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2.6 应用一元二次方程
第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程
教学目标：
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解
问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程：
一、 情境问题
问题1、一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？
（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系：
矩形的长 × 矩形的宽 = 矩形的面积，
可以列出方程求解。
解：
问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，
点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间
（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?
解：
D C
Q
A B
P
问题3．（教材例题）如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方
向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于
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小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速
直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛D和小岛F相距多少海里?
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船
航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）
A
D
B E F C
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分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可
求，因此由勾股定理便可求DF的长．
（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
解：（1）连结DF，则DF⊥BC
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．
∴AC= AB=200 海里，∠C=45°
∴CD= AC=100 海里
DF=CF， DF=CD
∴DF=CF= CD= ×100 =100（海里）
所以，小岛D和小岛F相距100海里．
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2=1002+（300-2x）2
整理，得3x2-1200x+100000=0
解这个方程，得：x=200- ≈118.4
1
x=200+ （不合题意，舍去）
2
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．
二、练一练
1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是
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800 cm2的矩形框子吗？
解：
2、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，
点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？
解：
D C
Q
A B
P
三、课后自测：
1、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s
的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距
离是10cm？
A D
P
Q
B C
2、如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程
中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
C
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E
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A D B优秀领先 飞翔梦想
3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海
里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航
向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追
上时的位置）？
北
A B
东
O
4、如图，把长AD=10cm，宽AB=8cm的矩形沿着AE对折，使D点落在BC边的F点上，求DE的长。
A D
E
B C
F
5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方
形花圃。
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
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a
A D
B C
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