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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
北师大新版九年级上册《第1 章 特殊的平行四边形》单元测试卷
一、选择题：（每小题3 分，共36 分）
1．下列判定正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
2．下列说法中，错误的是( )
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( )
A．矩形的对角线相等
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．矩形有一个内角是直角
D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )
A．正方形
B．矩形C．菱形D．矩形或菱形
5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )
A．矩形B．菱形C．矩形或正方形D．正方形
6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为
28，则OH 的长等于( )
A．3.5
B．4 C．7 D．14
7．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )
A．矩形B．菱形C．正方形
D．平行四边形
8．如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边作菱形AEFC，则∠FAB=( )
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A．30°
B．45°
C．22.5° D．135°
9．如图，已知点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BE=BC，则∠DCE 的度数为( )
A．30°
B．22.5° C．15°
D．45°
10．如图：长方形纸片ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B 与点D 重
合．折痕为EF，则DE 长为( )
A．4.8
B．5 C．5.8
D．6
11．如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则
S1+S2的值为( )
A．16
B．17
C．18
D．19
12．如图，正方形ABCD 的面积为4，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角
线AC 上有一点P，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为( )
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A．2 B．3 C．
D．
二、填空题（每小题3 分，共12 分）
13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为__________，面
积为__________．
14．如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 折叠后得到△GBE，延长BG 交CD 于点
F，若CF=1，FD=2，则BC 的长为__________．
15．在矩形ABCD 中，AB=5，AD=12，P 是AD 上的动点，PE AC
⊥
于点E，PF BD
⊥
于点F，则
PE+PF=__________．
16．如图，菱形ABCD 的周长为24cm，∠A=120°，E 是BC 边的中点，P 是BD 上的动点，则
PE
PC
﹢
的最小值是__________．
三、解答题：
17．如图，菱形ABCD 的对角线AC、BC 相交于点O，BE AC
∥
，CE DB
∥
．求证：四边形OBEC
是矩形．
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18．已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE AC
∥
，ED=AF．求证：四边形AEDF 是菱形．
19．已知：如图，菱形ABCD 中，E、F 分别是CB、CD 上的点，且BE=DF．求证：
∠AEF= AFE
∠
．
20．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD BC
⊥
，垂足为点D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平
分线，CE AN
⊥
，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE 为矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
21．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是的BC 边的中点，DE AC
⊥
，DF AB
⊥
，垂足
分别是E、F．
（1）求证：DE=DF；
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形，并给出证明．
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22．如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60°，AB=
，AE BD
⊥
于点E，
求OE 的长．
23．已知，如图1，BD 是边长为1 的正方形ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E，
延长BC 到点F，使CF=CE，连接DF，交BE 的延长线于点G．
（1）求证：△BCE
DCF
△
≌
；
（2）求CF 的长；
（3）如图2，在AB 上取一点H，且BH=CF，若以BC 为x 轴，AB 为y 轴建立直角坐标系，问在
直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出
所有符合条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．
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北师大新版九年级上册《第1 章 特殊的平行四边形》单
元测试卷
一、选择题：（每小题3 分，共36 分）
1．下列判定正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
【考点】多边形．
【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．
【解答】解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A 错误；
B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B 正确；
