数学高考试题之难,难在备考观念的转变

今年高考结束后，对于数学试题，听到的还是那个字：难！从我了解到的一些学校的数学最高分和高分段学生占比情况看，数据确实不太好.作为一个数学教育工作者，尽管已经退休，我还是想看看这份题目究竟难成什么样.由于一些特殊原因，直到最近才有时间认真看了今年的数学题，我主要看了全国二卷的题目，一卷的只看了最后的压轴题。我感觉今年数学高考二卷的试题整体上还是友好的，压轴题的最后两个小题确实有难度，但是这两个小题其实跟大多数考生没多大关系，真正有实力去攻克最后一个题的最后两问的学生本来就很少.也就是说，对想要在140分以上去拿分数的学生来说，觉得试题难是正常的，而对多数学生来说不应该觉得有多难.但事实上，很多人都说难，如前所说，考试结果的数据确实也不是太好.这是为什么？马上开始备考2027年高考的学生应该注意些什么？

我们先来具体看看今年数学高考全国二卷的题目，做出分析后，再回答上面这两个问题。为节省篇幅，我们不在这里呈现所有试题的具体内容，想要找到试题内容，在“千问”、“百度”等APP中输入“2026年高考数学二卷试题”即可搜到.

单选题的第1题到第4题都是教材习题中简单层次的题目，第5题会算菱形的面积再代入棱台的体积公式即可。

第6题：现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有：

A.10种    B.12种   C.16种    D.24种

思路：先让甲、乙在两个组中选定一个组，有2种选法；在丙、丁中选一个人与甲、乙在同一个组，有2种选法；最后在除甲、乙、丙、丁外的4人中选1个与甲、乙在同一个组，有4种选法，剩下4人去另一个组。依分步乘法原理，共有2×2×4=16（种），故选C.

这个题也就相当于课本上中等难度的习题.

接下来的第8题是小题3道槛的第一道槛，考察函数奇偶性、周期性和二次函数.我们来看看：

作为全卷的第一道槛，它确实可以拦掉一部分人，但是对多数考生来说还是友好的.

第9题：给了两个圆的方程，其中第二个圆的方程里含参数k.选项A是确定第二个圆的圆心坐标，明显是错的；选项B是当k=9时判断第二个圆与x轴相切，只要看圆心到x轴的距离是否等于半径即可；选项C是当k=11时判断两圆相切，只要看看两圆的圆心距与半径的和或差是否相等即可；选项D是在两圆相交时，确定公共弦所在直线的方程，只要将两个圆的方程相减就是公共弦所在直线方程，可以轻松做出判断.正确选项是B，C.

每个选项的判断都是正常思维，只要正确演算即可做出判断.

11题是小题3道槛的第二道槛，是一个解析几何的题：

这个题的选项A和选项B是非常简单的，如果对选项C和D没把握，你就选A和B，4分就稳拿了；如果你对选项D能肯定正确，选项C没思路，你可以大胆选A、B、D，因为四个选项都对的情况几乎不可能出现.所以，小题中的这个第2道槛，你的得分应该在4～6分.

12题考数列，是基础层次的题.

第14题是小题3道槛的第3道槛，考的是立体几何：

作为小题的最后1道槛，这个题还是不偏不怪.

下面是对五个解答题的分析：

第15题考统计,完全是教材上的基础内容，要求能够根据频率分布直方图求落在指定范围的数据的频率：频率=（频率/组距）×组距.

（1）小题求第一四分位数和中位数，人教A版必修第二册203页把概念和求法都讲得很清楚.只要正确理解教材内容，高考备考中重视回归教材，就不会有问题.

第16题考立体几何，第（1）问证明两条直线垂直，第（2）问求线面角的正弦值.

第17题是三角形中的相关计算，考察正弦定理、余弦定理、三角形面积计算等知识.

第18题是解析几何，重点考察的是求轨迹方程中的相关点问题.

运算量稍大一点，但思路依然不偏不怪！题目要我们求动点P的轨迹，这个问题的“动源”是点A，当然需要设出点A的坐标（x₀,y₀）.求轨迹的目标点P是两条直线OA和BG的交点，点P坐标（x,y）当然要同时满足这两条直线的方程，将这两条直线的方程联立，消去点A的坐标x₀,y₀就得到轨迹方程.消x₀,y₀的方案也是很常规的思路，利用联立关系解出x₀,y₀后，利用点A在椭圆上，坐标满足椭圆方程就消了，完全是水到渠成的事.至于判断轨迹有无中心点和曲线形状，在方程求出后，就都不是问题.

