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2023—2024 高三数学阶段性诊断练习 20（三模）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 若全集 ， , ,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得 ，然后可判断出答案.
【详解】因为 , ,
所以 ，所以
故选：D
2. 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点的坐标是 ，则 的虚部是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义结合虚部的定义即可得解.
【详解】因为复数 的共轭复数对应的点的坐标是 ，所以 ，
所以 ，即 的虚部是 .
故选：A.
3. 下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由指数函数的性质，可得函数 为非奇非偶函数，所以A不符合题意；对于B中，函数 的定义域为 关于原点对称，
且 ，所以 为奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数 的定义域为 关于原点对称，且满足 ，所以
为偶函数，
当 时， ，在区间 上单调递增，所以C符合题意；
对于D中，函数 在期间 上不是单调递增函数，所以D不符合题意.
故选：C.
4. 将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出平移后的函数解析式，根据已知条件可得出关于 的等式，结合 的取值范围可求得 的值.
【详解】将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后得到的图象对应的函数解
析式为 ，
由题意可知，函数 为奇函数，则 ，
所以， ， ，因此， .故选：B.
5. 向量 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 与 共线，则实数 （ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先由图得出用 表示 的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得.
【详解】根据网格图中的 的大小与方向，易于得到 ，
由向量 与 共线，可得 ，解得： .
故选：D.
6. 已知 ，下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.
【详解】解：对于选项A，因为 ，而 的正负不确定，故A错误；
对于选项B，因为 ，所以 ，故B错误；
对于选项C，依题意 ，所以 ，所以 ，故C正确；
对于选项D，因为 与 正负不确定，故大小不确定，故D错误；
故选：C.
7. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 可得 ，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案.
【详解】解：依题意， 等价于 ，
在同一坐标系中作出 ， 的图象，如图所示：
如图可得 的解集为： .
故选：D.
8. 已知点 是圆 与曲线 的一个公共点，点 .若 是等
腰三角形，则满足条件的 的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C
【解析】
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意 是等腰三角形，则 或
，即可求出所对应的 ；
【详解】解：依题意 ，抛物线 的焦点坐标为 ，准线为 ，点 是圆
与曲线 的一个公共点，要使 是等腰三角形，显然 ，
若 ，根据抛物线的定义，可知 点的横坐标为 ，此时
的
若 ，显然 满足条件，故满足条件 有2个；
故选：C
9. “ 为锐角三角形”是“ ， ， ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式及正弦函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】充分性：
因为 为锐角三角形，
所以 ，即 ，
所以 ，
同理可得 ， ，
故充分性得证；
必要性：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，所以 ，
综上， ，
同理 ，
所以 为锐角三角形，
必要性得证，
综上所述，为充分必要条件.
.
故选：C
10. 为公差不为零的等差数列， 是其前 项和， 是等比数列， 是其前 项和，则下列说法
正确的是（ ）
A. 对任意 ， ，如果 ，那么
B. 存在 ， ，满足 ，且
C. 对任意 ， ，如果 ，那么
D. 存在 ， ，满足 ，且
【答案】C
【解析】
【分析】运用等比等差数列的性质与前 项和公式逐项判断可得结论.【详解】对于A： 是首项为 ，公差为 ，则满足 ，
但不满足 ，故A错误；
对于B：若 ，则可得 或 或 或 ，
不妨取 ，由等差数列的前 项和公式可得 ，
所以 ，故B错误；
对于C：若 ，则 或 或 或 ，
显然公比 ，由等比数列前 项和公式可得 ，
故 ，所以 必为偶数，可得 ，所以 ，故C正确；
对于D： ，则等比数列 的公比为 ，则 ，故 ，故D错误.
故选：C.
【点睛】考查等比数列，等差数列的 项和公式的应用，以及等比，等差数列的性质，灵活运用是关建,
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 已知 ，则 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：2
12. 在二项式 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【答案】 ①. ②.【解析】
【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开
式的通项入手，根据要求，考察 的幂指数，使问题得解.
【详解】 的通项为
可得常数项为 ，
因系数为有理数， ，有 共5个项
【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计
算要细心，确保结果正确.
13. 已知圆 与圆 关于直线对称，则直线 方程___________.
