北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题八 立体几何
8.1 空间几何体的表面积和体积
五年高考
1.(2021北京,4,4分,易)某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为 ( )
3 √3
A. + B.3+√3
2 2
3 √3
C. +√3D.3+
2 2
答案 A
2.(2020北京,4,4分,易)某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱的表面
积为 ( )
A.6+√3B.6+2√3
C.12+√3D.12+2√3
答案 D
3.(2021北京,8,4分,中)某一时段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失
而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如
下:
24 h降雨量
等级
(精确到0.1)北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
…… ……
小雨 0.1~9.9
中雨 10.0~24.9
大雨 25.0~49.9
暴雨 50.0~99.9
…… ……
在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量
器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24
h降雨量的等级是 ( )
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
答案 B
4.(2022北京,9,4分,中)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点
构成的集合.设集合T={Q∈S|PQ≤5},则T表示的区域的面积为 ( )
3π
A. B.π C.2π D.3π
4
答案 B
5.(2023北京,9,4分,中)坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯
带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是
全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若AB=25 m,BC=10 m,且等腰梯形所在平
√14
面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 ,则该五面体的所有棱
5
长之和为 ( )
A.102 m B.112 m
C.117 m D.125 m
答案 C
6.(2024北京,14,5分,中)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的
标准量器,其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
成公比为10的等比数列,底面直径依次为65 mm,325 mm,325 mm,且斛量器的高为230
mm,则斗量器的高为 mm,升量器的高为 mm.(不计量器的厚度)
答案 23;57.5
三年模拟
基础强化练
1.(2023丰台二模,4)若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则它的体积为( )
√3π 2π
A. B. C.√3π D.2π
3 3
答案 A
2.(2023通州一模,6)如图,某几何体的上半部分是长方体,下半部分是正四棱锥,
AA =1,AP=√3,AB=2,则该几何体的体积为 ( )
1
7 16 20 28
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案 B
3.(2025届北京工业大学附中月考,5)已知球O的半径为2,球心到平面α的距离为√3,则
球O被平面α截得的截面面积为 ( )
A.π B.√3π C.3π D.2√3π
答案 A
4.(2025届北京五十五中月考,7)如图,棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中,P为BC边任
1 1 1 1
意一点,将正方体挖掉三棱锥D -ADP后,余下部分的体积为 ( )
1
1 2 3 5
A. B. C. D.
3 3 4 6
答案 D
5.(2025届房山入学测试,8)已知正四棱锥P-ABCD的八条棱长均为4,Q是底面上一个动
点,PQ≤3,则点Q所形成区域的面积为 ( )
A.1 B.π C.4 D.4π北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 B
6.(2025届人大附中开学检测,8)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出,需要设
计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住,罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近
似于塔形,高1.8米,体积为0.5立方米,其底部是直径为0.9米的圆(如图),要求文物底
部与玻璃罩底边间隔0.3米,文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米,气体每立方米1 000
元,则气体费用为 ( )
A.4 500元 B.4 000元
C.2 880元 D.2 380元
答案 B
7.(2025届海淀精华学校入学考试(二),8)如图,已知三棱柱ABC-A B C 的所有棱长均为
1 1 1
2,且A B⊥B C,则该三棱柱体积的最大值为 ( )
1 1
A.√3 B.3
C.2√3 D.4
答案 B
8.(2025届北京陈经纶中学月考,8)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB=AD=1,其余的六条棱
长均为2,则该四棱锥的体积为 ( )
√11 √13 √11 √13
A. B. C. D.
6 6 3 3
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.(2024北京一六六中学期中,9)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容
器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部
容器所需要的时间进行计时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直
2
径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度(h)的 (细管长度忽略不计).假
3
设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥
的高h的比值为 ( )
8 4 2 1
A. B. C. D.
27 9 3 3
答案 A
10.(2024清华附中开学考试,13)“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯
穿”构成的多面体,其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧
棱,两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点,另外两条相对的侧棱分别交于一点(该
点为所在棱的中点).若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2,高为3√2的正四棱柱构
成,如图所示,则该“十字贯穿体”的体积为 .
56√2
答案
3
3
11.(2024北京五中月考,13)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为 ,SA与
5
16
圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为 ,则该圆锥的侧面积为 .
5
答案 4√2π
能力拔高练
1.(2025届朝阳期末,7)沙漏是一种古代计时仪器.如图,某沙漏由上下两个相同圆锥组成,
2
圆锥的底面直径和高均为6 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的 ,则这些细沙
3
的体积为 ( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
8 16
A. π cm3 B. π cm3
3 3
32
C.8π cm3 D. π cm3
3
答案 B
2.(2025届东城期末,9)如图,在棱长为6的正四面体P-ABC中,以P为顶点的圆锥在正四
面体的内部(含表面),则该圆锥体积的最大值为( )
A.2√6π B.3√6π
C.2√3π D.3√3π
答案 A
3.(2025届北京工业大学附中月考,8)木楔在传统木工中运用广泛.如图,某木楔可视为一
个五面体,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,且△ADE, BCF均为等边三角形,
EF∥CD,EF=4,则该木楔的体积为 ( )
△
2√2 8√2
A.√2B.2√2C. D.
3 3
答案 D
4.(2025届北师大实验中学统练,9)已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱分
别为4,4,2√2,2√2,则该四棱锥的高为 ( )
√2 √3
A. B.
2 2
C.2√3D.√3
答案 D
5.(2023北京八中测试,9)水晶是一种石英结晶体矿物,因其硬度、色泽、光学性质、稀缺
性等,常被人们制作成饰品.如图所示,现有棱长为2 cm的正方体水晶一块,将其裁去8
个相同的四面体,打磨成某饰品,则该饰品的表面积为(单位:cm2) ( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
A.12+4√3B.16+4√3
C.12+3√3D.16+3√3
答案 A
6.(2023顺义一模,9)在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中,动点P在棱A B 上,动点Q
1 1 1 1 1 1
在线段BC 上,若A P=λ,BQ=μ,则三棱锥D -APQ的体积 ( )
1 1 1
A.与λ无关,与μ有关
B.与λ有关,与μ无关
C.与λ,μ都有关
D.与λ,μ都无关
答案 D
7.(2024北京五中月考,8)某景区为提升游客观赏体验,搭建一批圆锥形屋顶的小屋.现测
量其中一个屋顶,得到圆锥SO的底面直径AB长为12 m,母线SA长为18 m(如图).若C
是母线SA的一个三等分点(靠近点S),从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,则灯
光带的最小长度为 ( )
A.6√7 m B.16 m
C.6√13 m D.12 m
答案 C
8.(2024北京一六六中学阶段考试,9)“木桶效应”是指木桶盛水量的多少,取决于构成木
桶的最短木板的长度,而不取决于构成木桶的长木板的长度,常被用来寓意一个短处对
于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为,如果将该木桶斜放,发挥长板的作用,在
短板存在的情况下,也能盛较多的水.根据该同学的说法,若有一个如图①所示的圆柱形
木桶,其中一块木板有缺口,缺口最低处与桶口距离为2,若按照图②的方式盛水,形成了
一个椭圆水面,水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平,且MN为该椭圆水面
的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为 ( )
