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通州区 2023 年高三年级模拟考试
数学试卷
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 （ ）
.
A B. C. 2 D.
3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. 80 B. 10 C. D.
5. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥， ， ， ，则该几
何体的体积为（ ）A. B. C. D.
7. 声强级 （单位： ）与声强x（单位： ）满足 ．一般噪音的声强级
约为80 ，正常交谈的声强级约为50 ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ）
.
A 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
8. 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 的解析式为（
）
A. B.
C. D.
9. 若不同直线a，b，l与平面 ，且满足 ，则“a与b异面”是“b与l相交”
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足 ， ，A为线段
中点，P为圆 任意一点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知向量 ， ，若 ，则 __________．
12. 已知等差数列 的公差 ，且 ，则 的前5项和 __________．
13. 抛物线C： 的焦点为F，点 在抛物线C上，且点A到直线 的距离是线段
长度的2倍，则 __________．
14. 设函数 ，若函数 有且只有一个零点，则实数a 一个取值为
的
__________；若函数 存在三个零点，则实数a的取值范围是__________．
15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数 （ ）的函数值等于
所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如 ， ．
关于欧拉函数给出下面四个结论：
① ；
② ，恒有 ；
③若m，n（ ）都 是素数，则 ；
④若 （ ），其中 为素数，则 ．
（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）
则所有正确结论的序号为___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 存在且唯一确定，求 的面
积．
条件①： ；条件②： ；条件③： 的周长为9．
17. 如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为2的正方形，
， 为 的中点，D为棱 上一点， 平面 ．
（1）求证：D为 中点；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：
营业情况
营业收入单位（亿元） 营业成本单位（亿元）
分行业
分行业1 41 38
分行业2 12 9
分行业3 8 2
分行业4 6 5
分行业5 3 2
分行业6 2 1分行业7 0.8 0.4
（一般地，行业收益率 ．）
（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；
（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望；
（3）设7个分行业营业收入的方差为 ，营业成本的方差为 ，写出 与 的大小关系．（结论不要
求证明）
19. 已知椭圆C： （ ）过点 ，离心率为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点A关于y轴的对称点为B，直线l与 平行，且与椭圆C相交于 ，N两点，直线 ，
分别与y轴交于P，Q两点．求证：四边形 为菱形．
20. 已知函数 ， （ ）．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，请判断 是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）当 时，若对于任意 ，不等式 恒成立，求k的取值范
围．
21. 设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集 ， ，…， 满足：
① ， ，…， 均非空；
② ， ，…， 中任意两个集合交集为空集；
③ ．
则称 ， ，…， 为集合A的一个m阶分拆．（1）若 ，写出集合A的所有2阶分拆（其中 ， 与 ， 为集合A的同一个2阶分拆）；
（2）若 ， ， 为A的2阶分拆，集合 所有元素的平均值为P，集合 所有元素的
平均值为Q，求 的最大值；
（3）设 ， ， 为正整数集合 （ ， ） 的3阶分拆．若 ， ，
满足任取集合A中的一个元素 构成 ，其中 ，且 与 中元素的和相等．
求证：n为奇数．
