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高考模拟卷05-新题型 数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a＋a，k＝a＋a，则m与k的大小关系是（ ）
5 6 4 7
A．m>k B．m＝k C．m<k D．m与k的大小随q的值而变化
【答案】C
【分析】首先根据条件判断出 ， 且 ，然后做差 ，即可得出结论．
【详解】解：
， ．
故选： ．
2．设 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点．若 ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由抛物线方程求出点 的坐标 ，准线方程为 ，再由 可求得点 的横坐标为
4，从而可求出点 的纵坐标，进而可求出 的面积
【详解】由题意可得点 的坐标 ，准线方程为 ，
因为 为抛物线上一点， ，
所以点 的横坐标为4，
当 时， ，所以 ，所以 的面积为 ，
故选：D
3．某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一
个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（ ）
A．20 B．25 C．40 D．50
【答案】A
【分析】直接利用分层抽样，即可计算.
【详解】因为学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，
所以应抽取博士生的人数为 ．
故选：A
4．设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
【答案】B
【详解】试题分析：对应A， ，则 可能平行，可能相交，故错误；对应C，
，则 垂直；对D， ， ，则 与 可能平行，可能相交，可能在平面内；对应B垂直于同
一条直线的两个平面平行，正确，故答案为B.
考点：空间中直线与平面，平面与平面的位置关系.
5．已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1，2，3，4的4个大小相等、形状相同的小球，小明从袋子
中有放回地取三次球，每次只取一个球，若三次取出的球的编号相乘的结果为偶数，相加的结果为奇数，
则不同的取球方法共有（ ）
A．8种 B．16种 C．24种 D．48种
【答案】C
试卷第2页，共15页【分析】根据三次取出球的编号相乘的结果为偶数，相加的结果为奇数，得到两次取出的球的编号为偶数，
一次取出的球的编号为奇数求解.
【详解】因为三次取出球的编号相乘的结果为偶数，相加的结果为奇数，
所以两次取出的球的编号为偶数，一次取出的球的编号为奇数，
所以不同的取球方法共有 （种），
故选：C．
6．整数 除以7，所得余数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】D
【分析】 ,然后用二项式定理展开即可得出答案.
【详解】
,
前六项均能被7整除，所以 除以7余6.
故选：D.
7．已知 ，动点 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 求出 点轨迹方程得其轨迹是圆， ，由此
求出 的最小值即可得．
【详解】设 ，由 得 ，化简得 ，
所以 点轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
，
显然当 是线段 与圆的交点时， 为最小值．
所以
故选：D．
8．已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，A是椭圆上一点，则 的周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【分析】设椭圆的左焦点为 ，由题可知 ， ，利用 ，即
可得出．
【详解】解：如图所示设椭圆的左焦点为 ，则 ，
则 ， ， ，
试卷第4页，共15页的周长
，当且仅当三点B， ，A共线时取等号．
的周长最大值等于20．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 与 是共轭复数（虚部均不为 ），下列结论中一定正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设 ， ，根据复数四则运算、模长运算依次判断各个选项即可.
【详解】设 ， ，
对于A， ， ，
当 时， 与 无法比较大小，A错误；
对于B， ， ，
，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D， ，
当 时， ，D错误.
故选：BC.
10．已知函数 的最大值为 ，则下列结论正确的是（ ）A．函数 的最小正周期为
B．
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在区间 内有两个不同实根
【答案】BD
【分析】利用三角恒等变换化简 ，求出最大值，根据最大值为 确定 的
值，然后利用正弦型函数的性质依次判断即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
又 的最大值是 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以选项A错误，B正确；
由于 ，
因为 ，
所以函数 的图象关于点 对称，所以选项 错误；
当 时， ，由 ，
即 ，求得 或 ，所以选项D正确．
故选：BD．
11．已知函数 的定义域为 ，则（ ）
A． B．
试卷第6页，共15页C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】ABC
【分析】 求得 ，判断A，再令 求得 ，从而令 ，可得 ，判断
B，已知等式变形为 ，令 ，则
，由赋值法得 是奇函数，判断C，再计算出 ，判断D．
【详解】令 ，可得 ，故A正确；
令 ，可得 ，令 ，可得 ，则 ，故B正确；
由 ，可得 ，令 ，则
，令 ，可得 ，令 ，则 ，所以 是
奇函数，即 是奇函数，故C正确；
因为 ，所以 不是偶函数，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ， 且 则实数 的范围是 .
