高中数学每日一题11月1日 | 2024新高考I卷·中心对称与导数压轴

📌 现在跟着小贺老师来看这个题！

✏️ 记得拿笔，圈出关键部分！
📚 基础知识点记得积累！

🎯 为什么要讲这个题？

✅ 这是新高考导数压轴题的典型考法！

✅ 中心对称是函数的重要性质！

✅ 学会这一道，类似的压轴题都会做！

💡 这个题可以学到什么？

✅ 学会怎么证明函数是中心对称的！

✅ 学会利用中心对称简化问题！

✅ 学会"当且仅当"类问题的转化方法！

✅ 学会导数大题的答题规范！

① 求定义域（规范！）

② 求导（基本功！）

③ 分离参数

f'(x) ≥ 0 即：

④ 求右边最大值

👉 a ≥ -2，a的最小值是 -2！

① 算f(1)，确定纵坐标

所以对称中心是(1, a)！

② 写出要证的等式（标准证法！）

要证关于(1,a)中心对称，即证：

为什么是2-x？因为x关于1的对称点就是2-x！

③ 代入化简

两式相加：

④ 得出结论

👉 曲线y=f(x)关于点(1, a)中心对称！

这就是标准证明格式！高考直接这么写！

① 确定a的值

f(1) = -2，而f(1) = a，所以 a = -2！

② 利用中心对称，只证一边（关键！）

由(2)知f关于(1, -2)中心对称，只需证1<x<2时f(x)>-2！

👉 左边(0,1)自动满足f(x)<-2！

③ 换元简化

令 t = x - 1，t ∈ (0,1)，问题化为：

④ 求导，分析单调性

分母1-t²>0，t²>0，所以g'(t)符号由 -3bt²+2+3b = 3b(1-t²)+2 决定！

⑤ 分情况讨论！

情况①：b ≥ 0

情况②：-2/3 ≤ b < 0

3b(1-t²) 关于t递增，下确界在t→0+时为 2+3b。

由b ≥ -2/3，得 2+3b ≥ 0，故g'(t)>0！

👉 g(t) > g(0) = 0！满足！

情况③：b < -2/3

👉 不满足，舍去！

⑥ 验证充分性

b ≥ -2/3时，g(t)在(0,1)递增，g(t)>0的解恰好是t∈(0,1)！

即f(x)>-2的解恰好是x∈(1,2)！

👉 充分必要，完美！

模板四步：

✅ 第一步：求定义域！（必须写！不写扣分！）

👉 由真数>0，解出x范围！

✅ 第二步：求导！注意复合函数求导！

👉 ln(u)的导数是u'/u！

✅ 第三步：分离参数！

👉 把参数单独放一边！

✅ 第四步：求右边函数的最值！

模板四步：

✅ 第一步：找对称中心横坐标x₀！

👉 ln(x/(a-x))的对称中心在x=a/2！

✅ 第二步：算f(x₀)得纵坐标！

✅ 第三步：证 f(2x₀-x)+f(x) = 2f(x₀)！

✅ 第四步：代入化简，ln部分抵消，得出结论！

模板六步：

✅ 第一步：找分界点，定已知参数！

✅ 第二步：利用对称只证一边！

👉 省一半工作量！

✅ 第三步：换元 t=x-x₀！

✅ 第四步：求导，因式分解！

✅ 第五步：分情况讨论！

👉 参数够大→恒正→满足；太小→有递减区间→舍去！

✅ 第六步：验证充分必要性！

💡提示：
① 定义域(0,4)！
② 对称中心(2, f(2))，由f(2)=-2得a=-1！
③ 令u=(x-2)/2换元，化为 ln((1+u)/(1-u))-2u+8bu³>0！
④ 对照原题，8b≥-2/3，所以b≥-1/12！