快速得到，也可用正交分解。两种方法的结论必须一致，可作为检验。

变式 3-2（2025·黑吉辽蒙卷）

如图，趣味运动会的"聚力建高塔"活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率 v 相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则 v（　　）

A. 一直减小　　B. 一直增大　　C. 先减小后增大　　D. 先增大后减小

图 3-16　变式 3-2

解析：设绳长为 L，绳与竖直方向的夹角为 θ，两手到塔块的竖直距离为 h = L cosθ，两手水平间距的一半为 x = L sinθ。

由于绳长不变，且塔块沿竖直方向匀速下落（速度大小 u 不变），h 增大 → cosθ 增大 → θ 减小。

把手的速度沿绳方向（v_绳 = v sinθ，因为手沿水平方向运动）和垂直于绳方向分解；塔块下落的速度沿绳方向的分量为 u cosθ。由于绳不可伸长，两者沿绳方向的速度必须相等：

v sinθ = u cosθ　→　v = u / tanθ

塔块匀速下落时 θ 不断减小，tanθ 不断减小，故 v 一直增大。

答案：B

方法提炼："绳（杆）不可伸长"的约束条件——两端沿绳方向的速度分量相等。这类题是"受力平衡 + 运动合成与分解"的结合，一轮复习中要作为跨模块题型重点训练。

母题 4　整体法与隔离法

【母题 4】

如图，质量 M = 2 kg 的斜面体 B 放在水平地面上，斜面倾角 θ = 30°。质量 m = 1 kg 的物块 A 放在 B 的斜面上，用沿斜面向上的拉力 F 拉 A，使 A 沿斜面匀速上滑，B 始终保持静止。已知 A 与 B 之间的动摩擦因数 μ = √3/3，g 取 10 m/s²。求：

(1) 拉力 F 的大小；　(2) 地面对 B 的摩擦力大小和方向；　(3) 地面对 B 的支持力大小。

图 3-17　母题 4 情境图与整体受力图

思路剖析

求"A 与 B 之间的作用力（内力）"用隔离法；求"地面对 B 的作用力（外力）"用整体法。第(1)问针对 A，第(2)(3)问针对 A + B 整体。

规范解答

(1) 隔离 A：垂直斜面方向 N₁ = mg cos30° = 1 × 10 × (√3/2) N = 5√3 N ≈ 8.66 N；

A 匀速上滑，沿斜面方向：F = mg sin30° + μN₁ = 5 N + (√3/3) × 5√3 N = 5 N + 5 N = 10 N。

(2)(3) 整体（A + B）：受总重力 (M+m)g = 30 N（竖直向下）、拉力 F（沿斜面向上，与水平方向成 30°）、地面对 B 的支持力 N_地（竖直向上）、地面对 B 的摩擦力 f_地（水平）。

水平方向：F cos30° − f_地 = 0　→　f_地 = 10 × (√3/2) N = 5√3 N ≈ 8.66 N，方向水平向左（与 F 的水平分量方向相反）。

竖直方向：N_地 + F sin30° − (M+m)g = 0　→　N_地 = 30 N − 10 × 0.5 N = 25 N。

答案：(1) 10 N；(2) 5√3 N，水平向左；(3) 25 N。

方法提炼：整体法中，A 与 B 之间的压力、摩擦力等内力自动抵消，方程更简单。但使用整体法前必须确认"各物体的加速度相同（含相对静止）"。

易错警示：整体法列方程时忘记把 F 分解（F 沿斜面方向，既有水平分量又有竖直分量）；或误以为地面对 B 的支持力等于 30 N。

变式 4-1（2025·北京卷）

如图，长方体物块叠放在斜面上，B 受到一个沿斜面方向的拉力 F，两物块保持静止，B 受力的个数为（　　）

A. 4　　B. 5　　C. 6　　D. 7

图 3-18　变式 4-1

解析：按照"一重二弹三摩四场"的顺序逐个核查。

先隔离 A（受力少，先分析它）：A 受重力、B 对 A 的支持力；由于 A 静止在斜面上，若只有这两个力，A 将沿斜面下滑，故 A 还必须受到 B 对它沿斜面向上的静摩擦力。A 共受 3 个力。

