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海淀区 2023—2024 学年第二学期期中练习
高三数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
.
1 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的共轭复数是
A. B. C. D.
3. 已知 为等差数列， 为其前n项和.若 ，公差 ，则m的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
5. 若双曲线 上的一点到焦点 的距离比到焦点 的距离大 ，则该双
曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 设 是两个不同的平面， 是两条直线，且 .则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知 ，函数 的零点个数为 ，过点 与曲线 相切的直线的条
数为 ，则 的值分别为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在第三象限.则（ ）
A. B.
C. D.
9. 函数 是定义在 上的偶函数，其图象如图所示， .设 是 的导函数，则关于
x的不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下
规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为 ），再沿直线繁
殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖
过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到 ，然后分叉
向 与 方向继续繁殖，其中 ，且 与 关于 所在直线对称，
….若 ，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（ ，单位： ）至少为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知 ，则 _______.
12. 已知 ，线段 是过点 的弦，则 的最小值为_______.
13. 若 ，则 _______； _______.
14. 已知函数 ，则 _________；函数 的图象的一个对称中心的坐
标为_______.
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：
①函数 是奇函数；
② ，且 ，关于x的方程 恰有两个不相等的实数根；
③已知 是曲线 上任意一点， ，则 ；
④设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点.若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在 中， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
17. 如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面 .
（1）求证： ；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知，使四棱锥 存在且唯一确定.
（i）求证： 平面 ；
（ⅱ）设平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
的
18. 某学校为提升学生 科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性
积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，
整理如下表：
科普测试成绩x 科普过程性积分 人数
4 103 a
2 b
1 23
0 2
（1）当 时，
的
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生 科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，
估计X的数学期望 ；
（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，上述100名学生
科普测试成绩的平均值记为 .若根据表中信息能推断 恒成立，直接写出a的最小值.
19. 已知椭圆 的离心率为 分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
（1）求m的值及点 的坐标；
（2）设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线 上，且 ，直线 与x轴交于点M.比
较 与 的大小.
20. 已知函数 .
的
（1）求 单调区间；
（2）若函数 存在最大值，求 的取值范围.
21. 已知： 为有穷正整数数列，其最大项的值为 ，且当时，均有 .设 ，对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最小的数.
（1）若 ，写出 的值；
（2）若存在 满足： ，求 的最小值；
（3）当 时，证明：对所有 .