C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C 正确；
D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D 错误；
故选：B．
【点评】本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是
解题关键．
2．下列说法中，错误的是( )
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC 均正确，而D 不正确，因为对角线互相垂
直的四边形也可能是梯形，
故选：D．
【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本
性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形
的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互
相垂直平分．
3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( )
A．矩形的对角线相等
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．矩形有一个内角是直角
D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
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【考点】命题与定理．
【分析】分别写出四个命题的逆命题，再判断是否是真命题即可．
【解答】解：A、矩形的对角线相等，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，错误；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，正确；
C、矩形有一个内角是直角，逆命题是有一个内角是直角的四边形是矩形，错误；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形，错误．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆
命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．
4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )
A．正方形
B．矩形C．菱形D．矩形或菱形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4 条对称轴；
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2 条对称轴；
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2 条对称轴．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重
合．
5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )
A．矩形B．菱形C．矩形或正方形D．正方形
【考点】矩形的判定．
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可．
【解答】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形．
故选：A．
【点评】此题考查了特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点是解题关
键．
6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为
28，则OH 的长等于( )
A．3.5
B．4 C．7 D．14
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
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【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出
OH 是△ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得
OH= AB．
【解答】解：∵菱形ABCD 的周长为28，
AB=28÷4=7
∴
，OB=OD，
H
∵
为AD 边中点，
OH
∴
是△ABD 的中位线，
OH=
∴
AB= ×7=3.5．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于
第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
7．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )
A．矩形B．菱形C．正方形
D．平行四边形
【考点】中点四边形．
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去
证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD 中，
AH=HD
∵
，AE=EB
EH=
∴
BD，
同理FG= BD，HG= AC，EF= AC，
又∵在矩形ABCD 中，AC=BD，
EH=HG=GF=FE
∴
，
∴四边形EFGH 为菱形．
故选B．
【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用
三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
8．如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边作菱形AEFC，则∠FAB=( )
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A．30°
B．45°
C．22.5° D．135°
【考点】菱形的性质；正方形的性质．
【分析】由正方形的性质得对角线AC 平分直角，因为菱形的对角线平分所在的角，所以
∠FAB 为直角的．
【解答】解：因为AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线
平分一组对角，则∠FAB=22.5°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形、菱形的对角线的性质．
9．如图，已知点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BE=BC，则∠DCE 的度数为( )
A．30°
B．22.5° C．15°
D．45°
【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC= BDC=45°
∠
