【习题研讨】137. 高一:从一道判断题说开去——狄利克雷函数的反例构造

今天这道关于函数单调性的判断题，构造反例时用到了狄利克雷函数. 同学们直言太抽象！这是人类能想到的么？

刚学函数时，我们接触的大多是一次函数、二次函数、反比例函数. 再往后学，图像虽然越来越丰富，但常常还是一条或者几条能画出来的曲线. 看得多了，难免觉得函数就应该是这个样子（单调，连续，对称性，有零点）.

于是，题目没有给出的条件，我们可能会不知不觉地补上去. 例如，两个端点的函数值一正一负，中间总该经过横轴吧？有无数个数都满足的性质，那么所有数都会满足吧？这些想法，在我们熟悉的一些函数中确实成立. 但是，换成任意函数，就未必成立.

定义函数

这就是狄利克雷函数. 其中， 表示有理数集. 每一个实数都能确定唯一的函数值，所以它完全符合函数的定义.

它和我们熟悉的函数有什么不同？任意两个不同的实数之间，都有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数. 因而，不管把横坐标的范围缩得多小，函数值仍然会在无穷多个点处取到 ，也会在无穷多个点处取到 .

这里不能把图像直接画成两条水平直线. 在有理数横坐标处，只留下高度为  的点；在无理数横坐标处，只留下高度为  的点. 两个高度上的点都很多，但每个横坐标仍然只对应一个点.

再看一个后面要用的性质. 有理数加上有理数仍是有理数，无理数加上有理数仍是无理数. 后一句若不放心，可以反过来想：假如和是有理数，再减去那个有理数，原来的无理数不就变成有理数了？

因此，对任意有理数 ，都有

原题的第一个判断是：

设函数  定义在  上. 若它不存在严格增区间，则对任意 ，都存在 ，使得 ，且  在  上是减函数.

这里的要求比“函数在  上不单调”强得多. 例如二次函数在整个实数集上不单调，但缩小范围，仍然能找到单调区间. 这样的例子不够用.

我们需要的函数，要在每一个小区间内都不能保持单调. 有理数和无理数恰好在每一个小区间内都有，分别给它们两个不同的函数值，就有机会做到.

取 . 任给 ，先在  中取一个无理数 ，再分别在 、 中取有理数 . 于是

并且

从  到 ，函数值下降；从  到 ，函数值上升. 所以在  上，它既不是严格增函数，也不是减函数. 即使把“减”理解为允许函数值相等，这个反例仍然有效.

因为  是任意取的，所以任何非空开区间都不行. 原题的第一个判断为假.

这也顺便回答了另一个问题：既没有严格增区间，也没有严格减区间，未必就是常数函数.

原题的第二个判断是：

设函数  定义在  上. 若对任意正整数  和任意实数 ，都有

则  是  上的严格增函数.

步长可以是 ，越来越小. 每次向右移动，函数值都增加，这还不够么？

我们先看条件到底比较了哪些数. 因为  是有理数，所以  和  要么都是有理数，要么都是无理数. 这个条件不会把一个有理数处的函数值，与一个无理数处的函数值放在一起比较.

那就试着分开规定. 在有理数中，让函数值随着  增大而增大；在无理数中，也这样规定. 至于两类数之间，故意让它们错开一点.

最简单的尝试是：无理数处取 ，有理数处取 ，也就是

现在分别检查条件. 如果  是有理数，平移前后都按第一条计算；如果  是无理数，平移前后都按第二条计算. 两种情况下，函数值都恰好增加 .

这个分段函数也可以简写为

用刚才的平移性质，计算就是

题目条件满足了，还要找一对数，证明它不是严格增函数. 有理数处被抬高了 ，那就从一个有理数出发，向右找一个距离小于  的无理数.

例如，，但

这就完成了反例构造. 原题两个判断都为假，选 D.

回头看，同为有理数的两个点，比较没有问题；同为无理数的两个点，比较也没有问题. 出问题的正是跨过两类数的比较.

甚至把题目中的  换成任意正有理数 ，这个函数仍然满足 . 但严格增函数要求比较任意两个大小不同的实数，它们的差还可能是无理数.

第一次见这题，没想到按有理数、无理数分类，很正常. 这里值得记下的是题目中的 ：它是有理数，平移不改变这两类数的归属，这才给了我们分别规定函数值的机会.

华二的一道题中，有一个判断：函数  有无穷多个零点.

这个判断是对的. 减去  不改变自变量的有理、无理属性，所以 . 原函数在有理数处为 ，在无理数处为 .

单说“有无穷多个零点”，还不足以体现它的特点. 我们再问得具体一点：

能不能找一个函数，使任意非空开区间内，既有无穷多个零点，又有无穷多个函数值为  的点？

只要把有理数处规定为 ，无理数处规定为 ，就做到了. 即取

这样，不是某一个点例外，也不是某一小段例外. 无论把区间缩得多小，两种函数值都有.

如果把它与恒零函数比较，还会发现：两个函数在所有有理数处都相等，却在所有无理数处都不相等. 有理数再密，也不能替我们决定无理数处的函数值.

设函数  定义在  上. 若任意非空开区间内，都存在 ，使 、，是否一定存在某个实数 ，使 ？

刚才的函数只取 ，还没有负值. 我们希望两类数分别对应 ，并且永远不取 . 把原来的函数值乘以 ，再减去  即可：

任意非空开区间里既有有理数，也有无理数，因此正负值都有. 但这个函数的值域只有 ，没有零点.

