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【截长补短在正方形中的应用】题集【A】
典型例题
【典型例题】：
已知：如图，正方形
中，
平分
，
是
直线上一点，
求证：
【分析】：
从图上观察，发现
直线上已有两个垂直，很像我们熟悉的一线三垂直，所以试着过点
作
，如图，分析下来，条件不够，没办法证明
与
全等
【思考1】：
那这道题该怎么解呢？大家注意到
平分
这个条件了吗？我们怎么利用它呢？
【探究】：
想要证明
，我们还是应该构造包含这两条边的三角形全等，
图中现成的
中由
平分
知
，
所以，我们要想到另外构造的三角形也有
，
这时我们利用截长补短的办法，截取一个等腰直角角三角形就可以解决问题了
辅助线：在
上截取
，连接
，则
2
【思考2】：
当点
在
延长线上时，还会有
吗？
≌
（1 ）
（2 ）
1. 在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图，四边形
是正方形，点
是边
的中
点，
，且
交正方形外角平分线
于点
．请你探究
与
存在怎样的数量关
系，并证明你的结论正确．
经过探究，小明得出的结论是
．而要证明结论
，就需要证明
和
所在的
两个三角形全等，但
和
显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考
虑到点
是边
的中点，小明想到的方法是如图，取
的中点
，连接
，证明
≌
．从而得到
．
请你参考小明的方法解决下列问题：
图
图
如图，若把条件“点
是边
的中点”改为“点
是边
上的任意一点”，其余条件不
变，证明结论
仍然成立．
图
如图，若把条件“点
是边
的中点”改为：“点
是边
延长线上的一点”，其余条件
仍不变，那么结论
是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理
由．
3
图
2. 如图，点
为正方形
的边
(或
)延长线上任意一点，
且与
外角的平
分线交于点
，此时
与
有何数量关系?并加以证明．
（1 ）
（2 ）
3. 如图，边长为的正方形
的顶点
在坐标原点处，点
，
分别在轴，轴的正半轴上，点
是
边上的点（不与点
重合），
，且与正方形外角平分线
交于点
．
求证：
．
若点
的坐标为
，在轴上是否存在点
，使得四边形
是平行四边形，若存在，
求出点
的坐标，若不存在，说明理由．
（1 ）
1
2
（2 ）
4. 已知：如图，正方形
中，
是
边上的一点，连接
，作
于
，交正方形
的外角
的平分线于
，易证：
．
图
图
图
当点
在
的延长线上时，其他条件不变，请在图中补全图形，猜想
与
的数量关
系，并证明你的结论．
当点
在
边上时，其他条件不变，连接
，交
边于点
．
用等式表示线段
、
和
之间的数量关系，并证明．
若正方形的边长为，
，求
的长．
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