【答案】
【解析】
【分析】由于两圆的半径相等，可得 ，求出两圆的圆心O(0，0)， ，则求出OA的中点坐标，
，从而可得直线的斜率为 ，从而可求出直线 的方程
【详解】由于半径相等，易求 ，由圆 的圆心坐标为O(0，0)，
圆 的标准方程为 ，可得圆心 ，
则OA的中点坐标为 ，且OA的斜率为 ，可得所求直线的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故答案为： .
14. 已知双曲线 ．则 的离心率是_________；若 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则 _________．【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程，得到 的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的离心率和渐近
线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由双曲线 ，可得 ，则 ，
所以双曲线 的离心率为 ；
又由双曲线 的其中一条渐近线方程为 ，即 ，
因为圆 的圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到渐近线的距离为 ，
由圆的弦长公式，可得 .
故答案为： ； .
15. 设函数 ，给出下列四个结论：
①当 时，函数 有三个极值点；
②当 时，函数 有三个极值点；
③ ， 是函数 的极小值点；
④ ， 不是函数 的极大值点．
其中，所有正确结论的序号是_________．【答案】②④
【解析】
【分析】取特殊值 ，结合函数图象可判断①③；作出函数图象，数形结合可判断②；讨论 的取值
范围，结合函数图象，可判断④.
【详解】对于①，不妨取 ，此时 ，
作出函数 图象如图：
此时函数有2个极值点 ，故①错误；
对于②，当 时， ，作出函数 的大致图象如图：
在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
此时函数 有3个极值点： ，②正确；
对于③，由①的分析可知， 时， 是函数 的极大值点，③错误；
对于④，由以上分析可知当 时， ，且 为 的对称轴，
此时 为函数 的极小值点，
当 时， ，此时 在 上单调递减，
在 上也单调递减，在 上单调递增，
不是函数 的极大值点，
故 不是函数 的极大值点，④正确.
故答案为：②④.
【点睛】方法点睛：题目中分段函数 涉及的函数是比较常见的函数，故
可作出函数大致图象，数形结合，再结合函数极值点的概念进行判断，即可解决问题.
三、解答题（共6小题，共85分）
16. 在 中，角 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求
的面积．条件①： ， 为锐角；条件②： ；条件③： ．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据大边对大角，结合 即可得解；
（2）选①，先利用正弦定理求出 ，再利用余弦定理求出边 ，再根据三角形的面积公式即可得解.
选②，先求出 ，再根据余弦函数的性质即可得出三角形的解的个数.
的
选③，先利用正弦定理求出 ，再根据三角形内角和定理及两角和 正弦公式求出 ，再根据三角
形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
【小问2详解】
选①， ， 为锐角，
由正弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 （舍去）或 ，符合条件，所以 .
选②， ，解得 或 ，
若 ，因为 ，所以 ，符合条件，
若 ，因为 ，
所以 为钝角，符合条件，
所以该三角形有 个解，不符合条件.
选③， ，
由正弦定理得 ，所以 ，符合条件，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
17. 如图，在三棱柱 中， ， 为 的中点， ， .
（1）求证： 平面 ；（2）若 平面 ，点 在棱 上，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正
弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，即可得到 ，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，设点 的坐标为 ，由 平面 ，则
即可求出 ，从而确定 点坐标，再由空间向量法计算可得.
【小问1详解】
连接 ，交 于点 ，连接 ，
为 的中点，在平行四边形 中 为 的中点，
是 的中位线，可得 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
【小问2详解】
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，又 ，
故以点C为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则设点 的坐标为 ，则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，解得 ，经检验符合题意.