再隔离 B：

• ① 重力；

• ② 斜面对 B 的支持力；

• ③ 斜面对 B 的摩擦力；

• ④ 拉力 F；

• ⑤ A 对 B 的压力（支持力的反作用力）；

• ⑥ A 对 B 的摩擦力（A 所受摩擦力的反作用力）。

共 6 个力。

答案：C

方法提炼：判断受力个数时，从受力最少的物体入手（先 A 后 B），再借助牛顿第三定律把"反作用力"补全，可以避免漏力或重复。

变式 4-2（2023·山东卷）

如图，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为 m 和 2m 的物块 A、B 通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B 间的接触面和轻绳均与木板平行。A 与 B 间、B 与木板间的动摩擦因数均为 μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为 45° 时，物块 A、B 刚好要滑动，则 μ 的值为（　　）

A. 1/3　　B. 1/4　　C. 1/5　　D. 1/6

图 3-19　变式 4-2

解析：A 叠放在 B 上，绳跨过定滑轮后两端分别拉 A、B，且都沿木板方向、指向滑轮（即都使物体有沿斜面向上的运动趋势）。

隔离 A（质量 m）：A、B 之间的正压力 N₁ = mg cos45°，滑动摩擦力 f₁ = μmg cos45°。A 有相对 B 沿斜面向上滑动的趋势，故 B 对 A 的摩擦力沿斜面向下。平衡条件：

T = mg sin45° + μmg cos45°　…①

隔离 B（质量 2m）：B 与木板之间的正压力 N₂ = (m + 2m)g cos45° = 3mg cos45°，滑动摩擦力 f₂ = μ·3mg cos45°；又受到 A 对 B 沿斜面向上的摩擦力 f₁ = μmg cos45°。平衡条件：

2mg sin45° = T + f₁ + f₂ = T + μmg cos45° + 3μmg cos45°　…②

把①代入②：

2mg sin45° = mg sin45° + 5μmg cos45°　→　mg sin45° = 5μmg cos45°

故　μ = tan45° / 5 = 1/5。

答案：C

方法提炼：多个物体与多个接触面时，每个接触面的正压力都要单独求。B 与木板间的正压力是 (m + 2m)g cos45°，而 A、B 之间只有 mg cos45°——这是本题最容易被混为一谈的地方。

变式 4-3（2024·湖北卷）

如图，两拖船 P、Q 拉着无动力货船 S 一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为 30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为 f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为（　　）

A. √3f/2　　B. 3f/2　　C. 2f　　D. 3f

图 3-20　变式 4-3

解析：

隔离货船 S：两绳拉力 T 对称，均与运动方向成 30°。沿运动方向：

2T cos30° = f　→　T = f / (2cos30°) = f/√3 ≈ 0.58f

隔离拖船 P：沿运动方向受发动机动力 F_推、水的阻力 f（与运动方向相反）、以及绳对它的拉力 T（与运动方向成 30°，方向向后）：

F_推 = f + T cos30° = f + (f/√3) × (√3/2) = f + 0.5f = 1.5f

答案：B（3f/2）

方法提炼：同一道题里"隔离货船求绳的张力、再隔离拖船求动力"，是隔离法两步走的典型结构。注意绳对拖船的拉力方向是"向后斜"的，其沿运动方向的分量会增大所需的动力。

变式 4-4（2024·浙江卷）

如图，在同一竖直平面内，小球 A、B 上系有不可伸长的细线 a、b、c 和 d，其中 a 的上端悬挂于竖直固定的支架上，d 跨过左侧定滑轮、c 跨过右侧定滑轮分别与相同配重 P、Q 相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球 A、B 和配重 P、Q 质量均为 50 g，细线 c、d 与水平方向均成 30°（不计摩擦，g 取 10 m/s²），则细线 a、b 的拉力分别为（　　）

A. 2 N，1 N　　B. 2 N，0.5 N　　C. 1 N，1 N　　D. 1 N，0.5 N

图 3-21　变式 4-4

解析：细线 a 竖直吊住 A（A 又通过 b 拉住 B），因此 a 实际上要承担 A、B 两球的总重力。细线 c、d 的张力由配重决定：T_c = T_d = Mg = 0.05 × 10 N = 0.5 N。