，根据BE=BC，根据三角形的内角
和定理求出∠BEC= BCE=67.5°
∠
，根据∠DCE= BCD
BCE
∠
∠
﹣
即可求出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD，
BC=CD
∴
，∠DBC= BDC=45°
∠
，
BE=BC
∵
，
BEC= BCE=67.5°
∴∠
∠
，
DCE= BCD
BCE=90°
67.5°=22.5°
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
，
故选B．
【点评】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的
理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE 的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．
10．如图：长方形纸片ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B 与点D 重
合．折痕为EF，则DE 长为( )
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A．4.8
B．5 C．5.8
D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】数形结合．
【分析】注意发现：在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE 即可表示AE，在直角三角形ADE 中，
根据勾股定理列方程即可求解．
【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB
BE=10
x
﹣
﹣，
在RT
ADE
△
中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10
x
﹣）2+16．
解得：x=
=5.8（cm）．
故选C．
【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要
熟练运用勾股定理解直角三角形．
11．如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则
S1+S2的值为( )
A．16
B．17
C．18
D．19
【考点】勾股定理．
【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=
BC，BC=CE=
CD，可得AC=2CD，CD=2，
EC=2
；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
【解答】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
ABC
∵△
和△CDE 都为等腰直角三角形，
AB=BC
∴
，DE=DC，∠ABC= D=90°
∠
，
sin CAB=sin45°=
∴
∠
=
，即AC=
BC，同理可得：BC=CE=
CD，
AC=
∴
BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
CD=
∴
=2，
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EC
∴
2=22+22，即EC=2
；
S
∴
1的面积为EC2=2
×2
=8；
MAO= MOA=45°
∵∠
∠
，
AM=MO
∴
，
MO=MN
∵
，
AM=MN
∴
，
M
∴
为AN 的中点，
S
∴
2的边长为3，
S
∴
2的面积为3×3=9，
S
∴
1+S2=8+9=17．
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进
行解答．
12．如图，正方形ABCD 的面积为4，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角
线AC 上有一点P，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．3 C．
D．
【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】由于点B 与D 关于AC 对称，所以连接BE，与AC 的交点即为P 点．此时PD+PE=BE
最小，而BE 是等边△ABE 的边，BE=AB，由正方形ABCD 的面积为4，可求出AB 的长，从
而得出结果．
【解答】解：连接BD，与AC 交于点F．
∵点B 与D 关于AC 对称，
PD=PB
∴
，
PD+PE=PB+PE=BE
∴
最小．
∵正方形ABCD 的面积为4，
AB=2
∴
．
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又∵△ABE 是等边三角形，
BE=AB=2
∴
．
∴所求最小值为2．
故选：A．
【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
二、填空题（每小题3 分，共12 分）
13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为10cm，面积为
50
cm
2 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．
【解答】解：根据已知可得，
菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，
ABC
∴△
为等边三角形，
AC=AB=10cm
∴
，AO=CO=5cm，
在Rt
AOB
△
中，根据勾股定理得：BO=
=5
，
BD=2BO=10
∴
（cm），
则S 菱形ABCD= ×AC×BD= ×10×10
=50
（cm2）；
故答案为：10cm，50
cm2．
【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底
乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积= ×两条对角线的乘积．
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14．如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 折叠后得到△GBE，延长BG 交CD 于点
F，若CF=1，FD=2，则BC 的长为
．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】首先过点E 作EM BC
⊥
于M，交BF 于N，易证得△ENG
BNM
≌△
（AAS），MN 是
△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继
而求得BF 的值，又由勾股定理，即可求得BC 的长．
【解答】解：过点E 作EM BC
⊥
于M，交BF 于N，
∵四边形ABCD 是矩形，
A= ABC=90°
∴∠
∠
，AD=BC，
EMB=90°
∵∠
，
∴四边形ABME 是矩形，
AE=BM
∴