如果你觉得一正一负之间总该经过 ，那是把熟悉的连续曲线带进来了. 用零点存在定理时，要检查的是相应闭区间上的连续性，不能只检查端点异号. 本题把异号的点放得再密，也没有补上连续性这个条件.

上中的一道题中，出现过“狄利克雷函数的任意非零实数都是它的周期”这个判断. 我们先把它的周期找全.

按定义，非零实数  是周期，是指对所有实数 ，都有

有理数平移不改变函数值，所以每个非零有理数都是周期.

无理数行不行？要否定“对所有  都成立”，找一个不成立的  就够了. 取 ，若  是无理数，就有

因此，无理数不是周期. 所有非零周期，恰好是所有非零有理数.

再看最小正周期. 假如存在最小正周期 ，那么  是正有理数， 也是正有理数，因而也是周期. 但 ，矛盾.

所以，非常数的周期函数，也可以没有最小正周期.

这里不是“最小正周期为 ”. 每次找出的都是一个正周期，只不过总能再找到更小的，始终没有最小的那个.

设函数  定义在  上. 若对任意 ，都存在 ，使直线  是函数图像的对称轴，能否断定  是常数函数？

先把对称写成等式. 横坐标为  的点，关于直线  对称后，横坐标为 . 所以要检查的是

对于狄利克雷函数，只要  是有理数， 就是有理数， 与  同为有理数或者同为无理数. 因而

任意非空开区间  内都有有理数 ，于是题目要求的对称轴总能找到. 但狄利克雷函数并不是常数函数.

这里只说“有无穷多条对称轴”还不够特别. 我们证明的是，无论把  的取值范围限制得多小，其中都有一条对称轴.

再看上中原题中的一个计算：求 .

先算里面. 无论  是什么， 都是  或 . 这两个数都是有理数，再代入一次，就得到

所以， 是常数函数，并不能推出  是常数函数.

这一步没有复杂计算，但要分清两次代入的对象：第一次看  是有理数还是无理数；第二次看的是第一次得到的  或 ，不再看原来的 .

设函数  满足

它一定是严格增函数或者严格减函数么？

前一问代入两次成了常数，这次却要求还原. 直接用狄利克雷函数肯定不行，我们需要换一种规定.

先想想，有什么操作做两遍能够还原？保持不动可以，取相反数也可以. 如果对所有数都保持不动，得到的是 ；如果对所有数都取相反数，得到的是 . 它们都严格单调，还不能作反例.

那就把这两种规定分给两类数. 有理数保持不动，无理数取相反数：

这里分类不是随便选的. 无理数取了相反数，仍然是无理数，第二次代入还会走同一条规定，才能再取一次相反数，还原回来.

具体地，当  时，；当  时，

条件满足了. 再看单调性，由 ，可得

前两个点排除了严格增，后两个点排除了严格减. 因此结论不成立.

这个函数也可以简写成 . 不过，刚开始想构造时，分段式更容易看清楚.

它还有一个性质，能接上我们前面讨论的文章：不同自变量一定对应不同函数值. 因为若 ，两边再代入一次 ，就得到 .

所以，“不同自变量对应不同函数值”本身还不够. 之前讨论的“区间上的连续单射函数必严格单调”，连续性确实不能去掉.

狄利克雷函数的图像上，能否找到三个点，恰好组成一个正三角形？

这也是上中原题中的判断. 要求的是三个顶点在图像上，没有要求三条边也在图像上.

图像上的点只有两个高度，那就试着把底边放在下方，顶点放在上方. 上方先取 ，它在图像上. 下方两个点关于纵轴对称地取为

先让三角形成为正三角形，再检查两个底点能否落在函数图像上. 因为  已经满足，只需要底边长等于腰长，也就是

解得 . 于是取

两个底点的横坐标都是无理数，所以函数值确实为 . 三点都在图像上，三条边的长度都是 ，构造成功.

这里先按几何条件确定坐标，再回来检查有理、无理的要求. 两件事都满足，才算找到题目所要求的三个点.

狄利克雷生于 1805 年，卒于 1859 年，在数论和分析中都有重要贡献. 今天我们讨论的函数，只是与他有关的许多数学内容中的一个例子. 生平可参见 MacTutor 的狄利克雷传记[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dirichlet/].

顺便说一件有趣的事：1832 年，狄利克雷娶了蕾贝卡·门德尔松，她的哥哥就是作曲家费利克斯·门德尔松. 所以，狄利克雷是门德尔松的妹夫. 这层关系可见卡塞尔大学的介绍[https://www.uni-kassel.de/uni/en/news-from-the-university/news/2022/11/9/mathematik-musik-mode-und-mehr.html].

门德尔松这个名字，你可能不熟悉，但他的《婚礼进行曲》，你很可能听过. 这里还容易弄混：西方婚礼中常听到的两首婚礼音乐，一首出自瓦格纳的《罗恩格林》，一首出自门德尔松的《仲夏夜之梦》. 常见的安排是，新娘入场时奏瓦格纳的《婚礼合唱》，仪式结束、新人退场时奏门德尔松的《婚礼进行曲》. 一首迎进来，一首送出去. 当然，这是常见的搭配，不是每场婚礼都必须这样安排. 相关说明见英国皇家教会音乐学院的婚礼音乐指南[https://www.rscm.org.uk/our-resources/guidance-information/church-weddings/].

函数这个概念，也不是一开始就以今天课本里的形式出现的. 数学家曾经更多地从解析表达式、变量之间的关系以及曲线来理解函数. 随着研究的深入，这些理解逐渐扩展. 欧拉、傅里叶、狄利克雷等人都参与了这个过程.