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【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教
版）
【单元测试】第二十二章 二次函数
（综合能力拔高卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有 10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数
进行分析．
【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；
B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C.是二次函数，故此选项正确；
D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若
是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个
关键条件．
2．关于二次函数 的图象，下列结论正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点纵坐标是－3 D．当 时，函数值随 值的增大而增大
【答案】C
【分析】根据a=2>0，得出图象的开口向上，可判定A；将解析式化成顶点式为，可得出图象的对称轴是直线x=1，可判定B；由顶点式得出图象的顶点纵坐
标是－3，可判定C；由抛物线图象的开口向上，对称轴是直线x=1，可得当 时，函数值随 值的增大
而增大，可判定D．
【详解】解：A、∵ ，
∴a=2>0，
∴图象的开口向上，故本选项错误不符合题意；
B、∵ ，
∴图象的对称轴是直线x=1，故本选项错误不符合题意；
C、∵ ，
∴图象的顶点纵坐标是－3，故本选项正确符合题意；
D、∵ ，
∴a=2>0，
∴图象的开口向上，图象的对称轴是直线x=1，
∴当 时，函数值随 值的增大而增大，故本选项错误不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，主要考查学生的观察能力和理解能力，用了数形结合思想．
3．如图所示是二次函数 的图象，以下结论：① ；② ；③
的两个根是 ， ；④ ，其中正确的是（ ）
A．③④ B．①② C．②③ D．②③④
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知： ， ，
由对称轴可知： ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
②由对称轴可知： ，
∴ ，
∵抛物线过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③由对称轴为直线 ，抛物线过点 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∴ 的两个根是 ， ，故③正确；
④由图象可知，当 时， ，
∴ ，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属
于中等题型．
4．二次函数 的部分图像如图所示，可知方程 的所有解的积为（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．－5
【答案】D【分析】根据抛物线对称轴的定义以及抛物线图象来求该抛物线与x轴的两个交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知对称轴为 ，与x轴的一个交点横坐标是5，
∵交点到对称轴的距离是3个单位，
∴另外一个交点的横坐标是﹣1，
∴ .
故选：D.
【点睛】此题考查了抛物线与x轴交点，抛物线与x轴两个交点关于对称轴对称是解题关键．
5．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，她与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣4和3，下列判断中：①a
＞0；②abc＜0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤a＝b．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向可判断①，由抛物线经过（﹣4，0），（3，0）可得抛物线对称轴，从而可
得a与b的关系，再由抛物线与y轴交点位置可得c＜0，从而判断②③⑤，由抛物线与x轴有2个交点可
判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线经过（﹣4，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ，
∴b＝a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴①正确，②正确，⑤正确．
∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，③正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．掌握二次函数与方程及
不等式的关系．
6．抛物线 的部分图象如图所示，若 ，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，
写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x轴两个交点的坐标
是解题的关键．
7．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三
点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运
行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得 ，
解得6＜x＜9，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
8．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运
动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s后，速度越来越快
③小球抛出3s时速度为0 ④小球的高度 时，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是 ；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为： ，
把 代入得 ，解得 ，
∴函数解析式为 ，
把 代入解析式得， ，
解得： 或 ，
∴小球的高度 时， 或 ，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
9．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离
为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4 米 B．10米 C．4 米 D．12米
【答案】B
【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线