【答案】
【分析】根据集合之间的关系列出不等式组.
【详解】解：由题意得：
所以实数 的范围是 .故答案为：
13．在正三棱锥 中，点D在棱 上，且满足 ， ，若 ，则三棱锥
外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，证明 两两垂直，将此三棱锥外接球问题转化为长方体的外接球求解作
答.
【详解】在正三棱锥 中，取 的中点E，连接 ， ，如图，
由 ， ，得 ， ，又 ， 平面 ， ，
则 平面 ，而 平面 ，于是 ，又 ， , 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ，从而 ， ，且 ，
由 ，得 ， ，由于 两两垂直，
则以 为棱的长方体与三棱锥 有相同的外接球，
于是三棱锥 外接球的半径为 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
故答案为：
14．在△ 中，角 所对的边分别是 ，若 ， ，
则 的最小值为 ．
【答案】12
【分析】利用正弦定理及和角公式可得 ，再结合条件及正弦定理可得 ，然后利用余弦定理
及基本不等式即求.
【详解】∵在△ 中，角 所对的边分别是 ， ，
试卷第8页，共15页∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ， ，
∴ ，
因为 ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ，即 ，当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值为为12.
故答案为：12.
【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把 化为 ，再
利用余弦定理及基本不等式即求.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数 是 的一个极值点.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）.（2）0＜a＜1．
【分析】（1）求导函数，利用 ，可求b的值，进而利用 可得函数 的单调增区间，
可得函数 的单调减区间；（2） 时， 恒成立等价于 ，由此可求a的取值范围．
【详解】（1）求导函数，可得 ，
∵ 是 的一个极值点
∴ ，∴ ，∴ ，
由 得x＞2或x＜1，∴函数 的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；
由 得1＜x＜2，∴函数 的单调减区间为（1，2）.
（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x＝2时，函数f（x）取得最小值， ，
x∈[1，+∞）时， 恒成立等价于 ， ，
即 ，
∴0＜a＜1．
16．（15分）
为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为
45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站
时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.
（1）根据已知条件完成下面的 列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有
关；
非网购达人 网购达 总计
试卷第10页，共15页人
男
女 10
总计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的
“网购达人”的人数为X，求X的分布列、数学期望 和方差 .
参考公式： ，其中 .
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析， ， .
【解析】（1）根据频率分布直方图可得相关数据填入列联表中，再利用卡方系数的计算公式，即可得答
案；
（2）由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为 ，
将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为 ，且X服从二项分布，利
用公式可求数学期望 和方差 .
【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“网购达人”有
（人）.
补充完整的 列联表如下：
网购达
非网购达人 总计
人
男 30 15 45女 45 10 55
合计 75 25 100
所以有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关.
（2）由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为 ，
将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为 .
由题意知 ，
从而X的分布列为
X 0 1 2 3
P
由二项分布的数学期望与方差公式得
，
，
【点睛】本题考查统计中的频率分布直方图和二项分布的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，
考查逻辑推理能力、数据处理能力，求解时注意确定概率模型是解题的关键.
17．（15分）
如图， 为多面体，平面 与平面 垂直，点 在线段 上， ， ，
△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．
（1）证明直线 ；
（2）求棱锥 的体积.
