每日一题第2846题(2026年全国高中数学联赛江西预赛填空6)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联江西预赛的填空题的第6题，难度中等。

题干中给出了数列an的递推式，又给出了首项，但显然是没办法通过递推求通项的，再结合最后要求的高斯取整，所以肯定要考虑对式子进行放缩，那么an的范围肯定先预估一下，这个比较简单，得到an递减，并且在(1,2]之间。

并且还要注意题干中的递推式，两边平方整理之后，有一个显然的后一项n(a_(n+1))^2减前一项(n-1)(an)^2的形式，所以多半要考虑累加。同时要求的累加式子没有办法根据递推式构造一个an/n出来，所以应该要考虑得到一个an更精确的范围，然后代入到an/n里面放缩。

当然，在有了1<an≤2之后肯定先简单放一下，会有1/n^2的形式，在放成<的时候会变成1/(n-1)n，所以在这个方向把1单独拿出来，从第二项开始放，得到最终式子小于6。

另外一边的>方面，直接用an>1不行，还需要更精确的范围，所以尝试刚才累加的思路，得到前n项和为n(a_(n+1))^2，那么应该>n，最后还是变成了an>1，不行。所以尝试从第二项开始放，得到(a_(n+1))^2>(n+1)/n，也就是从第三项开始，就有了(an)^2/n^2>1/(n-1)n，刚好又可以裂项了，再算一下第二项和第三项，刚好能得到>5。