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2023—2024 高三数学阶段性诊断练习 20（三模）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 若全集 ， , ,则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点的坐标是 ，则 的虚部是（ ）
A. B. 1 C. D.
3. 下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
4. 将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 向量 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 与 共线，则实数 （ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6. 已知 ，下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.7. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点 是圆 与曲线 的一个公共点，点 .若
是等腰三角形，则满足条件的 的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. “ 为锐角三角形”是“ ， ， ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 为公差不为零的等差数列， 是其前 项和， 是等比数列， 是其前 项和，则下列说法
正确的是（ ）
A. 对任意 ， ，如果 ，那么
B. 存在 ， ，满足 ，且
C. 对任意 ， ，如果 ，那么
D. 存在 ， ，满足 ，且
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 已知 ，则 ________.
12. 在二项式 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
13. 已知圆 与圆 关于直线对称，则直线 方程___________.
14. 已知双曲线 ．则 的离心率是_________；若 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则 _________．15. 设函数 ，给出下列四个结论：
①当 时，函数 有三个极值点；
②当 时，函数 有三个极值点；
③ ， 是函数 的极小值点；
④ ， 不是函数 的极大值点．
其中，所有正确结论的序号是_________．
三、解答题（共6小题，共85分）
16. 在 中，角 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求
的面积．
条件①： ， 为锐角；条件②： ；条件③： ．
17. 如图，在三棱柱 中， ， 为 的中点， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ，点 在棱 上，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正
弦值.18. 某超市销售 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌
牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
牙膏品牌
销售价格
市场份额
的
（1）从这 种不同品牌 牙膏中随机抽取 管，估计其销售价格低于 元的概率；
（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 管牙膏进行质检，其中 和 共抽取了 管．
①求 的值；
②从这 管牙膏中随机抽取 管进行氟含量检测．记 为抽到品牌 的牙膏数量，求 的分布列和数学
期望．
（3）品牌 的牙膏下月进入该超市销售，定价 元/管，并占有一定市场份额．原有 个品牌的牙膏销售
价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管 元，下月牙膏的平均销售价为每管
元，比较 的大小．（只需写出结论）
19. 已知椭圆 的离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程和短轴长；
（2）设直线 与椭圆 相切于第一象限内的点 ，不过原点 且平行于 的直线 与椭圆
交于不同的两点A，B，点 关于原点 的对称点为 ．记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
求 的值．
20. 已知 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若函数 存在两个不同的极值点 ，求证： ．
21. 在一个 阶方阵 中，记第 行元素构成的集合为 ，第 列元素
构成的集合为 ，集合 .如果一个 阶方阵满足：①对任意
；②对任意 ，都有 .则称这个方
阵为 阶 阵.
（1）已知 ，判断 是否为 阵？
（2）请你构造一个2阶 阵 .若你构造的 ，在 的基础上构造一个4阶 阵
依据上依据上面的构造方法，在 的基础上再构造一个8阶 阵 ；
的
（3）是否存在奇数阶 阵？如果存在，写出阶数 最小值；如果不存在，说明理由.
