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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
特殊的平行四边形
解读考点
☞
知 识 点
名师点晴
矩形
1．矩形的性质
会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演
绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．
2．矩形的判定
会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否
是矩形
菱形
1．菱形性质
能应用这些性质计算线段的长度
2．菱形的判别
能利用定理解决一些简单的问题
正方形
1．正方形的性
质
了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关
系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题
2．正方形判定
掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和
判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特
殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己
的猜想进行证明
2
☞年中考
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
B．对角线互相垂直的矩形是正方形．
C．对角线相等的菱形是正方形．
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
【答案】D．
考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．
2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ）
A．当AD=BC，AB∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形
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B．当AD=BC，AB=DC 时，四边形ABCD 是平行四边形
C．当AC=BD，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形
D．当AC=BD，AC⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A 不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B 正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C 不正确；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D 不正确；
故选B．
考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．
3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD 交于点O，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为
28，则OE 的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E 为AD 边中点，∴OE 是
△ABD 的中位线，∴OE=
1
2 AB=
1
2 ×7=3.5．故选A．
考点：菱形的性质．
4．（柳州）如图，G，E 分别是正方形ABCD 的边AB，BC 的点，且AG=CE，AE EF
⊥
，AE=EF，
现有如下结论：①BE=
1
2 GE；②△AGE
ECF
△
≌
；③∠FCD=45°；④△GBE
ECH
△
∽
其中，正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B．
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考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合
题．
5．
（内江）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD
内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A．3 B．2 3 C．2 6 D．
6
【答案】B．
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．
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6．（南充）如图，菱形ABCD 的周长为8cm，高AE 长为3 cm，则对角线AC 长和BD 长之比
为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：
2 D．1：3
【答案】D．
【解析】
试题分析：如图，设AC，BD 相较于点O，∵菱形ABCD 的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高
AE 长为
3 cm ，∴BE=
2
2
AB
AE
=1 （cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，
∵OA=1cm，AC BD
⊥
，∴OB=
2
2
AB
OA
= 3（cm），∴BD=2OB= 2 3 cm，∴AC：BD=1：
3 ．故选D．
考点：菱形的性质．
7．（安徽省）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G、H
在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）
A．2 5 B．3 5 C．5 D．6
【答案】C．
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考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．
8．（十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E、F 分别在AB，AD 上，若CE=
5
3
，且
∠ECF=45°，则CF 的长为（ ）
A．
10
2
B．
5
3
C．
5 10
3
D．
10
5
3
【答案】A．
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考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．
9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、
A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1 在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…
在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方
形A2015B2015C2015D2015 的边长是（ ）
A．
2014
2
1）
（
B．
2015
2
1）
（
C．
2015
3
3）
（
D．
2014
3
3）
（
【答案】D．
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考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．
10．（广安）如图，已知E、F、G、H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则
四边形EFGH 的面积为 cm2．
【答案】9 3 ．
【解析】
试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H 分别是菱形四边上的中点，
∴EH=
1
2 BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=
1
2 AC=HG，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形
ABCD 中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH 是矩形，∵四边形ABCD 是菱形，
∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=
1
2 AB=3，∴AC=6，在
Rt△AOB 中，由勾股定理得：OB=
2
2
AB
OA
=3 3 ，∴BD=6 3 ，∵EH=
1
2 BD，EF=
1
2
AC，∴EH=3 3 ，EF=3，∴矩形EFGH 的面积=EF•FG=9 3 cm2．故答案为：9 3 ．
考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．
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11．（凉山州）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，
点P 是对角线OC 上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．
【答案】（2 3
3
，2
3
）．
的交点，∴点P 的坐标为方程组
3
3
(1
3)
1
y
x
y
x
的解，解方程组得：
2 3
3
2
3
x
y
，所以
点P 的坐标为（2 3
3
，2
3
），故答案为：（2 3
3
，2
3
）．
考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．
综合题．
12．（潜江）菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（1，0），点B 的
坐标为（0，3 ），动点P 从点A 出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以
每秒0.5 个单位长度的速度移动，移动到第2015 秒时，点P 的坐标为 ．
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【答案】（0.5，
3
2
）．
考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．
13．（北海）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O，点E 在DC
边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．
【答案】8．
【解析】
试题分析：∵正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O，∴∠BAC=45°，
AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°
15°=30°
﹣
．∵在
Rt△ADE 中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．
考点：1．含30 度角的直角三角形；2．正方形的性质．
14．（南宁）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE，则∠BED 的度数是 ．
