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2021—2022 学年度第二学期高三年级保温测试数学学科试卷
数学试卷
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1. 若集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D. R
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 如图，用向量 表示向量 为（ ）
A. B.
C. D.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是
A. 若 则 B. 若 ， ，则
.
C 若 ， ，则 D. 若 ， ，则6. 已知抛物线 ： 的焦点为 , 是C上一点， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7. 已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于M，N两点，且 ，
则此双曲线的离心率为（ ）
A. 5 B. C. D.
的
8. 已知数列{ } 通项为 ，则“ ”是“ ， ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离
地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，
可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（ ）
A. 10分钟 B. 12分钟 C. 14分钟 D. 16分钟
10. 如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 内的动点，且 与
平面 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）A. 与 不可能平行
B. 与 是异面直线
C. 点 的轨迹是一条线段
D. 三棱锥 的体积为定值
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11. 若点 在函数 的图象上，则 =__________．
12. 已知三点 ， ， ，则 的外心到原点的距离为________．
13. 已知函数 是定义在 上的周期为2的奇函数，当 时， ，则
________
14. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中
的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝ (a为常
数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不高于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至
少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
15. 直线 与抛物线C： 交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记
，其中O为抛物线C的顶点，给出下列命题：
① ，使得 与 平行；
② 且 ，使得 与 垂直；
③ 不可能是等边三角形；
④无论点P在准线上如何运动， 总成立.
其中，所有正确命题的序号是___________.
三､解答题：本大题共6小题，共85分
16. 已知如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD， ， ， ，E
为PB中点，BC//平面PAD.
（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；
（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.17. 已知函数 ，______，求 在 的值域.
从①若 ， 的最小值为 ；
② 两条相邻对称轴之间的距离为 ；
③若 ， 的最小值为 ．
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
18. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40
名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．（规
定成绩不低于90分为“优秀”）
（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率；
（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记
这2名学生中成绩优秀的人数为 ，求随机变量 的分布列；
（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用 分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．
写出方差 ， 的大小关系．（只需写出结论）
19. 已知函数 .（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 时，讨论 的零点个数.
20. 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆 交于 两点的直线 ： ，使得 成
立？若存在，求出实数 的取值范围，若不存在，请说明理由.
21. 有限数列 ： ， ，…， ．（ ）同时满足下列两个条件：
①对于任意的 ， （ ）， ；
②对于任意的 ， ， （ ）， ， ， ，三个数中至少有一个数是数列 中
的项．
（1）若 ，且 ， ， ， ，求 的值；
（2）证明： ， ， 不可能是数列 中的项；
（3）求 的最大值．