的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y
＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣ x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键．
10．二次函数 （a、b、c是常数，且 ）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当 时，对应的函数值 ．有以下结论：
① ；② ；③关于x的方程 的负实数根在 和0之间；
④ 和 在该二次函数的图象上，则当实数 时， ．其中正确的结论是
（ ）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；
②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当 时，对应的函数值 ，即可表示出
m+n的取值范围；
③根据点（1，2）与当 时，对应的函数值 可知方程 的正实数根在1和2之间，结
合抛物线的对称性即可求出方程 的负实数根的取值范围；
④分类讨论，当 在抛物线的右侧时， 的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有 ，求出对应的t即可；当 与 在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当 的横坐标到对称轴的距离小于 到对称
轴的距离时满足 ，求出对应的t即可．
【详解】解：①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得： ，则a、b互为相反数，
∴ ，故①错误；
②∵a、b互为相反数，
∴将x=-1与x=2代入解析式得： ，
则： ，
∵当 时，对应的函数值 ，
∴ ，即： ，
∴ ．
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为：直线 ，函数过点（1，2）且当 时，对应的函数值 ，
∴方程 的正实数根在1和 之间，
∴结合抛物线的对称性可得关于 的方程 的负实数根在 和0之间．
故③正确；
④∵函数过点（1，2）且当 时，对应的函数值 ，抛物线的对称轴为：直线 ，
∴可以判断抛物线开口向下，
∵ 在抛物线的右侧时， 恒在抛物线的右侧，此时 恒成立，
∴ 的横坐标大于等于对称轴对应的x，即 ，解得 时 ；
∵当 与 在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当 的横坐标到对称轴的距离小于 到对称轴的距离时满足 ，即当 且 时，满足 ，
∴当 时，即 与 在抛物线的异侧时满足 ， ，
∴综上当 时， ．
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛
物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题．
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
11．如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于A， 两点 ，则该抛物线的
解析式是____．
【答案】
【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为 ，根据 ，可得点A、B的坐
标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
【详解】当 时， ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
将 ， 代入 得，，
解得 ，
∴该抛物线的解析式是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键．
12．如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)， ，则方程
的解是______．
【答案】 ，
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知，关于x的方程 的解，就是抛物线 （a≠0）与直线
（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标，
即 ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识，学会利用图象法解决实际问题．
13．如图，二次函数 的图像过点(－1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(－3， )、点B( )、点C( )在该函数图像上，
则 ：⑤若方程 的两根为 ，且 ，则 其中正确的结论有
__________． (只填序号)
【答案】①②③⑤
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：①由对称轴可知：x＝− ＝2，
∴4a＋b＝0，故①正确；
②由图可知：x＝−3时，y＜0，
∴9a−3b＋c＜0，
即9a＋c＜3b，故②正确；
③令x＝−1，y＝0，
∴a−b＋c＝0，
∵b＝−4a，
∴c＝−5a，
∴8a＋7b＋2c
＝8a−28a−10a
＝−30a
由开口可知：a＜0，
∴8a＋7b＋2c＝−30a＞0，故③正确；
④由抛物线的对称性可知：点C关于直线x＝2的对称点为（ ，y），
3∵−3＜− ＜ ，
∴y＜y＜y
1 2 3
故④错误；
⑤由题意可知：（−1，0）关于直线x＝2的对称点为（5，0），
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋1）（x−5），
令y＝−3，
∴直线y＝−3与抛物线y＝a（x＋1）（x−5）的交点的横坐标分别为x，x，
1 2
∴x＜−1＜5＜x
1 2
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于
中等题型．
14．如图，抛物线 的对称轴为 ，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为
，则关于x的一元二次方程 的解为__________．
【答案】
【分析】根据函数的对称轴和点P的坐标可以得出与x轴的另一交点坐标，从而得出结论．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，坐标为（4，
0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（−2，0），
∴关于x的一元二次方程 的解为： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
15．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐
标系，拱桥对应抛物线的解析式为______．
【答案】 （或 ）
【分析】根据题意以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，即可求出解析式．
【详解】解：以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，
由题意得A（-4，0），顶点（-2，2），