整体（A + B）：竖直方向只有 a 的拉力与两球总重力平衡：

T_a = (m_A + m_B)g = 0.1 × 10 N = 1 N

隔离小球：该球受重力 m_Ag、c（或 d）的拉力与 b 的拉力，三力平衡。取竖直方向：

T_b sinα + T_c sin30° = m_Ag　→　T_b sinα = 0.5 − 0.5 × 0.5 = 0.25 N

取水平方向：T_b cosα = T_d cos30° = 0.5 × (√3/2) ≈ 0.433 N

联立得 tanα = 0.25/0.433 = √3/3，即 α = 30°，故

T_b = 0.25 N / sin30° = 0.5 N

答案：D（T_a = 1 N，T_b = 0.5 N）

方法提炼：先用整体法快速求出"悬吊系统的绳张力"（a 绳承担两球总重），再用隔离法求两球之间的绳张力（b 绳）。这正是"先整体后隔离"的标准次序。

母题 5　临界与极值（三角函数的极值）

【母题 5】

质量为 m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为 μ。现用与水平方向成 θ 角的斜向上拉力 F 拉物体，使物体沿水平面匀速前进。求 F 的最小值及此时对应的 θ。

图 3-22　母题 5 情境图与解析式

思路剖析

① 研究对象：水平面上的物体（匀速 ⇒ 处于平衡态，ΣF = 0）。② 受力：重力 mg、支持力 N、滑动摩擦力 f = μN、斜向上的拉力 F。③ 关键：N 不再等于 mg，因为 F 有竖直分量 F sinθ 把物体向上"提"，N = mg − F sinθ。④ 求极值：先写出 F(θ) 的函数式，再用辅助角公式。

规范解答

受力分析：重力 mg（向下）、支持力 N（向上）、摩擦力 f（与运动方向相反，水平）、拉力 F（斜向上，与水平成 θ）。

竖直方向：N + F sinθ = mg　→　N = mg − F sinθ

水平方向：F cosθ = f = μN = μ(mg − F sinθ)

整理得　F = μmg / (cosθ + μ sinθ)

令 cosθ + μsinθ = √(1+μ²) · sin(θ + φ)，其中 tanφ = 1/μ。当 θ + φ = 90°，即 θ = arctanμ 时，分母取最大值 √(1+μ²)，F 取最小值：

F_min = μmg / √(1+μ²)

取 μ = √3/3，则 θ = arctan(√3/3) = 30°，F_min = mg/2。

方法提炼：这类"含三角函数的极值"问题的通用套路是——先用平衡条件写出目标量关于 θ 的函数，再用"辅助角公式"化为 √(1+μ²)sin(θ+φ) 求最值。务必记住结论：最省力的拉力的方向由 tanθ = μ 决定。

拓展（自锁）：若把"斜向上拉"改为"斜向下推"，则 N = mg + F sinθ，F = μmg/(cosθ − μsinθ)。当 tanθ ≥ 1/μ（即 θ ≥ arctan(1/μ)）时分母 ≤ 0，无论 F 多大都推不动——这就是摩擦自锁。

变式 5-1（2025·浙江卷）

中国运动员以 121 公斤的成绩获得 2024 年世界举重锦标赛抓举金牌，举起杠铃稳定时的状态如图所示。重力加速度 g 取 10 m/s²，下列说法正确的是（　　）

A. 双臂夹角越大受力越小

B. 杠铃对每只手臂作用力大小为 605 N

C. 杠铃对手臂的压力和手臂对杠铃的支持力是一对平衡力

D. 在加速举起杠铃过程中，地面对人的支持力大于人与杠铃总重力

图 3-23　变式 5-1

解析：杠铃重力 G = mg = 121 × 10 N = 1210 N。

A. 设每只手臂与竖直方向的夹角为 φ，两手臂的力的竖直分量之和等于杠铃重力：2F cosφ = G，即 F = G/(2cosφ)。双臂夹角越大 → φ 越大 → cosφ 越小 → F 越大。A 错误。

B. 杠铃对手臂的作用力是弹力与摩擦力的合力，其大小大于竖直分量 G/2 = 605 N。B 错误。

C. 杠铃对手臂的压力与手臂对杠铃的支持力作用在两个不同物体上，是一对作用力与反作用力，不是平衡力。C 错误。

D. 加速举起杠铃时，人与杠铃整体的加速度方向向上，处于超重状态，地面对人的支持力大于总重力。D 正确。

答案：D

方法提炼：本题把"力的合成（2F cosφ = G）""作用力与反作用力 vs 平衡力""超重失重"三个知识点串在一道题里，是一轮复习中最值得反复琢磨的"小综合题"。

