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北京一零一中 2022-2023 学年度第二学期高三数学统练三
一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解法可得 ，从而由集合的交集运算可求得结果.
【详解】根据题意， ，则 .
故本题正确答案为C.
【点睛】本题考查集合的基本运算和简单不等式的解法，认真计算是关键，属基础题.
.
2 已知向量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．
【详解】解：∵向量 ，
，
则m=6，
故选：C.
【点睛】方法点睛：判断向量 垂直或平行的方法：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 .3. 已知m，n为两条不同直线， ， 为两个不同平面，那么使 成立的一个充分条件是（ ）
A. ， B. ，
C. ， ， D. m上有不同的两个点到 的距离相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与平面，平面与平面的关系可得.
【详解】对于A项， ， 则可能 ，故A不正确；
对于B项， ， 则可能 ，故B不正确；
对于C项， ， ， ，则 ，故C正确；
对于D项，m上有不同的两个点到 的距离相等，则可能 与 相交
故选：C
4. 已知 ， ，复数 和 在复平面内对应的点分别为A、B，则线段AB长度为（
）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求出 及 ，根据复数的几何意义求出A、B，根据两点间距离公式即可求
出AB长度.
【详解】 ，
， ，
所以 和 在复平面内对应的点分别为 ， ,所以 .
故选：B.
5. 已知数列{a}满足a＋a ＝ (n∈N*)，a＝2，S 是数列{a}的前n项和，则S 为 ( )
n n n＋1 2 n n 21
A. 5 B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 因 此
， ，选B.
点睛：本题采用分组转化法求和， 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及
符号型（如 ），周期型 （如 ）
6. 设 ，若直线 与圆 相切，则 的取值范围
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线与圆相切的性质可得 ， 的关系式，再借助均值不等式求解能求出 的取值范围．【详解】 ,直线 与圆 相切，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，整理得 ，
，
， ，
解得 或 ，
的取值范围是
故选：D
7. 已知命题p： x∈[1,2],示，ex-a≥0.若 p是假命题，则实数a的取值范围为
A. （-∞，e2] B. （-∞，e] C. [e，+∞） D. [e2，+∞）
【答案】B
【解析】
【详解】命题p: x∈[1,2],使得 .
∀
∴ ，
若￢p是假命题，∴p是真命题，∴a e.
则实数a的取值范围为(−∞,e]. ⩽
故选B.
8. 某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩
统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出
频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 直方图中x的值为0.004
B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10
C. 估计全校学生的平均成绩不低于80分
D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分
【答案】C
【解析】
【分析】由概率总和为1可得 ，由百分位数定义计算80%分位数，由频率分布直方图的频率计算人数，
均值判断各选项．
【详解】由 得 ，A错；
成绩在区间[60，70）的频率为 ，人数为 ，B错；
平均成绩为 ，C正确；
低于90分的频率为 ，设样本数据的80%分位数约为 分，
则 ，解得 ，D错．
故选：C．
9. 已知关于x的不等式 的解集是 ，则下列四个结论中错误的是（ ）
A.
B.C. 若关于x的不等式 的解集为 ，则
D. 若关于x的不等式 的解集为 ，且 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.
【详解】由题意 ，所以 正确;
对于 : ，当且仅当 ，即 时成立,
所以 正确;
对于 ,由韦达定理，可知 ，所以 错误;
对于 ,由韦达定理，可知 ，
则 ，解得 ，
所以 正确,
故选： .
10. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线 围成的平面区
域的直径为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据曲线对称性，利用曲线参数方程表示区域内两点间的距离，再根据二次函数性质求最值得结
果.
【详解】 的参数方程为： （ 为参数）曲线是关于点（0，0）中心对称的图形，
所以曲线 上点（x，y）到原点距离为直径长的一半，
0 0
d＝ ＝ ＝ ＝
当 时，d取得取大值为 ，所以，直径为3，
故选B.
【点睛】本题考查曲线对称性以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.
二、填空题共5小题.
11. 已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则 ________；双曲线
的渐近线方程是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由抛物线方程可得焦点为 ，由题设结合双曲线参数关系求 ，进而根据上曲线方程写出渐
近线方程即可.
【详解】由题设，抛物线焦点为 ，故对于 ，有 ，
∴ ，则 ，故渐近线方程为 .
故答案为： ， .
12. 若 ，则 ___________.
【答案】0
【解析】【分析】先令 ，求出 ，再令 ，得 ，进一步计算得出结果.
【详解】令 ，得 .
令 ，得 ，
则 .