现在来看最后的压轴题：

这个题虽然是压轴题，但是第（1）小题的难度在教材的习题里也就是中等难度，对绝大多数考生来说，这个小题的分是应该拿到的.

3个小题梯度明显.第（2）小题构造函数g(x)转化为大于0恒成立是常规思路，对g(x)求导时，如果把具体解析式求出来再求导，运算量就会大很多，注意到f(x)的导函数是增函数，那么按照m>0,m=0,m<0来分类研究就顺理成章了.m>0,m=0的研究比较容易，m<0时得到g(x)递减，我们可以猜到可能不满足，但是要得出肯定的结论，就必须指出能取到小于或等于0的函数值.我们是通过研究x趋于正无穷大时函数值将趋于负无穷大来说明的，这个过程中，对函数g(x)解析式结构的有目的的改变是关键.考试过程中，m<0时得出g(x)递减后，如果后续过程想不出来，你就根据递减猜出函数值将出现负数来判断，从而得出正确答案，第（2）小题的大部分分数也能拿到了.

第（3）小题难度再加大！构造函数F(x)后，一次求导问题搞不定，还需要求二阶导数.求了二阶导数后，想到按照k+2与0的大小关系分类讨论是关键，从所得式子的结构，这个分类的信息还是明显的.对k=-2和k>-2的研究很轻松，k<-2时的研究难度大一点.所以，这个题最难的点在第（2）小题中m<0的研究和第（3）小题中k<-2的研究.

这个题的3个小题难度逐渐增大，（2）小题和（3）小题各有1个难啃的点，所以，试题的区分度很好，可以让不同层次的学生拿到各自能拿的分数.

从上面的分析我们看到，全卷的解答过程中，没有用到什么特别的技巧，更没有使用什么二级结论，几乎都是通性通法的运用.小题3道槛没有难啃的骨头，18题的思路很普通，只是运算量略大点，19题的第（1）小题比较容易.只要对教材内容研读透彻，各个板块的重点问题训练扎实，刷题过程中不是盲目追求数量，而是注重反思，深度纠错，在思维深度上下功夫，在严谨审题上下功夫，那么分数在130到140之间应该不是大问题，数学功底扎实的学生在140到150之间去要分数.

但是，正如我们在本文刚开始时说到的，今年高考结束后，对数学的感受还是普遍称“难”，从一些学校的成绩统计数据看，最高分和高分段情况确实不理想.那么这究竟是为什么呢？

笔者因为工作原因，最近这些年观看过很多学校高三年级的课堂，也深层次接触过高三备考过程中的老师和学生.我感觉，出现这种试题难度和学生考试结果严重不吻合的情况，主要是高考备考的观念没有随着国家高考命题方向的改变进行相应的调整.最近几年，国家层面不断发出信号，反对死记硬背和机械刷题，作为最强有力的措施，在高考试题的命制中，突出体现反机械刷题、反套路模板的特征，通俗点可以这样说，高考试题不一定有多难，但是，它不让你套模板，不让你靠模仿就能拿高分，更别指望在高考试卷上碰上你刚好刷过的题，它要的，是你自己想，需要的是你深度思维的能力.然而，很多学校在备考过程中，老师和学生还是按照惯性走.主要表现出以下一些与新的高考命题方向不一致的现象：

1.重做题，轻知识内容的学习和深度理解.上新课时不重视学生对教材的深度预习，学生对知识点没有透彻理解，大量补充课外题目.高考一轮复习时略过知识体系的建构，略过重点问题的解决，直接就是做题讲题.我在江苏时指导过一个高二下学期的学生，当时他们新课已上完，正好进入一轮复习，我问他，一轮复习怎么操作？他说：一上课老师就发题目给我们做，做了后多数同学不会的老师讲.我问：对知识内容没有进行回归建构吗？他说：没有.