易错警示：B 项故意把"弹力"说成"作用力"。手臂对杠铃的作用力包含弹力和摩擦力，其合力必须大于（而不是等于）G/2。

变式 5-2（2022·重庆卷）

如图，吸附在竖直玻璃上质量为 m 的擦窗工具，在竖直平面内受重力、拉力和摩擦力（图中未画出摩擦力）的共同作用做匀速直线运动。若拉力大小与重力大小相等，方向水平向右，重力加速度为 g，则擦窗工具所受摩擦力（　　）

图 3-24　变式 5-2

解析：工具在竖直平面内做匀速直线运动，该平面内合力为零。

重力 mg 竖直向下，拉力 F = mg 水平向右，两者的合力为 √(mg)² + (mg)² = √2mg，方向与水平方向成 45° 斜向右下。

由平衡条件，摩擦力 f 必须与前两者的合力等大反向，故

f = √2mg，方向与水平方向成 45° 斜向左上。

答案：大小为 √2mg，方向斜向左上、与水平方向成 45°。

方法提炼："受三个力而做匀速直线运动"时，任意两个力的合力必与第三个力等大反向——本题即"重力与拉力的合力 = 摩擦力的反向量"。

变式 5-3（2025·黑吉辽蒙卷）

书法课上，某同学临摹"力"字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由 a 点经 b 点回到 a 点，则（　　）

A. 该过程位移为 0　　B. 该过程路程为 0

C. 两次过 a 点时速度方向相同　　D. 两次过 a 点时摩擦力方向相同

图 3-25　变式 5-3

解析：

A. 笔尖由 a 点出发最后又回到 a 点，初、末位置相同，故位移为零。A 正确。

B. 笔尖经过的轨迹长度不为零，故路程不为零。B 错误。

C. 两次经过 a 点时，轨迹在 a 点的切线方向不同，故速度方向不同。C 错误。

D. 摩擦力方向与笔尖相对运动的方向（即速度方向）相反，速度方向不同，故摩擦力方向也不同。D 错误。

答案：A

方法提炼：判断摩擦力方向的标准程序是"三步走"——①确定研究对象与接触面的相对运动（趋势）方向；②摩擦力方向与之相反；③摩擦力方向一定与接触面相切。务必区分"速度方向"与"相对运动方向"（如传送带上物体与带同向运动但速度不同时）。

母题 6　力电综合平衡

【母题 6】

(1) 如图甲，倾角 θ = 30° 的光滑绝缘斜面上有一个质量为 m、电荷量为 +q 的小球，整个装置处于方向水平向左的匀强电场中，小球恰好静止在斜面上。求电场强度 E 的大小。

(2) 如图乙，一根质量为 m、长为 L 的水平导体棒用两根等长的轻绳悬挂在等高的两点，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为 B 的匀强磁场中，导体棒中通有电流 I。棒静止时两根轻绳与竖直方向的夹角均为 30°。求电流 I 的大小。

图 3-26　母题 6：电场力与安培力参与的共点力平衡

思路剖析

共性第一步：把场力当成普通的力画进受力图，然后一切照旧列平衡方程。甲图中小球受 3 个共点力（mg、qE、T），用正交分解或合成法均可；乙图中导体棒受重力、两根绳的拉力和安培力 BIL，由对称性可知两绳拉力相等，水平方向的安培力使棒偏转 30°。安培力方向由左手定则判定，这是整题唯一的易错点。

规范解答

(1) 对小球受力分析：重力 mg（竖直向下）、电场力 qE（正电荷与 E 同向，即水平向左）、斜面支持力 N（垂直于斜面）。

沿斜面方向：qE cos30° = mg sin30°

解得　E = mg tan30° / q = √3mg / (3q)

(2) 对导体棒受力分析：重力 mg（竖直向下）、安培力 F = BIL（方向由左手定则判定，因 B 竖直向上、电流水平，故 F 水平）、两根绳的拉力（与竖直方向成 30°，大小均为 T）。