故答案为：0.
13. 函数 则 __________；方程 的解是________.
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】根据解析式直接将自变量代入求 ，讨论 、 结合分段函数解析式分别求出
的解即可.
【详解】由解析式知： ，
因为 ，所以当 ，即 时， ，符合，
当 ，即 时， 符合，
所以 的解是 或1.
故答案为： ， 或14. 若直线 将圆 的圆周分成长度之比为 的两段弧，则实数 的所有可能取
值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设直线和圆相交于 ，则根据较短弧长与较长弧长之比为 得到对应三角形为直角三角形，
利用点与直线的距离建立条件关系即可．
【详解】解：圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
设直线 和圆相交于 ，
若较短弧长与较长弧长之比为 ，
则 ，
则圆心到直线 的距离 ，
即 ，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
15. 如图，在长方体 中， ， ，点 在侧面 上．若点 到
直线 和 的距离相等，则 的最小值是____．【答案】
【解析】
【详解】如图在面AABB 建立P面直角坐标系，设P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）
1 1
∵点P到直线AA 和CD的距离相等， ，即x2=y2+1．
1
∴AP=
1
∴当P（ ，1）时，AP最小为 .故填 .
1
点睛：本题直接解答比较困难，采用坐标法比较简洁易懂，所以方法的选择很关键. 当我们遇到直角三角
形、等腰三角形、矩形、长方体等有垂直关系的几何图形时，可以尝试利用坐标法解答,看是否简洁.
三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 在 中， ， .再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其
能够确定唯一的三角形，求：
（1）a的值；
（2） 的面积.条件①： ；条件②： ；条件③： .注：如果选择多个条件分
别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）选②， ；选③， ；
（2）选②， ；选③， .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理即得；
（2）根据三角形面积公式结合条件即得.【小问1详解】
选条件①： ，
在 中，由余弦定理得， ，
，即 .
解得 或 ，
满足条件的三角形有两个，不符合题意，舍去；
选条件②： 即 ，
在 中，由余弦定理得， ，
，
解得 ；
选条件③： ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 ；
【小问2详解】
选条件②：由题可知 ， ，
所以 的面积 ；
选条件③： ，则 ， ，
所以 的面积 .
17. 我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户
家庭作为样本，获得数据如下表：
A地区 B地区
2019年人均年纯收入超过10000元 100户 150户
2019年人均年纯收入未超过10000元 200户 50户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．
（1）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率；
（2）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年
人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；
（3）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过
10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有
变化？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）概率分布列见解析，期望为 ；（3）可以．
【解析】
【分析】（1）直接由古典概型概率公式计算；
（2） 的可能取值为 ，分别计算出概率后可得分布列，然后由期望公式计算出期望；
（3）根据概率的意义作答．
【详解】（1）由题意所求概率为 ；
（2）由题意 的可能取值为 ，
地区抽取1户，纯收入超过10000元 的概率为 ，
，
，，
分布列为
0 1 2
期望为 ；
（3）如果2020年人均年纯收入超过10000元的户数没有变化，其概率为
，因此发生改变的概率为 ，概率接近于1了，
可以认为2020年人均年纯收入超过10000元的户数有改变．
【点睛】思路点睛：本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望，考查概率的意义．
求分布列时，需要选确定随机变量的可能取值，然后计算出概率，列表得分布列，最后由期望公式可计算
出期望．
18. 如图一所示，四边形 是边长为 的正方形，沿 将 点翻折到 点位置(如图二所示)，使
得二面角 成直二面角. ， 分别为 ， 的中点.
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连结 ，由四边形 是正方形，可知在三棱锥中，
，从而易知 平面 ，进而可证明 ；
（2）由二面角 为直二面角，可知 ，即 ，从而可知
，以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，然后分别求出平面 、平面 的法向量 、 ，进而由 ，可求
出平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
【详解】（1）取 的中点 ，连结 ，
因为四边形 是正方形，所以在三棱锥中， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（2）因为二面角 为直二面角，平面 平面 ，且 ，
，所以 ，即 ，所以 两两垂直.
以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
易知 ，所以 ， ， ， ， ，， ，
则 ， ，
显然平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， ，所以平面 的一个法向量 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查二面角的求法，考查了空间向量法在立体
几何中的应用，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
19. 已知椭圆 的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为
的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线 相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆
恒过点F.【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据焦距和半长轴长都为2，以及椭圆的性质 即可求解；
（2）设出直线l的方程以及P（ ， ），Q ， ），联立 求出韦达定理，令
求出 M（4， ），N（4， ），由 即可证明.
