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【截长补短在正方形中的应用】题集【B】
典型例题
【典型例题】：
已知：如图，正方形
中，
平分
，
是
直线上一点，
求证：
【分析】：
从图上观察，发现
直线上已有两个垂直，很像我们熟悉的一线三垂直，所以试着过点
作
，如图，分析下来，条件不够，没办法证明
与
全等
【思考1】：
那这道题该怎么解呢？大家注意到
平分
这个条件了吗？我们怎么利用它呢？
【探究】：
想要证明
，我们还是应该构造包含这两条边的三角形全等，
图中现成的
中由
平分
知
，
所以，我们要想到另外构造的三角形也有
，
这时我们利用截长补短的办法，截取一个等腰直角角三角形就可以解决问题了
辅助线：在
上截取
，连接
，则
2
【思考2】：
当点
在
延长线上时，还会有
吗？
≌
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 已知，
为正方形
的边
上一点，
交
于点
．
如图，求证：
．
如图，将线段
向右平移
个单位长度，得到线段
，连接
．求证：
平分正方形
的外角
．
如图，若
为
的中点，射线
交正方形
的外角平分线
于点
，且
，求
的长．
（1 ）
2. 回答下列问题：
如图，已知点
是正方形
中
边的中点，
，且与
的外角平分线
交于点
．求证：
．
3
（2 ）
（3 ）
图
若
是
上任意一点，如图，
和
是否相等？请说明你的理由．
图
若
是
延长线上任意一点，如图，上述结论是否成立？请说明理由．
图
（1 ）
（2 ）
3. 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等
角、
型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经
验，迅速解决问题．
如图 ，在平面直角坐标系中，四边形
是正方形，且
，点
是线段
延长
线上一点，
是线段
上一动点(不包括点
、
)，作
，垂足为
且
．设
，请你利用基本活经验直接写出点
的坐标 （用含 的代
数式表示）．
x
y
O
图
基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移，当基本
经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的
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负迁移．例如，如果（）的条件去掉“且
，加上交
的平分线于点
”，如图 ，求证：
．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明
过程．
x
y
O
图
4. 如图，四边形
是正方形，点
是边
的中点，
，且
交正方形外角平分线
于点
．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：小强看到图后，很快发现
，这需要证明
和
所在的两个三角形全等，但
和
显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点
是边
的中
点，因此可以选取
的中点
，连接
后尝试着去证
≌
就行了，随即小强写出
了如下的证明过程：
图
证明：如图，取
的中点
，连接
．
图
∵
，∴
．
又∵
，∴
．
∵点
、
分别为正方形的边
和
的中点．
∴
．
又可知
是等腰直角三角形．
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（1 ）
（2 ）
∴
．
又∵
是正方形外角的平分线．
∴
．
∴
≌
．
∴
．
探究：小强继续探索，如图所示，若把条件“点
是边
的中点”改为“点
是边
上的
任意一点”，其余条件不变，发现
仍然成立，请你证明这一结论．
探究：小强进一步还想试试，如图所示，若把条件“点
是边
的中点”改为“点
是边
延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论
是否成立呢？若成立请你完成
证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