竖直方向：2T cos30° = mg　→　2T = mg / cos30°

水平方向：BIL = 2T sin30°

两式相比：BIL / mg = tan30°，故

I = mg tan30° / (BL) = √3mg / (3BL)

方法提炼：力电综合平衡题 = 纯力学平衡题 + 一个（或两个）新的性质力。解题流程完全不变：受力分析 → 正交分解 → ΣF_x = 0、ΣF_y = 0。唯一的差别是多了一步"判断场力的方向"。

易错警示：安培力的方向必须同时垂直于 B 和 I，用左手定则判定；洛伦兹力的方向对负电荷要反向；洛伦兹力永不做功，若带电体在磁场中做直线运动，则必为匀速直线运动。

变式 6-1（2024·新课标卷）

如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的 O 点上，下端分别系有均带正电荷的小球 P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则（　　）

A. 两绳中的张力大小一定相等　　B. P 的质量一定大于 Q 的质量

C. P 的电荷量一定小于 Q 的电荷量　　D. P 的电荷量一定大于 Q 的电荷量

图 3-27　变式 6-1

解析：设 P、Q 之间的库仑斥力大小为 F，绳与竖直方向的夹角为 θ。

由于两球带同种电荷，它们相互排斥；同时电场方向水平向右，两球都受到向右的电场力。两绳等长且与竖直方向夹角相等，说明两球处于同一水平线上，Q 在左、P 在右。

对 Q（左球）：库仑斥力向左（大小为 F），电场力向右（q_QE）；由于 Q 的绳向左偏，说明其所受水平方向的净力向左，即 F > q_QE：

T_Q sinθ = F − q_QE　，　T_Q cosθ = m_Qg

对 P（右球）：库仑斥力向右，电场力也向右：

T_P sinθ = F + q_PE　，　T_P cosθ = m_Pg

因为 F + q_PE > F − q_QE，所以 T_P sinθ > T_Q sinθ，即 T_P > T_Q，A 错误；

又由 T_Pcosθ = m_Pg、T_Qcosθ = m_Qg 得 m_P > m_Q，B 正确；

P、Q 之间的库仑力总是等大反向，由 F = kq_Pq_Q/r² 无法比较两者的电荷量大小，C、D 错误。

答案：B

方法提炼：力电综合平衡题的关键是"把库仑力、电场力当作普通的力"，然后对每个物体分别列正交分解方程，再比较两个方程的大小关系得到定性结论。

变式 6-2（2024·北京卷）

长为 1.0 m 的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角 θ = 37°。已知小球所带电荷量 q = 1.0 × 10^-6 C，匀强电场的场强 E = 3.0 × 10³ N/C，取重力加速度 g = 10 m/s²，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。求：

(1) 小球所受电场力 F 的大小；

(2) 小球的质量 m；

(3) 将电场撤去，小球回到最低点时速度 v 的大小。

图 3-28　变式 6-2

解析：

(1) F = qE = 1.0 × 10^-6 × 3.0 × 10³ N = 3.0 × 10^-3 N

(2) 小球受重力 mg、电场力 qE、绳的拉力 T，三力平衡。由几何关系：

qE = mg tan37°　→　m = qE / (g tan37°) = 3.0 × 10^-3 / (10 × 0.75) kg = 4.0 × 10^-4 kg

(3) 撤去电场后，小球从初始位置摆到最低点的过程中，只有重力做功，机械能守恒。初始位置比最低点高

Δh = L(1 − cos37°) = 1.0 × (1 − 0.8) m = 0.2 m

由 mgΔh = ½mv² 得　v = √(2gΔh) = √(2 × 10 × 0.2) m/s = 2.0 m/s

答案：(1) 3.0 × 10^-3 N；(2) 4.0 × 10^-4 kg；(3) 2.0 m/s。

方法提炼：第(1)(2)问是纯"力电平衡"，第(3)问切换到能量观点（机械能守恒）。这正是本讲开头强调的"受力分析是三条主线共同的起点"的实证——同一道题的三个小问，分别对应力的观点、力的观点、能量观点。

变式 6-3（2023·江苏卷）

如图所示，匀强磁场的磁感应强度为 B。L 形导线通以恒定电流 I，放置在磁场中。已知 ab 边长为 2l，与磁场方向垂直，bc 边长为 l，与磁场方向平行，则该导线受到的安培力为（　　）

