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海淀区 2023—2024 学年第二学期期中练习
高三数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.
【详解】全集 ，集合 ，
所以 .
故选：D
2. 若复数 满足 ，则 的共轭复数是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数 即可求解结果．
【详解】解：复数 满足 ，所以 ．
所以 的共轭复数是 ．
故选：B．
3. 已知 为等差数列， 为其前n项和.若 ，公差 ，则m的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式求出 和 的关系，代入 计算可得m的值.
【详解】由已知 ，得 ，
又 ，又 ，
所以 ，解得 或 （舍去）
故选：B.
4. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 两边同时平方，将条件带入计算即可.
【详解】由已知 ，
所以 ，
得 ，又 ，
所以 .
故选：C.
5. 若双曲线 上的一点到焦点 的距离比到焦点 的距离大 ，则该双
曲线的方程为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意及双曲线的定义可知 ， ，再结合 ，求出 ，即可求出结果.
【详解】由题知 ，根据题意，由双曲线的定义知 ，又 ，
所以 ，得到 ，所以双曲线的方程为 ，
故选：D.
6. 设 是两个不同的平面， 是两条直线，且 .则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.
【详解】 ，且 ，所以 ，又 ，所以 ，充分性满足，
如图：满足 ， ，但 不成立，故必要性不满足，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
7. 已知 ，函数 的零点个数为 ，过点 与曲线 相切的直线的条
数为 ，则 的值分别为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助分段函数性质计算可得 ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得 .
【详解】令 ，即 时， ，解得 ，
时， ，无解，故 ，
设过点 与曲线 相切的直线的切点为 ，
当 时， ，则有 ，
有 ，整理可得 ，即 ，
即当 时，有一条切线，
当 时， ，则有 ，
有 ，整理可得 ，
令 ，
则 ，
令 ，可得 ，
故当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
由 ，
，故 在 上没有零点，
又 ，故 在 上必有唯一零点，
即当 时，亦可有一条切线符合要求，
故 .
故选：B.
8. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在第三象限.则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
【详解】由题意可得 、 ， ，
对A：当 时， ，则 ， ，
此时 ，故A错误；
对B：当 时， ，故B错误；
对C、D： ，由 ，
故 ，则 ，即 ，
故C正确，D错误.
故选：C.
9. 函数 是定义在 上的偶函数，其图象如图所示， .设 是 的导函数，则关于
x的不等式 的解集是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助函数图象与导数 的关系计算即可得.
【详解】由 ，且 为偶函数，故 ，
由导数性质结合图象可得当 时， ，
当 时， ，当 时，即 ，
则由 ，有 ，解得 ，
亦可得 ，或 ，或 ，或 ，
由 可得 或 ，即 ，
由 可得 ，即 ，
由 ，可得 ，即 或 （舍去，不在定义域内），
由 ，可得 ，
综上所述，关于x的不等式 的解集为 .
故选：D.
10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为 ），再沿直线繁
殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖
过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到 ，然后分叉
向 与 方向继续繁殖，其中 ，且 与 关于 所在直线对称，
….若 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半
径r（ ，单位： ）至少为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算
公式，即可判断答案.
【详解】由题意可知， ，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在 方向上的距离的范围，
即可确定培养皿的半径的范围，
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在 方向上前进的距离依次为：，
则 ，
黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，
即 ，
综合可得培养皿的半径r（ ，单位： ）至少为8cm，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌
的繁殖规律，从而求出每次繁殖在 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知 ，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利于对数的运算性质求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
12. 已知 ，线段 是过点 的弦，则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】【分析】借助直径与弦 垂直时， 有最小，计算即可得.
【详解】由 ，故点 在圆的内部，
且该圆圆心为 ，半径为 ，
设圆心到直线 的距离为 ，
由垂径定理可得 ，即 ，
故当 取最大值时， 有最小值，
又 ，
故 .
故答案为： .
13. 若 ，则 _______； _______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】借助赋值法，分别令 、 、 计算即可得.
【详解】令 ，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，即 ，
则 ，
即 ，则 ，
故 .故答案为： ； .
14. 已知函数 ，则 _________；函数 的图象的一个对称中心的坐
标为_______.
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数表达式，代入即可求出 的函数值，根据条件，先求出使 的一个取值
，再证明 是 的一个对称中心即可.
【详解】因 为 ，所以 ，
因为 定义域为 ，当 时， ，
下证 是 的一个对称中心，
在 上任取点 ，其关于 对称的点为 ，
又 ，
所以函数 的图象的一个对称中心的坐标为 ，
故答案为： ； （答案不唯一）
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：①函数 是奇函数；
② ，且 ，关于x的方程 恰有两个不相等的实数根；
③已知 是曲线 上任意一点， ，则 ；
④设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点.若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对 与 分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；
对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.
【详解】对①：令 ，即有 ，即 ，故函数 不是奇函数，
故①错误；
对②： ，即 ，
当 时，有 ，故 是该方程的一个根；
当 ， 时，由 ，故 ，结合定义域可得 ，
有 ，即 ，
令 ， ，有 或 （负值舍去），则
，
故 必有一个大于 的正根，即 必有一个大于 的正根；
当 ， 时，由 ，故 ，结合定义域有 ，
有 ，即 ，令 ， ， 有 或 （正值舍去），
令 ，即 ，则
，
即 ，故 定义域内亦必有一根，
在
综上所述， ，且 ，关于x的方程 恰有两个不相等的实数根，故②正确；
对③：令 ，则有 ， ，
令 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，故 恒成立，即 ，故 ，故③
正确；
对④：当 时，由 ， ，故 ，
此时， ，则 ，
当 时，由 与 关于 轴对称，不妨设 ，则有 或，
当 时，由 ，有
，故成立；
当 时，即有 ，
由③知，点 与点 在圆 上或圆外，
设点 与点 在圆上且位于x轴两侧，则 ,
故 ；
综上所述， 恒成立，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当 、 都小
于零时， 的情况.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
在
16. 中， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到 ，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；
（2）根据（1）中 及条件，由余弦定理得到 ，再结合 ，即可求出 ，
再利用三角形面积公式，即可求出结果.