【答案】45°．
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考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．
15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P，Q 分别
是边BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ
的面积是 ．
【答案】
9
2 ．
【解析】
试题分析：如图1 所示，作E 关于BC 的对称点E′，点A 关于DC 的对称点A′，连接A′E′，四
边形AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D 是AA′
的中点，∴DQ 是△AA′E′的中位线，∴DQ=
1
2 AE′=2；CQ=DC
CQ=3
2=1
﹣
﹣
，∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，∴
'
'
'
BP
BE
AA
AE
，即
1
6
4
BP
，BP=
3
2 ，CP=BC
BP=
﹣
3
3
2
=
3
2 ，S 四边
形AEPQ=S 正方形ABCD
S
﹣△ADQ
S
﹣△PCQ
SBEP=9
﹣
﹣
1
2 AD•DQ﹣
1
2 CQ•CP﹣
1
2
BE•BP=9﹣
1
2 ×3×2﹣
1
2 ×1×
3
2 ﹣
1
2 ×1×
3
2 =
9
2 ，故答案为：
9
2 ．
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考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．
16．（达州）在直角坐标系中，直线
1
y
x
与y 轴交于点A，按如图方式作正方形
A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线
1
y
x
上，点C1、C2、C3…在x
轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为
1S 、
2
S 、
3
S 、…
n
S ，则
n
S 的值为
（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．
【答案】
2
3
2 n．
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故答案为：
2
3
2 n．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．
17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1 中，AB=1．AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB1 交直线
l 于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2 交直线l 于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长
C2B3 交直线l 于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．
【答案】
2014
2( 3)
．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．
18．（梧州）如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A、D 重合，BP 的垂直平分线分
别交CD、AB 于E、F 两点，垂足为Q，过E 作EH AB
⊥
于H．
（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD 的边长为12，AP=4，求线段EQ 的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）
10 10
3
．
【解析】
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考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．
19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG 均为正方形，连接AG、CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG CE
⊥
．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）由ABCD、BEFG 均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得
出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；
（2 ）由△ABG≌△CBE ，得出∠BAG=∠BCE ，由∠BAG+∠AMB=90° ，对顶角
∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．
试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG 均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，
BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG 和△CBE 中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE；
（2 ）如图所示：∵△ABG≌△CBE ，∴∠BAG=∠BCE ，∵∠ABC=90° ，
∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，
∴AG⊥CE．
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考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．
20．（武汉）已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8．
（1）如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E、F 分别在AB、AC 边上，EF 交
AD 于点K．
①求
EF
AK 的值；
②设EH=x，矩形EFGH 的面积为S，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另
两边上，直接写出正方形PQMN 的边长．
【答案】（1）①
3
2 ；②
3 (8
)
2
S
x
x
， S 的最大值是24；（2）
24
5 或
240
49 ．
试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴
AK
EF
AD
BC
，∴
EF
BC
AK
AD
=
12
8 =
3
2 ，即
EF
AK 的值是
3
2 ；
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考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．
分类讨论；6．综合题；7．压轴题．
21．（荆州）如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且
PA=PE，PE 交CD 于F．
（1）PC=PE；
（2）求∠CPE 的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试
探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．
【解析】
试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到
∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
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考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；
6．压轴题．
1．（宜宾） 如图，将n 个边长都为2 的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An 分别是正方
形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B．n
1 C
﹣
．（
1
4 ）n
1 D
﹣
．
1
4 n
【答案】B．
【解析】
试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的
1
4 ，即是
1
4 ×4=1，5 个这样的正
方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积
和为：1×（n
1
﹣）=n
1
﹣．
故选B．
考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．
2．（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE=1，BE 的垂直平分
线MN 恰好过点C．则矩形的一边AB 的长度为（ ）
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A．1
B．
2
C．3
D．2
【答案】C．
考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．
3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E，F 分别在AD，BC 上，连接
BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF 是菱形，且EF=AE+FC，则边BC 的长为（ ）
A．2 3
B．
3 3
C．6 3 D．
9 3
2
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，即BA BF
⊥
，∵四边形BEDF 是菱形，
∴EF BD
⊥
，∠EBO= DBF
∠
，∴AB=BO=3，∠ABE= EBO
∠
，∴∠ABE= EBD= DBC=30°
∠
∠
，
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∴BE=
2 3
cos30
BO
，∴BF=BE= 2 3 ，∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
CF=AE=
∴
3 ，∴BC=BF+CF=3 3 ，故选B．
考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．
4．（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ）
A．等腰梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】B．
考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．
5．
（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E，
且DE AF
⊥
，垂足为点M，BE=3，AE=2