【小问1详解】
由题意得 ，
解得
所以椭圆C的方程为 ；
【小问2详解】
F（1，0），A（-2，0），
设直线l的方程为 ，
由 得
直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交.
设P（ ， ），Q ， ），
则 .直线AP的方程为 ，
令 ，得 ，即M（4， ），
同理，N（4， ），
所以 ，
所以
，
所以以MN为直径的圆恒过点F.
20. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 对于任意的 都成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】【分析】（1）求导可 ，代入x=0，可得斜率k，又 ，即可求导切点坐标，代入点
斜式方程，即可得答案.
（2）解法1：已知等价为对于任意的 ， 都成立. 当 时，检验符合题意，当
时，分离参数可得对于任意的 ， 都成立，设 ，利用导数求得 的单调性
和极小值， 即可得答案.
解法2：设 ，则 ，分别讨论 和 时 的正负，可得
的单调性，进而可得 的值域，即可得 的单调性，分析求解即可得答案.
【详解】解：（1）由题意得： ，
所以切线的斜率 .
因为 ， 即切点为（0,2），
所以切线的方程 .
（2）解法1：由已知，对于任意的 ， 都成立，
即对于任意的 ， 都成立.
当 时， 显然成立.
当 时，对于任意的 ， 都成立.
设 ，则 .
而 .设 ，则 .
由 ，得 在区间 上恒成立，
所以函数 在区间 上是减函数，且 .
所以 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
所以函数 在区间 上是减函数.
.
所以当 时，
所以实数 的取值范围是 .
解法2：设 ，则 .
（1）当 时， ，函数 在区间 上是增函数.
当 时， ，
所以 在区间 上恒成立.
所以函数 在区间 上是增函数.
所以 .
即 对于任意的 都成立.
（2）当 时，令 ，即 ，解得 .
①当 时， ，则 .所以函数 在区间 上是增函数.
当 时， ，
所以 在区间 上恒成立.
所以函数 在区间 上是增函数.所以 .
即 对于任意的 都成立.
②当 时， .
当 变化时， 的变化情况如下表：
+
极小值
所以当 时， .
所以 在区间 上恒成立.
所以函数 在区间 上是增函数.
所以 .
即 对于任意的 都成立.
③当 时， .
所以 在区间 上恒成立.
所以函数 在区间 上是减函数.
因为 ，
所以 ，使 ，即 .
当 变化时， 的变化情况如下表：
0 1+
2 极大值
当 ，即 时， 对于任意 都成立.
所以 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
【点睛】解题的关键熟练掌握利用导数求解单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，对于恒成立问题，
常用分离参数法，得到 ，即求 的最小值即可.若 ，即求 的最大
值即可，属中档题.
21. 在 ）个实数组成的n行n列的数表中， 表示第i行第j列的数，记
， 若 ∈ ，且
两两不等，则称此表为“n阶H表”，记
（1）请写出一个“2阶H表”；
（2）对任意一个“n阶H表”，若整数 且 ，求证： 为偶数；
（3）求证：不存在“5阶H表”.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据定义列出2阶H表即可;
(2) 对“n阶H表”，整数 应用 结论得证;
(3)应用反证法结合定义可证.
【小问1详解】
1 1-1 0
【小问2详解】
对任意一个“n阶H表”， 表示第i行所有数的和， 表示第j列所有数的和 ，
均表示数表中所有数的和，所以
因为 ，所以 ， ，……， ， ， ，……， 只能取[-n，n]内的整数.
又因为 ， ，……， ， ， ，……， 互不相等，
所以{ ， ， ，……， ， ， ，……， ，……，-1，0，1，……， ，
所以
所以 偶数.
【小问3详解】
假设存在一个“5阶H表”，则由（2）知5，-5，3， ，且 和 至少有一个成立，不妨
设
设 ，则 ，于是 ，因而可设
①若3是某列的和，由于 ，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即 .现考虑-3，
只能是 或 ，不妨设 ，即 ，由 ， ， 两两不等知 ， ， 两两
不等，
不妨设 ，若 则 ；若 ，则 ；若 ，
.
则 ，均与已知矛盾②若3是某行的和，不妨设 ，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，
不妨设 ，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设 ， ，
则 ，矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设
是
1，所以 ，第五行只能 2个，3个-1或1个1，4个-1，
则 ， ， 至少有两个数相同，不妨设 ，则 ，与已知矛盾.
综上，不存在“5阶H表”.