虽然高考时是通过做题来拿分的，但是，知识内容没有透彻理解，我们拿什么来做题？一轮复习时，需要在回归教材的基础上进行知识建构，让学生大脑中形成清晰的知识网络，认真解决好各个板块的重点问题，在此基础上再做题、讲题.各个板块需要解决的重点问题是有限的，而题目是无限的，我们应该把有限的重点问题解决好，再去应对无限的题目.

2.重教辅，轻教材.即使上新课时，教材也是处于配角的地位，主要内容是老师从教辅上补充的东西.至于到了高三复习时，很多学生的教材直接放在家里不带到学校了，高三复习就是用教辅和老师订的试卷.教材是课本，课本和教辅，一个是“本”，一个是“辅”，谁轻谁重本来是很明显的，“本”就是根本啊，是教学的依据，也是高考命题的依据，“辅”是学习中的辅助材料，是供老师参考和学生课外学习的补充材料，然而，这个“小三”却是堂而皇之地把正宫娘娘取代了.不是说不可以用教辅，但是，一定要先把教材内容充分吃透之后再用教辅，教辅上的内容只能是老师根据教学需要选择性使用，而不能直接成为课堂学习的教材.高三备考复习中上课用的材料，最好是老师根据需要精心挑选后编制而成的，而不能拿着教辅照本宣科.对教材上的内容要抓住关键词深度理解，教材上的例题、习题、复习参考题要认真研究，做到举一反三，触类旁通.高考试题是课本题的延伸和拓展，是高考的母题，把母题吃透，就做实了根基.

3.重刷题数量，轻思维训练.高考备考过程中，需要做一定数量的题，这是无可非议的，但不是做得越多越好.必须保证一定的数量，但是更要注重刷题的质量.对做过的试题要进行深度分析和研究，对典型的题目要通过一题多解进行思维训练，对自己没有做出的或者是做错的题目，不要只是把答案写上就完了，要深挖原因，没有做出来的原因是什么？做错的原因是什么？是记忆的问题还是理解的问题？是概念的问题还是方法的问题？思维上主要被卡在哪里？被卡的原因是什么？要深度思考，要把思考的结果写出来.不要认为这样耽误时间，不要贪图刷题数量就忽略深度反思和研究.

4.重老师讲解，轻学生的自主探究和思维表达.凡是新题型，一定是老师讲解，学生听讲、记笔记，然后老师出类似的题目让学生模仿着做，这就是所谓的训练.按照这样的模式，在考场上学生一旦遇见老师没讲过的题型就束手无策了.而在新高考背景下，除了基础的中、低档题目可能会有老师讲过的题型外，稍有难度和区分度的题目，都不会是老师讲过的模型，这正是本文提到的出现题目难度与考试结果不吻合的原因，本来题目不是很难，但是不是老师讲过的典型题型，学生就无从下手.老师除了做必要的示范引领外，更多的时候要给学生自主探究的机会，即使是全新的题型，也要让学生自己去找路，指导学生怎么审题，怎样提取关键信息，怎样寻找联系，如何找到下手的点.当学生遇到障碍时，要帮助学生分析出现障碍的原因，引导学生如何把路打通.我们应该告诉学生一件事：我给你讲的每一个题，高考都不会考的，所以，你不是要记住这个题的解答过程，你应该领会如何找到这个题目解法的思维过程.要把让学生学会想，把学生的思维能力提高作为教学的主攻方向.同时要多给学生说的机会，让他们把他的思路和理解讲出来，只有他讲出来了，他的理解才是透彻的.

5.重二级结论，轻思维训练.很多老师给学生总结了一大堆二级结论、秒杀绝技，而忽略了知识间的内在联系.数学的灵魂是逻辑思维，过渡强调二级结论和秒杀绝技，就把路带歪了.透彻理解概念，理清逻辑关系，练好思维能力才是以不变应万变的法宝.让学生掌握一些重要结论当然是可以的，但是一定要理清逻辑关系，搞懂来龙去脉.

凡此种种，是在数学高考备考中的一些不当行为，出现这些行为的最根本原因是急功近利.这些行为与新的高考命题方向相违背，严重影响高考备考的效率和效果.当然，上面列举的行为，不是不能做，关键在一个度的把握，要分清主次，要面对高考命题反机械刷题，反套路模板的这个现实，让自己从原来那套过时的备考习惯中尽快走出来.只有这样，才能适应新高考的备考要求.