设抛物线的解析式为：
把A（-4，0）代入，得
4a＝﹣2，解得a ，
所以抛物线解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意建立平面直角坐标系．
16．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示，所
用的篱笆长为32米．请问当垂直于墙的一边的长为____米时，花圃的面积有最大值，最大值是____．
【答案】 8 128平方米##128m2
【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32-2x) 米，根据矩形的面积公式列出关于x
的二次函数，然后求出面积的最大值，即可求解．【详解】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32 - 2x)米，设矩形的面积为S，则S 关于x
的函数关系式为：
S= (32 - 2x)x
=-2x2+ 32x
=-2(x-8)2+ 128，
当x = 8时，S有最大值，最大面积为128；
（当垂直于墙的一边长为8米，则平行于墙的一边长为32-2x=16米，符合题意）
∴当垂直于墙的一边的长为8米时，S有最大值128平方米．
故答案为：8；128．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，
列出二次函数，利用二次函数的性质求解．
17．二次函数 （a，b，c是常数， ）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
… －2 －1 0 1 2 …
… －2 －2 …
且当 时，与其对应的函数值 ，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②－2和3是关
于 的方程 的两个根；③ ，其中正确结论的是____________（填正确的序号）．
【答案】①②##②①
【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可判断；②根据二次函数的对称
性即可判断；③根据抛物线的对称轴确定a与b的关系式，再根据已知条件求出a的取值范围即可判断．
【详解】解：①根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x＝ ，c＝﹣2，
∵当x＝﹣ 时，与其对应的函数值y＞0，
在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴a＞0，b＜0，∴函数图象的顶点在第四象限内；①正确；
②根据二次函数的对称性可知：
（﹣2，t）关于对称轴x＝ 的对称点为（3，t），
即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，②正确；
∵对称轴为直线x＝ ，
∴﹣ ，
∴b＝﹣a，
∵当x＝﹣ 时，与其对应的函数值y＞0，
∴ a﹣ b﹣2＞0，即 a+ a﹣2＞0，
∴a＞ ．
∵对称轴为直线x＝ ，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，m）（2，n），
∴m＝n，当x＝﹣1时，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，
∵a＞ ．
4a﹣4＞ ，③错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以
及二次函数的性质，解决本题的关键是从表格中获得正确信息，准确进行推理判断．
18．如图，曲线AB是抛物线 的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线
BC是双曲线 的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组
“波浪线”．那么 ______；若点 ， 在该“波浪线”上，则m的值为______，n的最大
值为______．【答案】 5 4 5
【分析】根据 确定点B(1，5)，代入反比例函数解析式解困确定k值；根据
平移规律，确定点 在抛物线上，且与 的纵坐标相同，根据“波浪线”的最高值为5，确定
n的最大值为5．
【详解】解：∵ ，
∴点B(1，5)，代入 ，
解得k=5；
根据平移规律，确定点 在抛物线上，且与 的纵坐标相同，
∴m= ，
∵抛物线的最大值为5，
∴n的最大值为5，
故答案为：5；4；5．
【点睛】本题考查了抛物线与反比例函数的综合，平移规律，熟练掌握抛物线的性质和反比例函数的性质
是解题的关键．
三、解答题（本大题共有6小题，共46分；第19-20小题每小题6分，第21-22小题每小题
7分，第23小题8分，第24小题10分）
19．在平面直角坐标系内，二次函数 的图象经过点 和 ．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求出二次函数的顶点坐标；
(3)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点，请在图中直接画出平移
后的二次函数的大致图象，并写出平移后的图象与 轴的另一个交点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)图见解析，
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
（3）先求出原抛物线与x轴的交点，再根据平移的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把点 和 的坐标代入，
得
解这个方程组，得
∴二次函数表达式为 ．
（2）解∶ ．
∴二次函数的顶点坐标是 ．（3）解：当 时，
∴如图，抛物线与 轴的交点坐标为 ，
∴将二次函数图象向右平移一个单位，可以使图象经过原点，平移后的图象如图．此时 的坐标是 ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的
关键．
20．如图，抛物线 与X轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接
BC，点D为抛物线对称轴上一动点．
(1)求直线BC的函数表达式；
(2)连接OD，CD，求 周长的最小值；
(3)在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，
请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)(3)存在，点 或
【分析】（1）先求出点 ，点 坐标，用待定系数法可求解析式；
（2）由 周长＝ ，可得 有最小值时， 周长的存在最小值，作点 关于对
称轴 ＝ 的对称点 ，当点 ，点 ，点 共线时， 的值最小，最小值为 的长，即
可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解：当 ＝ 时， ＝ ，则点 ，
当 ＝ 时， ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴点 ，点 ，
设直线 解析式为： ＝ ，．
∴
∴
∴直线 解析式为： ；
（2）解：∵ ，
∴对称轴为 ＝ ，
∵ 周长＝ ＝ ，
∴ 有最小值时， 周长的存在最小值，
作点 关于对称轴 ＝ 的对称点 ，
∴ ＝ ，
∴当点 ，点 ，点 共线时， 的值最小，最小值为 ，