，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN= A=90°
∠
，
EG=BM
∴
，
在△ENG 和△BNM 中
∵
，
ENG
BNM
∴△
△
≌
（AAS），
NG=NM
∴
，
CM=DE
∴
，
E
∵
是AD 的中点，
AE=ED=BM=CM
∴
，
EM CD
∵
∥
，
BN
∴
：NF=BM：CM，
BN=NF
∴
，
NM=
∴
CF= ，
NG=
∴
，
BG=AB=CD=CF+DF=3
∵
，
BN=BG
NG=3
∴
﹣
﹣= ，
BF=2BN=5
∴
，
BC=
∴
=
=2
．
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故答案为：2
．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的
判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．在矩形ABCD 中，AB=5，AD=12，P 是AD 上的动点，PE AC
⊥
于点E，PF BD
⊥
于点F，则
PE+PF=
．
【考点】矩形的性质．
【分析】连接PO，过D 作DM AC
⊥
于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出
PE+PF=DM，即可得出答案．
【解答】解：连接PO，过D 作DM AC
⊥
于M，
∵四边形ABCD 是矩形，
ADC=90°
∴∠
，AB=CD=5，AD=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
OA=OD
∴
，
由勾股定理得：AC=13，
OA=OD=6.5
∴
，
S
∵
ADC
△
= ×12×5= ×13×DM，
DM=
∴
，
S
∵
AOD=S
APO
△
+S DPO
△
，
∴AO×PE+ OD×PF= ×AO×DM，
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PE+PF=DM=
∴
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出DM 长和得出
PE+PF=DM．
16．如图，菱形ABCD 的周长为24cm，∠A=120°，E 是BC 边的中点，P 是BD 上的动点，则
PE
PC
﹢
的最小值是3
．
【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
【专题】探究型．
【分析】先求出菱形各边的长度，作点E 关于直线BD 的对称点E′，连接CE′交BD 于点P，则
CE′的长即为PE
PC
﹢
的最小值，由菱形的性质可知E′为AB 的中点，由直角三角形的判定定
理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．
【解答】解：∵菱形ABCD 的周长为24cm，
AB=BC=
∴
=6cm，
作点E 关于直线BD 的对称点E′，连接CE′交BD 于点P，则CE′的长即为PE
PC
﹢
的最小值，
∵四边形ABCD 是菱形，
BD
∴
是∠ABC 的平分线，
E′
∴
在AB 上，由图形对称的性质可知，BE=BE′= BC= ×6=3，
BE′=BE=
∵
BC，
BCE′
∴△
是直角三角形，
CE′=
∴
=
=3
，
故PE
PC
﹢
的最小值是3
．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴
对称的性质作出图形是解答此题的关键．
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三、解答题：
17．如图，菱形ABCD 的对角线AC、BC 相交于点O，BE AC
∥
，CE DB
∥
．求证：四边形OBEC
是矩形．
【考点】矩形的判定；菱形的性质．
【分析】根据平行四边形的判定推出四边形OBEC 是平行四边形，根据菱形性质求出
∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．
【解答】证明：∵BE AC
∥
，CE DB
∥
，
∴四边形OBEC 是平行四边形，
又∵四边形ABCD 是菱形，
AC BD
∴
⊥
，
AOB=90°
∴∠
，
∴平行四边形OBEC 是矩形．
【点评】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理
能力．
18．已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE AC
∥
，ED=AF．求证：四边形AEDF 是菱形．
【考点】菱形的判定；角平分线的定义；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】由已知易得四边形AEDF 是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得
∠FAD= FDA
∠
，则可求得AF=DF，故可证明四边形AEDF 是菱形．
【解答】证明：∵AD 是△ABC 的角平分线
EAD= FAD
∴∠
∠
DE AC
∵
∥
，ED=AF
∴四边形AEDF 是平行四边形
EAD= ADF
∴∠
∠
FAD= FDA
∴∠
∠
AF=DF
∴
∴四边形AEDF 是菱形．
【点评】此题主要考查菱形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．此题运用了菱形的判定
方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
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19．已知：如图，菱形ABCD 中，E、F 分别是CB、CD 上的点，且BE=DF．求证：
∠AEF= AFE
∠
．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】在菱形中，由SAS 求得△ABE
ADF
≌△
，再由等边对等角得到∠AEF= AFE
∠
．
【解答】证明：∵ABCD 是菱形，
AB=AD
∴
，∠B= D
∠．
又∵EB=DF，
ABE
ADF
∴△
△
≌
，
AE=AF
∴
，
AEF= AFE
∴∠
∠
．
【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．
20．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD BC
⊥
，垂足为点D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平
分线，CE AN
⊥
，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE 为矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．
【专题】证明题；开放型．
【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE AN
⊥
，AD BC
⊥
，所以求证
∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE 为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD= BC，由已知可得，DC= BC，由（1）的结论可
知四边形ADCE 为矩形，所以证得，四边形ADCE 为正方形．
【解答】（1）证明：在△ABC 中，AB=AC，AD BC
⊥
，
BAD= DAC
∴∠
∠
，
AN
∵
是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
MAE= CAE
∴∠
∠
，
DAE= DAC+ CAE=
∴∠
∠
∠
180°=90°，
又∵AD BC
⊥
，CE AN
⊥
，
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ADC= CEA=90°
∴∠
∠
，
∴四边形ADCE 为矩形．
（2）当△ABC 满足∠BAC=90°时，四边形ADCE 是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
ACB= B=45°
∴∠
∠
，
AD
BC
∵
⊥
，
CAD= ACD=45°
∴∠
∠
，
DC=AD
∴
，
∵四边形ADCE 为矩形，
∴矩形ADCE 是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE 是一个正方形．
【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，
及角平分线的性质等知识点的综合运用．
21．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是的BC 边的中点，DE AC
⊥
，DF AB
⊥
，垂足
分别是E、F．
（1）求证：DE=DF；
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形，并给出证明．
【考点】正方形的判定．
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得AD 是∠BAC 的角平分线，再根据角平分
线的性质可得DE=DF；
（2）添加∠BAC=90°，根据三角形是直角的四边形是矩形可得四边形AFDE 是矩形，再由条
件DF=DE 可得四边形EDFA 是正方形．
【解答】解：（1）连接AD，
AB=AC
∵
，D 是的BC 边的中点，
AD
∴
是∠BAC 的角平分线，
DE
AC
∵
⊥
，DF AB
⊥
，
DF=DE
∴
；
（2）添加∠BAC=90°，
DE
AC
∵
⊥
，DF AB
⊥
，
AFD= AED=90°
∴∠
∠
，
∴四边形AFDE 是矩形，
DF=DE
∵
，
∴四边形EDFA 是正方形．
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【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及正方形的判定，关键是掌握等腰三角形三线
合一的性质．
22．如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60°，AB=
，AE BD
⊥
于点E，
求OE 的长．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD 为等边三角形，
即OA=AD，∵AE BD
⊥
，∴E 为OD 的中点，即可求OE 的值．
【解答】解：∵对角线相等且互相平分，
OA=OD
∴
AOD=60°
∵∠
AOD
∴△
为等边三角形，则OA=AD，
BD=2DO，AB=
AD，
AD=2
∴
，
AE
BD
∵
⊥
，∴E 为OD 的中点
OE=
∴
OD= AD=1，
答：OE 的长度为 1．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角
形三线合一的性质，本题中求得E 为OD 的中点是解题的关键．
23．已知，如图1，BD 是边长为1 的正方形ABCD 的对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E，
延长BC 到点F，使CF=CE，连接DF，交BE 的延长线于点G．
（1）求证：△BCE
DCF
≌△
；
（2）求CF 的长；
（3）如图2，在AB 上取一点H，且BH=CF，若以BC 为x 轴，AB 为y 轴建立直角坐标系，问在
直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出
所有符合条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．
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【考点】四边形综合题．
【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS 即可证得△BCE
DCF
≌△
；
（2）通过△DBG
FBG
≌△
的对应边相等知BD=BF=
；然后由CF=BF
BC=
﹣
即可求得；
（3）分三种情况分别讨论即可求得．
【解答】（1）证明：如图1，
在△BCE 和△DCF 中，
，
BCE
DCF
∴△
△
≌
（SAS）；
（2）证明：如图1，
BE
∵
平分∠DBC，OD 是正方形ABCD 的对角线，
EBC=
∴∠
DBC=22.5°
∠
，
由（1）知△BCE
DCF
≌△
，
EBC= FDC=22.5°
∴∠
∠
（全等三角形的对应角相等）；
BGD=90°
∴∠
（三角形内角和定理），
BGF=90°
∴∠
；
在△DBG 和△FBG 中，
，
DBG
FBG
∴△
△
≌
（ASA），
BD=BF
∴
，DG=FG（全等三角形的对应边相等），
BD=
∵
=
，
BF=
∴
，
CF=BF
BC=
∴
﹣
1
﹣；
（3）解：如图2，∵CF=
1
﹣，BH=CF
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BH=
∴
1
﹣，
①当BH=BP 时，则BP=
1
﹣，
PBC=45°
∵∠
，
设P（x，x），
2x
∴
2=（
﹣1）2，
解得x=2﹣
或﹣2+
，
P
∴（2﹣
，2﹣
）或（﹣2+
，﹣2+
）；
②当BH=HP 时，则HP=PB=
1
﹣，
ABD=45°
∵∠
，
PBH
∴△
是等腰直角三角形，
P
∴（
﹣1，
﹣1）；
③当PH=PB 时，∵∠ABD=45°，
PBH
∴△
是等腰直角三角形，
P
∴（
，
），
综上，在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合
条件的P 点坐标为（2﹣
，2﹣
）、（﹣2+
，﹣2+
）、（
﹣1，
﹣1）、（
，
）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角
形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
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