【小问1详解】
因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，得到 ，即 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，得到 .
【小问2详解】
由（1）知 ，所以 ，又 ，得到 ①，
又 ，得到 代入①式，得到 ，
所以 的面积为 .
17. 如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面 .
（1）求证： ；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知，使四棱锥 存在且唯一确定.
（i）求证： 平面 ；（ⅱ）设平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；
（2）（i）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间
向量计算即可得.
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 四点共面，
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ；
【小问2详解】
（i）取 的中点 ，连接 ，由（1）知 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
选条件①： ，
因为 ，所以 与 全等，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，又因为 ，
、 平面 ，所以 平面 ；
（ⅱ）由（i）知 平面 ，而 平面 ，
所以 ，因 为，
建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，设平面 的法向量为 , 则 ，即 ，
令 ，则 ，于是 ，
因为 为平面 的法向量, 且 ,
所以二面角 的余弦值为 .
选条件③： ，
(i) 因为 ，所以 ，
因为 ，所以 与 全等，
所以 ，即 ，
因为 ，又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ；
(ii) 同选条件①.
不可选条件②，理由如下：
由（i）可得 ，又 ，
， 、 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ，即 是由已知条件可推出的条件，
故不可选条件②.
18. 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.
现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整
理如下表：
科普测试成绩x 科普过程性积分 人数
4 10
3 a
2 b
1 23
0 2
（1）当 时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，
估计X的数学期望 ；
（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，上述100名学生
科普测试成绩的平均值记为 .若根据表中信息能推断 恒成立，直接写出a的最小值.
【答案】（1）（i） ；（ⅱ） ；
（2）7.
【解析】
【分析】（1）（i）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；
（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期
望即得.（2）求出 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值 的最小值，由题设信息列出不等式求
解即得.
【小问1详解】
当 时，
（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为 ，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为 ，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为 .
（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频
率为 ，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概
率估计为 ，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的
概率估计为 ，
的所有可能值为6，7，8，
， ， ，
所以 的数学期望 .
【小问2详解】
由表知， ，则 ，
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，则 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为 ，要 恒成立，当且仅当 ，
显然 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此 ，则 ，解得 ，
所以根据表中信息能推断 恒成立的a的最小值是7.
19. 已知椭圆 的离心率为 分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
（1）求m的值及点 的坐标；
（2）设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线 上，且 ，直线 与x轴交于点M.比
较 与 的大小.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）借助离心率计算即可得；
（2）设 ，表示出 与 点坐标后，可得 、 ，借助作差法计算即可得.
【小问1详解】
由 ，即 ，
由题意可得 ，故 ，解得 ，
故 ，则 ，故 ；
【小问2详解】
设 ， ， ，有 ，由 ，则有 ，即 ，
由 ，故有 ，
即有
，
由 可得 、 ，
则 ，
，
则 ，
由 ，故 ，
即 .20. 已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若函数 存在最大值，求 的取值范围.
【答案】（1） 的增区间为 ，减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，得到 ，再求出 和 对应的 取值，即
可求出结果；
（2）令 ，对 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出 的单调区间，进
而得出 在 上取值范围，从而将问题转化成 成立，构造函数
，再利用 的单调性，即可求出结果.
【小问1详解】
易知定义域为 ，因为 ，所以 ，
由 ，得到 ，当 时， ，当 时， ，
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问2详解】
令 ，则 ，
由（1）知，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 在 时取得最大值 ，
所以当 时， ，当 时， ，即当 时， ，
所以函数 在 存在最大值的充要条件是 ，
即 ，
令 ，则 恒成立，
所以 是增函数，又因为 ，
所以 的充要条件是 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数 ，利用函数单调性得到
时， ，从而将问题转化成 ，构造函数
，再利用 的单调性来解决问题.
21. 已知： 为有穷正整数数列，其最大项的值为 ，且当
时，均有 .设 ，对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最小的数.
（1）若 ，写出 的值；
（2）若存在 满足： ，求 的最小值；
（3）当 时，证明：对所有 .
【答案】（1） ，
（2）（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合定义逐个计算出 、 、 即可得；
（2）当 时，可得 ，故 ，找到 时符合要求的数列 即可得；
（3）结合题意，分两段证明，先证 ，定义 ，再证得
，即可得证,
【小问1详解】
由 ， ，则 ，故 ，
则 ，故 ，
则 ，故 ；
【小问2详解】
由题意可知， ，当 时，由 ， ，
故 ，则 ，
由题意可得 ，故 、 总有一个大于 ，即 或 ，
，由 ，故 、 、 总有一个大于 ，
故 ，故当 时， ，不符，故 ，
当 时，取数列 ，
有 ， ， ，即 ，符合要求，故 的最小值为 ；
【小问3详解】
因为 ，所以 ，(i)若 ，则当 时，至少以下情况之一成立：
① ，这样的 至少有 个，
②存在 ，这样的 至多有 个，
所以小于 的 至多有 个，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以 ，
(ii)对 ，若 ，且 ，
因为 ，所以当 时，
至少以下情况之一成立：
① ，这样的 至多有 个；
②存在 且 ，这样的 至多有 个，
所以 ，
令 ，解得 ，即 ，
其中 表示不大于 的最大整数，
所以当 时， ；
综上所述，定义 ，则 ，
依次可得： ，
，所以 .
【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求
出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