∵∴ 周长的最小值为 ；
（3）解：∵以 、 、 、 为顶点的四边形是以 为边的平行四边形，
∴ ＝ ，或 ＝ ，
∴ ＝ ，或 ＝
∴ ＝ 或 ，
∴点 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，函数图像上点的坐标特征，轴对称的性质，
平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
21．如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴
对称．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B．
（1）求二次函数与一次函数的表达式．
（2）根据图象，写出满足(x+2)2≥kx+b－m的x的取值范围
【答案】（1）y=(x+2)2－1，y=－x－1；（2）x≥－1或x≤－4
【分析】（1）用待定系数法可求得二次函数的解析式；由轴对称的性质可求得点B的坐标，用待定系数
法可求得一次函数的解析式；
（2）将不等式移项可知，满足 的 的取值范围即是二次函数大于一次函数的 的取值
范围，根据图像和（1）中的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线 经过点 ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∴点C坐标 ，
∵对称轴 ，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标 ，
∵ 经过点A、B，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
即二次函数大于一次函数，
由图像可得， 的取值范围为： 或者 ．
【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，
学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．
22．已知二次函数 的图像与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，顶点
为 ．（1）求点 、 、 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像；
（2）设一次函数 的图像经过 、 两点，请直接写出满足 的 的取值范围．
【答案】（1） ， ， ，见解析；（2）
【分析】（1）令y=0时，则有 ，然后进行求解即可得到点A、B的坐标，进而把函数解析式
配成顶点式即可得到点D的坐标，最后依据五点法进行作图即可；
（2）由题意画出函数图像，然后依据函数图像即可求解．
【详解】解：（1）令y=0时，则有 ，解得： ，
∴ ； ；
由二次函数 可得顶点式为 ，
∴ ，
图像如图所示：
（2）由题意画出直线 的图像，如图所示，则由图像可得：当 时， ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
23．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本
价格为6元/ ，每日销售量 （ ）与销售单价 （元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数
据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/ ．设公司销售板栗的日获利为 （元）．
（元/ ） 7 8 9
（ ） 4300 4200 4100
(1)请求出日销售量y与销售单价 之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利 最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利 不低于42000元？
【答案】(1) ；
(2)销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
(3)当 时，日获利w不低于42000元
【分析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
(3)由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代
入得： ，解得： ，∴y＝﹣100x+5000；
（2）解：由题意得：w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）＝﹣100x2+5600x﹣30000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．∵6≤x≤30，∴当x＝28时，w有最大值为48400元∴当销售单价定
为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）解：当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，∴x＝20，x＝36， ∵a＝﹣100＜0，
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∴当20≤x≤36时，w≥42000，又∵6≤x≤30，∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函
数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
24．规定：若抛物线 与抛物线 ．同时满足 且 ，则称
这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
(1)已知抛物线 与 是一对共轭抛物线，求 的解析式；
(2)如图1，将一副边长为 的正方形七巧板拼成图2的“奖杯”形式，若以 中点为原点，直线 为
x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为 ，经过A、B、C的抛物线为 ，请求出 、
的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．
【答案】(1) = ；
(2) 与 ； 、 为一对共轭抛物线．
【分析】（1）分别把y 与y 的解析式化成顶点式，然后根据共轭抛物线的定义求出a、b、c，即可得解；
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（2）根据七巧板的性质和已知条件可以写出A、B、C、D、E的坐标，然后利用待定系数法可以求得 、
的解析式并判断出它们是否为一对共轭抛物线．
【详解】(1)分别把y 与y 的解析式配方可得：
1 2
， ，根据共轭抛物线的定义可得：
解之可得：
∴ 的解析式为： = ；
(2)根据七巧板的性质和已知条件可以得到：
A（-2，3）、B（-1，0）、C（1，0）、D（2，3）、E（0，4），
设 、 的解析式分别为：
与 ，
则由题意可得：
、 ，
∴ ， ，
∴ 、 的解析式分别为：
与 ，
又由上可得： 、 ，
∴ 、 为一对共轭抛物线．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，通过配方把二次函数一般式化为顶点式、新定义的实践与应用、归纳与类比、七巧板中正方形、等腰直角三角形的性质，
勾股定理的应用是解题关键．
