八上习题18.3:无盖盒子的表面积怎么算?两种底面怎样比较?

教材原题｜习题18.3 拓广探索

8. 一个无盖长方体盒子的容积是V。 （1）如果盒子底面是边长为a的正方形，这个盒子的表面积是多少？ （2）如果盒子底面是长为b、宽为c的长方形，这个盒子的表面积是多少？ （3）上面两种情况下，如果盒子的底面积相等，那么两种盒子的表面积相差多少？ （不计制造材料的厚度。）

同学们，这道题把立体图形与分式运算放在了一起。看到没有给出盒子的高，先别着急：容积已经告诉我们怎样求高。只要弄清“哪些面需要计算”，再把几何关系写成式子，三问就能连起来。

先猜一猜：底面积相等，表面积也相等吗？

把同样多的水装进底面积相等的两个盒子，水能装到的高度相同。不过，一个底面可以较方正，另一个可以细长。它们四周围起来需要的材料会一样多吗？先保留你的猜想，最后用计算验证。

01 · 高没有给出，可以用容积表示

审题先抓住两个关键词：无盖、容积

“无盖”说明没有上面的盖子，所以表面积由一个底面和四个侧面组成，不能直接照搬六个面的长方体表面积公式。“不计厚度”使内外尺寸的差别可以忽略，容积就按底面积乘高计算。

设盒子的高为h，则h＝容积÷底面积。四个侧面的面积之和，还可以看成底面周长乘高。这两个关系，是本题从几何走向代数的桥梁。题中V、a、b、c都是正数，分母不为零。

第（1）问：正方形底面的盒子

解：底面积为a²，所以盒子的高为 h＝V/a²。 四个侧面的面积之和为 4ah＝4a×V/a²＝4V/a。 因此，表面积为 S正＝a²＋4V/a。

式中的a²来自唯一的底面，4V/a来自四个侧面。写出式子后，试着说出每一项对应哪个面，就不容易漏算侧面或多算盖子。面积单位也要统一，不能把体积直接加到面积上。

第（2）问：长方形底面的盒子

解：底面积为bc，盒子的高为 h＝V/（bc）。 四个侧面中，有两个面积为bh，另两个面积为ch。 所以 S长＝bc＋2bh＋2ch ＝bc＋2b×V/（bc）＋2c×V/（bc） ＝bc＋2V/c＋2V/b。

也可写成S长＝bc＋2V（b＋c）/（bc）。这两种写法表示同一个结果：前者能看出两组侧面的面积，后者更容易看出“底面周长乘高”。注意，2b乘V/（bc）约去的是b，留下的分母是c。

02 · 相等的底面积抵消，剩下四周的面积

第（3）问分析：先把“底面积相等”翻译成等式

正方形底面积是a²，长方形底面积是bc，所以条件为a²＝bc。两个盒子的容积同为V，底面积也相等，因此它们的高相同，都是V/a²。

比较表面积时，相等的底面积会抵消，只需比较侧面积。而侧面积等于底面周长乘高，于是问题就转化为比较两个底面的周长。这样先想清楚，再通分，计算会更有方向。

第（3）问解答：用长方形底面的表面积减去正方形底面的

解：∵ bc＝a²， ∴ S长－S正 ＝bc＋2V/b＋2V/c－a²－4V/a ＝2V（b＋c）/（bc）－4V/a ＝2V（b＋c）/a²－4Va/a² ＝2V（b＋c－2a）/a²。

因此，两种盒子的表面积相差2V（b＋c－2a）/a²。下面再说明这个差为什么不会是负数，这样“相差多少”的含义就完整了。

再深入一步：哪个盒子的表面积更小？

由bc＝a²，得c＝a²/b。因此 b＋c－2a＝b＋a²/b－2a ＝（b²－2ab＋a²）/b ＝（b－a）²/b≥0。 这里平方非负，且b＞0，所以S长－S正≥0。

当且仅当b＝a时，差为零；再由bc＝a²得c＝a。也就是说，在容积和底面积都相同的条件下，正方形底面的盒子表面积不大于长方形底面的盒子，只有长方形也成为同样的正方形时才相等。

把四个侧面想成一条长纸带

想象沿着盒子的一条竖棱剪开，把四个侧面依次展开，就能得到一条长方形纸带。纸带的宽是盒子的高，长是底面四条边的总长。这就是“侧面积等于底面周长乘高”的直观解释，不必死记每一项公式。

当底面积与容积固定时，这条纸带的宽已经固定。底面越细长，围一圈所需的纸带就可能更长。前面的平方非负推导，正是把这种观察变成严格结论；只凭图形看起来怎样，还不能代替证明。

失分提醒：条件不能少，通分不能漏乘

不要把“底面积相等”写成a＝b＝c，那只是差为零的特殊情况。也不要在通分时把4V/a写成4V/a²，分母乘了a，分子也要乘a。最后，说“更省材料”时必须保留同容积、同底面积的前提，本题也不涉及接缝和裁剪损耗。

名师方法｜先找面，再求高，最后比较

几何应用题中的分式不是凭空出现的，它来自“容积除以底面积”。遇到类似题，先明确计算对象，再用已知量表示缺少的量；比较时先利用相等条件消去相同部分，往往比直接展开一长串式子更清楚。

当堂检测：用具体数值检验你的结论

设V＝24立方厘米，a＝2厘米，b＝4厘米，c＝1厘米。两个底面积是否相同？两种盒子的表面积分别是多少？相差多少？

想好再看：底面积都是四平方厘米，高都是六厘米。正方形底面的盒子表面积为五十二平方厘米，长方形底面的为六十四平方厘米，相差十二平方厘米。代入差的公式也得到十二，与你的计算一致吗？

内容依据：新人教版八年级上册数学第十八章《分式》第156页，习题18.3“拓广探索”第8题。