A. 0　　B. BIl　　C. 2BIl　　D. 更大

图 3-29　变式 6-3

解析：bc 段与磁场方向平行，由 F = BILsinθ 可知，θ = 0° 时不受安培力；

ab 段与磁场方向垂直，所受安培力 F_ab = B·I·2l = 2BIl。

故整根导线受到的安培力为 2BIl（方向垂直于纸面，由左手定则判定）。

答案：C

方法提炼：安培力 F = BILsinθ 中，L 是导线在磁场中的长度，θ 是 B 与 I 方向的夹角。B∥I 时安培力为零；只有 B⊥I 时才可直接用 F = BIL。对弯曲导线，"有效长度"是两端点连线在该方向上的投影长度——但本题中两段导线不共线，其实也可用“有效长度”求解：F = BI·L有效，L有效 是两端点连线在垂直于 B 方向上的投影长度；本题 bc 段沿 B 方向（投影为零、不受力），ab 段长 2l 且垂直 B，故 L有效 = 2l，F = 2BIl，与分段计算一致。

第四部分　方法总纲与结论速记

4.1　解题决策流程

4.2　必须背下来的结论

• 三力平衡：任意一个力与其余两个力的合力等大反向；三个力首尾相接构成闭合三角形。

• 斜面 + 竖直挡板夹球：N_斜 = mg/cosθ，N_挡 = mg tanθ。

• 斜面 + 垂直斜面的挡板夹球：N_斜 = mg cosθ，N_挡 = mg sinθ。

• 挡板绕下端缓慢转动（从竖直转到水平）：斜面支持力一直减小；挡板压力先减小后增大，最小值 mg sinθ。

• 绳拉球靠墙：T = G/cosθ > G，N = G tanθ。

• 最省力拉动：拉力方向与水平成 arctanμ，F_min = μmg/√(1+μ²)。

• 摩擦自锁：用斜向下的力推物体，当 tanθ ≥ 1/μ 时无论多大的力都推不动。

• 带电小球在电场中偏角 θ：tanθ = qE/(mg)。

• 通电导体棒在竖直磁场中偏角 θ：tanθ = BIL/(mg)。

第五部分受力分析——高中物理全板块基石地位

通过以上母题与变式训练，同学们应该已经深刻体会到：

第一，受力分析的方法在不同板块中高度一致。不论是斜面上的木块、电场中的带电小球、磁场中的通电导线、还是天上的卫星，解题流程都是"确定对象→画受力图→建立坐标系→分解列方程→求解"——方法只有一套，场景千变万化但内核不变。

第二，受力分析与后续板块的具体关系：

复习建议：

1. 一轮复习阶段，一定要"逢题必画图"——哪怕看起来很简单的题，也要动笔在草稿纸上画出规范受力分析图，标清每个力的方向和大小。养成习惯后，考场上才能不慌不乱。

2. 建立"找施力物体"的检查意识。如果你画出一个力却说不出施力物体是什么，那这个力一定是虚构的（如"下滑力""离心力"等效果力不能出现在受力图中）。

3. 摩擦力是最大易错点——每次遇到摩擦力都问自己三个问题：是静摩擦还是滑动摩擦？方向与什么相对运动（趋势）相反？大小是用 f=μN 算还是由平衡/动力学方程反解？

4. 把整体法与隔离法练到"肌肉记忆"级别——看到多物体系统，第一反应就是"求外力用整体，求内力用隔离，先整体后隔离"。

5. 动态平衡问题不要死记结论，要根据题目特征选择方法（图解/相似/正弦/辅助圆），画好矢量三角形是关键。

6. 学到电磁学时，不要觉得是"全新内容"——电场力、安培力、洛伦兹力只是"多了几个力"，受力分析和列方程方法与力学完全一样。物理思维的统一性才是高中物理最重要的美。

附录：共点力平衡常用结论速查表

第六部分　考前自检清单

复习到这里，请再回看本资料开头的那句话：受力分析是高中物理的"母方法"。把这一章练到"看到任何一道题都能条件反射地画出规范的受力图"，你的一轮复习就真正立住了地基。祝备考顺利。

—— 祝同学们一轮复习顺利，高考物理取得佳绩！——

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