6 ，则MF 的长是（ ）
A．15
B．
15
10
C．1 D．
15
15
【答案】D．
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考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．
6．（襄阳）如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在边AB，BC 上，且AE=
1
3 AB，将矩形沿直线
EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q，对于下列结论：
①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵AE=
1
3 AB，∴BE=2AE．
由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°
30°=60°
﹣
，∴∠BEF=
1
2 （180°﹣
AEP
∠
）=
1
2 （180°
60°
﹣
）=60°．∴∠EFB=90°
60°=30°
﹣
．
EF=2BE
∴
．故①正确．
BE=PE
∵
，∴EF=2PE．
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EF
∵
＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．
由翻折可知EF PB
⊥
，∴∠EBQ= EFB=30°
∠
．∴BE=2EQ，EF=2BE．
FQ=3EQ
∴
．故③错误．
由翻折的性质，∠EFB= BFP=30°
∠
，∴∠BFP=30°+30°=60°．
PBF=90°
EBQ=90°
30°=60°
∵∠
﹣∠
﹣
，∴∠PBF= PFB=60°
∠
．
PBF
∴△
是等边三角形．故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选D．
考点：1．矩形的性质；2．含30 度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．
7．（宁夏）菱形ABCD 中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．
【答案】5．
考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．
8．
（山东省聊城市）如图，四边形ABCD 是平行四边形，作AF CE
∥
，BE DF
∥
，AF 交BE 与G 点，
交DF 与F 点，CE 交DF 于H 点、交BE 于E 点．
求证：△EBC
FDA
≌△
．
【答案】证明见解析．
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考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．
9．（梅州）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？
【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD 为正方形可证△CEB
CFD
≌△
，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+ ECD= DCF+ ECD
∠
∠
∠
即∠ECF= BCD=90°
∠
又∠GCE=45°所
以可得∠GCE= GCF
∠
，故可证得△ECG
FCG
≌△
，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可
证出GE=BE+GD 成立．
试题解析：（1）在正方形ABCD 中，∵BC=CD，∠B= CDF
∠
，BE=DF，∴△CBE
CDF
≌△
（SAS）．∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD 成立．理由是：
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．
考点归纳
☞
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归纳 1：矩形
基础知识归纳：
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角
的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时
平行四边形的性质矩形也都具有．
注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这
个四边形的对角线相等．
【例1】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小
为（ ）
A、30° B、60° C、90° D、120°
【答案】B．
考点：矩形的性质．
归纳 2：菱形
基础知识归纳：
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
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（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的
平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平
行四边形的判定方法．
【例2】如图，已知AC、BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）．
（A）△ABD 与△ABC 的周长相等； （B）△ABD 与△ABC 的面积相等；
（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍； （D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．
【答案】B．
考点：菱形的性质．
归纳 3：正方形
基础知识归纳：
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4 条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分
成四个全等的小等腰直角三角形
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（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．
注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【例3】如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F．有甲、乙、
丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A
B
F
C
﹣﹣﹣
的路径行走至C，乙沿着A
F
E
C
﹣﹣﹣﹣
D 的路径行走至D，丙沿着A
F
C
D
﹣﹣﹣
的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则
他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）
A．甲乙丙
B．甲丙乙
C．乙丙甲
D．
丙甲乙
【答案】B．
考点：正方形的性质．
1
☞年模拟
1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D．
【解析】
试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C 选项均正确，而D 不正确，因为对角线
互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．
考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．
2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（ ）
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A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B．
考点：矩形的性质．
3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠B=45°，AE 为BC 边上的
高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积为
（ ）
A．0.7 B．0.9 C．2
2 −2 D．
2
2
【答案】C．
【解析】
试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：
BE2+AE2=22，解得：BE=
2 ，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，
BE=B1E=
2 ，∴BB1=2
2 ，B1C=2
2 -2，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，
∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴
1
1
B C
CF
AB
BB
，解得：CF=2-
2 ，∴△AEB1、△CFB1 的面积分别为：
1
2
2
1
2
，
2
1
(2
2)
3
2 2
2
，∴△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积=
1 (3
2 2)
2 2
2
．故选C．
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考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．
4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标系原点，顶点A 在x
轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′
的坐标为（ ）
A．（-
2 ，
2 ） B．（
2 ，-
2 ） C．（2，-2） D．（3 ，- 3 ）
【答案】B．
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考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．
5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在边AB，BC 上，且
AE=
1
3 AB，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q，
对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是
（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
【答案】D．
综上所述，结论正确的是①④．故选D．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．
6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条
件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD
为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