所以 ，则 ，
又 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 某超市销售 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌
牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
牙膏品牌
销售价格
市场份额
（1）从这 种不同品牌的牙膏中随机抽取 管，估计其销售价格低于 元的概率；
（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 管牙膏进行质检，其中 和 共抽取了 管．①求 的值；
②从这 管牙膏中随机抽取 管进行氟含量检测．记 为抽到品牌 的牙膏数量，求 的分布列和数学
期望．
（3）品牌 的牙膏下月进入该超市销售，定价 元/管，并占有一定市场份额．原有 个品牌的牙膏销售
价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管 元，下月牙膏的平均销售价为每管
元，比较 的大小．（只需写出结论）
【答案】（1） ；（2）① ；②分布列见解析；期望为 ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）求出销售价格低于 元的频率，用频率来衡量概率；
的
（2）①利用分层抽样 定义求解即可，②随机变量 的可能取值为 ，然后求出各自对应的概率，
即可列出分布列，求出期望；
（3）求出平均值比较即可
【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取 管，其销售价格低于 元”为事件 ．
由题设， ．
（2）①由题设，品牌 的牙膏抽取了 管，
品牌 的牙膏抽取了 管，
所以 ．
（ⅱ）随机变量 的可能取值为 ．
；
；．
所以 的分布列为：
的数学期望为 ．
（3） ．
（理由： ，设品牌 的市场占有额为
， 市场占有额分别为 ，则
）
19. 已知椭圆 的离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程和短轴长；
（2）设直线 与椭圆 相切于第一象限内的点 ，不过原点 且平行于 的直线 与椭圆
交于不同的两点A，B，点 关于原点 的对称点为 ．记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
求 的值．
【答案】（1）椭圆 的方程为 ，短轴长为
（2）【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率求出 ，即可得解；
（2）根据直线 与椭圆相切，求出切点 的坐标，再求出直线 的斜率 ；根据 ，设出 的方程，
表示出 的坐标，得到 的斜率 ，再探索 的值.
【小问1详解】
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ，短轴长为 ；
【小问2详解】
由 消 得 ①，
由 ，得 ，
此时方程①可化： ，
解得： （由条件可知： 异号），
设 ，则 ， ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以可设直线 ： （ ， ），
由 消 得 ，当 时，方程有两个不相等的实根，
设 ， ，
则 ， ，
因为 两点关于原点对称，所以 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
20. 已知 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 存在两个不同的极值点 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；（2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示 ，然后结合二次方程根的存在条件即可
证明.
【小问1详解】
当 时， ，
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
，
令 ，得 ，令 ，则 ，
原方程可化为 ①，则 是方程①的两个不同的根，
所以 ，解得 ，
由韦达定理得 ，则 ，
所以
，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
21. 在一个 阶方阵 中，记第 行元素构成的集合为 ，第 列元素
构成的集合为 ，集合 .如果一个 阶方阵满足：①对任意
；②对任意 ，都有 .则称这个方
阵为 阶 阵.
（1）已知 ，判断 是否为 阵？
（2）请你构造一个2阶 阵 .若你构造的 ，在 的基础上构造一个4阶 阵
依据上依据上面的构造方法，在 的基础上再构造一个8阶 阵 ；
（3）是否存在奇数阶 阵？如果存在，写出阶数 的最小值；如果不存在，说明理由.
【答案】（1） 是 阶 阵； 不是 阵；（2） ， ，
，（答案不唯一，构造合题即可）．
（3）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）直接利用定义判断即可；
（2）先随意构造一个 ，在 的基础上构造 ，一个 阶矩阵，应该由 个 阶矩阵组成，左上角
的 阶矩阵和右下角的 阶矩阵必须都是构造的 ．在 的基础上再直接构造 ，同样， 的矩阵
应该是由 个 矩阵组成，左上角的 阶矩阵和右下角的 阶矩阵必须都是构造的 ．答案不唯一，合
题即可．
（3）通过每个数出现的总次数为奇数次，确定每个数应该在对角线 处应至少出现奇数次，得出不可能
存在奇数阶 阵．
【小问1详解】
对于 ： ，∴ 是 阶 阵；
对于 ： ，∴ 不是 阵；
【小问2详解】
不妨令 ， ，，（答案不唯一，构造合题即可）．
【小问3详解】
不存在；
假设存在奇数阶 阵，不妨设为 阶 阵，
则 ，其中 ，
则集合中 中的每个数在每个集合 出现 次，所以每个数应被使用 次，
又矩阵中 每个数只使用 次， 每个数被使用 次，即 且 ，
设 组成的集合为 ，设 中元素个数为 ，则 ，
因为 被引用奇数次，则必然有 ，
即 ，解得 ，与 矛盾，故假设不成立；
所以不存在奇数阶 阵．
【点睛】关键点睛：第三问核心是利用每个数在所有集合 中出现的总次数是 次，是奇数次，可以
确定每个数都要在对角线 中出现奇数次，但对于 阶矩阵，对角线最多只有 个数，放不下
个数，得出矛盾．