试卷第12页，共15页【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行得到 ， ，得到 是 的中点，同理 是
的中点，利用三角形的中位线平行于底边，得证；（2）利用三角形的面积公式求出底面分成的两个三
角形的面积，求出底面的面积，利用两个平面垂直的性质找到高，求出高的值，利用棱锥的体积公式求出
四棱锥的体积．
【详解】（1）证明：设 是线段 与线段 延长线的交点，
由于 与 都是正三角形，所以 ，
同理，设 是线段 与线段 延长线的交点，有 ，
又由于 与 都在线段 的延长线上，所以 与 重合，
在 和 中，由 ， 和 ，
可知 ， 分别是 ， 的中点，所以 是 的中位线，故 .
（2）由 ， ， ，知 ，
而 是边长为2的正三角形，故 ，
所以 ，
过点 作 ，交 于点 ，
由平面 平面 ， 就是四棱锥 的高，且 ，
所以【点睛】本题考查证明两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行、三角形的中位线平行于底边、
考查平面垂直的性质定理、棱锥的体积公式，属于中档题.
18．（17分）
已知点 为圆 上一点， 轴于点 ， 轴于点 ，点 满足 （ 为坐
标原点），点 的轨迹为曲线 .
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）斜率为 的直线 交曲线 于不同的两点 、 ，是否存在定点 ，使得直线 、 的斜率之
和恒为0.若存在，则求出点 的坐标；若不存在，则请说明理由.
【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ）存在， 或
【分析】（Ⅰ）设 ， ,由 将 用 表示，然后将 代入 ，
化简即可得到结果；
（Ⅱ）假设存在定点 满足题意，设 ， ，斜率为 的直线 的方程为 ，
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和斜率和为0恒成立，可得结果.
【详解】（Ⅰ）设 ， ，
则 ， ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，
试卷第14页，共15页又 在圆 上，
所以 ，即 .
（Ⅱ）假设存在定点 满足题意，设 ， ，斜率为 的直线 的方程为 ，
则 ，得 ，，
所以 ，解得
又 ， ，
因为 ，
所以 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则 ，
所以 对任意的 恒成立，所以 ，解得 或 ，
所以存在定点 或 ，使得 、 的斜率之和恒为0.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示，考查了代入法求曲线的轨迹方程，考查了韦达定理，
考查了斜率公式的应用，考查了字母运算能力，属于中档题.
19．（17分）
已知集合 ，集合 ， … （ ， ）都是集合A的子集．如图，作m
行 列数表，其中第k行第l列的数为 ．
1 2 …
…
…
… … … … …
…
记 ， ；
， ；
对于m，n和 ，若存在集合 ， … 满足下列条件：
① ；
② ；
③对任意的 ， 的元素个数均为t．
则称有序数组 是相容的．
试卷第16页，共15页（1）求出所有相容的有序数组 ；
（2）若 是相容的，请直接给出t的值，并给出一个满足条件的数表．
（3）求出所有相容的有序数组
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）不存在有序数组.
【分析】(1)由题知每个集合中的元素个数为n, 时，集合与集合的交集为空集，故可得解.
(2)由题知数表是4行6列的表，每个集合的元素个数为3，即每行有三个数为1，故数表中所有数的和为
12，故每列的和为2，即可得解.
(3) 由题知数表是m行2n列的表，每个集合的元素个数为n，即每行有n个数为1，故数表中所有数的和
为mn，故每列的和为 ，假设数表的第一行的前n列都为数字1，因为第一个集合与每一个集合交集的个
数为2，故从n个元素中选出两个元素有多少种选择，下面就有多少行; 表左半部分按行算出数的和等于按
列算出的和，由此得解.
【详解】（1） ，则 ， 中每个集合中都有 个元素.
， 当 时， ，不妨设， ，
则 ，且 ，因为A有两个子集，所以 ， .
（2）当t=1时的数表
1 2 3 4 5 6
A1 1 1 1 0 0 0
A2 0 1 0 1 1 0
A3 0 0 1 0 1 1
0
A4 1 0 1 0 1
（3）由题意不妨设 , 当 时， 中有两个元素，故
①，又 ，所以 = ，故 ②
由①②得 ，无整数解，故不存在有序数组.
【点睛】本题是定义题， 关键是根据题中条件找到每行每列的信息，并找到m和n的关系.
试卷第18页，共15页