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A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】B．
考点：正方形的判定．
7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，AB= 3 ，AD=1，把该矩形绕点
A 顺时针旋转α 度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
3
2
4
．
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考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．
8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，⊙O 与边BC，CD 相切，现有一条过
点B 的直线与⊙O 相切于点E，连接BE，△ABE 恰为等边三角形，则⊙O 的半径为
．
【答案】6-3 3 ．
【解析】
试题分析：过O 点作GH⊥BC 于G，交BE 于H，连接OB、OE，∴G 是BC 的切点，OE⊥BH，
∴BG=BE，∵△ABE 为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴GH= 3 ，
BH=2 3 ，设OG=OE=x，则EH=2 3 -3，OH= 3 -x，在RT△OEH 中，EH2+OE2=OH2，即（2
3 -3）2+x2=（3 -x）2，解得x=6-3 3 ，∴⊙O 的半径为6-3 3 ．故答案为：6-3 3 ．
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考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．
9．（山东省日照市中考一模）边长为1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC
的面积为 ．
【答案】
1
4 ．
考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30 度角的直角三角形．
10．
（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，
BC=1，CE=3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是 ．
【答案】5 ．
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考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．
11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4 月中考模拟）如图，已知Rt△ABC 中，
∠ABC=90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线平移至
△FEG，DE、FG 相交于点H．
（1）判断线段DE、FG 的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG 是正方形．
【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．
【解析】
考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．
12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F 分别是□ABCD 的边BC，AD 上的中点，且
∠BAC=90°．
（1）求证：四边形AECF 是菱形；
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（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF 面积．
【答案】（1）见解析（2）
25
3
2
．
【解析】
试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF 是菱形；
（2）连接EF 交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC 与EF 的长，再利用菱形的
面积公式即可求得菱形AECF 的面积．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．
在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点E 是BC 边的中点，∴AE=CE=
1
2 BC．
同理，AF=CF=
1
2 AD．
∴AF=CE．
∴四边形AECF 是平行四边形．
∴平行四边形AECF 是菱形．
考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．
13．
（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB 的长是
关于x 的一元二次方程x2-7x+12=0 的两个根，且OA＞OB．
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（1）求sin∠ABC 的值；
（2）若E 为x 轴上的点，且S
AOE=
△
16
3 ，求经过D、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE
与△DAO 是否相似？
（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F，使以A、C、F、M 为顶点的
四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
4
5 ．
（2）△AOE∽△DAO．
（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（
4
75
1
，7
22
），F4（-
42
25 ，
44
25 ）．
【解析】
试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB 长度，根据勾股定理求得AB
长，那么就能求得sin∠ABC 的值；
（2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E
的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把
A、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是
相似三角形；
（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以
及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．
试题解析：
（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB 中，
由勾股定理有AB=
2
2
5
OA
OB
，∴sin∠ABC=
5
4
OA
AB
；
（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO 平分∠BAC，①AC、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，
AF=AC=5，所以点F 与B 重合，即F（-3，0）；
②AC、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM，点F（3，
8）；
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③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L，AC 解析式为y=-
4
3 x+4，直线L 过（
3
2 ，2），且k 值
为
3
4（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1），L 解析式为y=
3
4 x+
7
8 ，联立直线L 与直
线AB 求交点，
∴F（
4
75
1
，
7
22
）；
④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=
24
5 ，勾股定理得出，
AN=
7
5 ，做A 关于N 的对称点即为F，AF=
14
5 ，过F 做y 轴垂线，垂足为G，FG=
14
5 ×
3
5 =
42
25
，∴F（-
42
25 ，
44
25 ）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（
4
75
1
，
7
22
），F4（-
42
25 ，
44
25 ）．
考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析
式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．
14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线
上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG，过点B 作EF 的
垂线，交EF 于点M，交DA 的延长线于点N，连接NG．
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（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．
【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．
（2）解：四边形BFGN 为菱形，证明如下：
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考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差
倍分．
15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕
点A 顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C 的运动路径为CC，则图中阴影部分的面
积为 ．
【答案】
3
3
4
2
．
【解析】
试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、
C 及A、B、C′分别共线∴AC= 3 ，∴扇形ACC′的面积为：
2
30
( 3)
360
4
．∵AC=AC′，
AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B 中，
CD
BC
ACO
AC D
COD
C OB
，∴△OCD′≌△OC′B（AAS），
∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=
3 -1，
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OB+C′O=1 ，∴在Rt
BOC′
△
中，BO2+ （1-BO ）2= （
3 -1 ）2 ，解得BO=
3
1
2
2
，
3
3
2
2
C O
，
∴
考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．
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