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2．6 应用一元二次方程
第 1 课时 几何问题及数字问题与一元二次方程
1．掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题，并能根据具体问题的实际意义，检验
结果的合理性；(重点、难点)
2．理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角
度提出问题、分析问题，并能运用所学的知识解决问题．
一、情景导入
要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同
的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边
衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
二、合作探究
探究点一：利用一元二次方程解决几何问题
【类型一】 面积问题
要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．设计方案如图所示，
矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块
绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米．
第 1 页 共 3 页根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×，
解得x＝10，x＝30.
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检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，所以x＝30不符合题意，舍去，故x
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＝10.
故P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米．
易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值
是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30
时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长
60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x＝30不符合题意．
【类型二】 动点问题
如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分别从点A，
C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B运动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移
动，点P停止运动时点Q也停止运动．
(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?
(2)P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm?
解：(1)设P，Q两点从出发开始xs时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据题意得PB＝
AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm.
故(2x＋16－3x)×6＝33，解得x＝5.
故P，Q两点从出发开始5s时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(2)设P，Q两点从出发开始xs时，点P和点Q的距离是10cm.
如图，过Q点作QM⊥AB于点M，则BM＝CQ＝2xcm，故PM＝(16－5x)cm.
在Rt△PMQ中，PM2＋MQ2＝PQ2，
∴(16－5x)2＋62＝102.解得x＝，x＝.
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∵所求的是第一次满足条件的时间，∴x＝.
故P，Q两点从出发开始s时，点P和点Q的距离第一次是10cm.
方法总结：解决动态几何问题的关键是寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，寻找
等量关系列方程．对于动点问题，常先假设出点的位置，根据面积或其他关系列出方程，如果
方程的根符合题目的要求，就说明假设成立，否则，假设不成立．
探究点二：利用一元二次方程解决数字问题
有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换位置后，得到新的两位数，比
这两个数字的积还大38，求这个两位数．
解析：这是一个数字排列的问题，题中有两个等量关系，由前一个等量关系知，个位数字
与十位数字均可用同一个未知数表示，这样交换位置后的新两位数也可以用上述未知数表
示出来，然后根据后一个等量关系可列方程求解．
解：设个位数字为x，则十位数字为14－x，两数字之积为x(14－x)，两个数字交换位置后
的新两位数为10x＋(14－x)．
第 2 页 共 3 页根据题意，得10x＋(14－x)－x(14－x)＝38.
整理，得x2－5x－24＝0，解得x＝8，x＝－3.
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因为个位数上的数字不可能是负数，所以x＝－3应舍去．
当x＝8时，14－x＝6.
所以这个两位数是68.
方法总结：(1)数字排列问题常采用间接设未知数的方法求解．(2)注意数字只有0，1，2，
3，4，5，6，7，8，9这10个，且最高位上的数字不能为0，而其他如分数、负数根不符合实际意
义，必须舍去．
三、板书设计
几何问题及数字问题
经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型解决问题的过程，认识方程模型的重要
性.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.经历探索
过程，培养合作学习的意识.体会数学与实际生活的联系，进一步感知方程的应用价值.
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