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北师大二附中 2022 届高三 三模 数学试题
一、选择题（共10小题；共40分）
1. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 （ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3}
【答案】A
【解析】
【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得： ，则 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
2. 若 ，则z=（ ）
A. 1–i B. 1+i C. –i D. i
【答案】D
【解析】
【分析】先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到 即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
3. 已知 ，且 ，则
A.
B.
C.
D.【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：A：由 ，得 ，即 ，A不正确；
B：由 及正弦函数的单调性，可知 不一定成立；
C：由 ， ，得 ，故 ，C正确；
D：由 ，得 ，但xy的值不一定大于1，故 不一定成立，故选
C.
【考点】函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单
调性.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
【详解】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定
项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
5. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数 和 的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
6. 设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】∵A､B､C三点不共线,∴
| + |>| | | + |>| - |
| + |2>| - |2 • >0 与
的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
7. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
年 月 日
年 月 日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ）
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
【答案】B
【解析】
【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 升. 而这
段时间内行驶的里程数 千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
升，故选B.
考点：平均变化率.8. 记 为数列 的前 项和．若 ，则（ ）
A. 有最大项， 有最大项 B. 有最大项， 有最小项
C. 有最小项， 有最大项 D. 有最小项， 有最小项
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析 的最大项，再分析 的符号，据此分析可得 的
最大项，即可得答案．
【详解】解：根据题意，数列 ， ，
对于二次函数， ，其开口向下，对称轴为 ，即当 时， 取得最大值，
对于 ， 时， 最大；
且当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故当 或8时， 最大，
故 有最大项， 有最大项；
故选： ．
9. 将函数 图象上的点 向左平移 （ ） 个单位长度得到点 ，若 位于函
数 的图象上，则（ ）
A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为
C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为
【答案】A
【解析】【详解】由题意得， ，
可得 ，
因为 位于函数 的图象上
所以 ，
可得 ，
s的最小值为 ，故选A.
【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①
平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数
名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.
10. 如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 上的动点（不含端点），则下列结论正
确的个数是（ ）
①平面 平面② 的取值范围是
③三棱锥 的体积为定值
④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面位置关系进行判断．判断①，举反例判断②，利用体积公式，判断③，利用垂直关系的
转化判断④.
【详解】∵ 平面 ，∴平面 平面 ，①正确；
若 是 上靠近 的一个四等分点， ，此时
， ，此时 为钝角，②错；
由于 ，则 平面 ，因此 的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，
③正确；
而 ， ，所以 ，且 , ，所以 平面 ,平面 ，因此 ，④正确．
故选：C．
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知向量 =（－4，3）， =（6，m），且 ，则m=__________.
【答案】8.
【解析】
【分析】利用 转化得到 加以计算，得到 .
【详解】向量
则 .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.
属于容易题.
12. 已知等差数列 的前5项和 ，则 ____________．
【答案】11
【解析】
【分析】由等差数列的性质求解，
【详解】由题意得 ，得 ，故 ， ，则 ，
故答案为：11
13. 已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x
轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立 ，解得 ，所以 .
依题可得， ， ，即 ，变形得 ， ,
因此，双曲线 的离心率为 .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
14. 已知函数 在 有且仅有3个零点，则函数 在 上存在
_____个极小值点，请写出一个符合要求的正整数 的值______.
【答案】 ①. 1 ②. 3
【解析】
【分析】首先求 的范围，根据正弦函数的图象，确定极小值点个数，以及根据端点值，列不等式
求 的范围.
【详解】 ， ，由条件可知 在区间 有3个零点，
由函数图象可知：有1个极小值点，两个极大值点，
且 ，解得： ,
其中满足条件的一个正整数是3.
故答案为：1；3
15. 已知函数 的定义域是 ，关于函数 给出下列命题：
①对于任意 ，函数 存在最小值；
②对于任意 ，函数 是 上的减函数；
③存在 ，使得对于任意的 ，都有 成立；
④存在 ，使得函数 有两个零点.
其中正确命题的序号是______.
【答案】①④
【解析】
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与最值，从而判断即可；
【详解】解： 定义域为 ， ．
当 时 单调递增，值域为R，所以存在 ，使 ，
当 时 ， 时 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 为函数的最小值，故①正确；
若最小值 ，即 ，又 ，即 ，即 时函数
有两个零点，令 ，则 ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以存在 使得 ，即存在 ，使得函数 有两个零点，故④正确.
当 时， 恒成立，故 是 上的增函数，故②错误；
因为 ，当 时 ，当 时 ，则 ，且当 时
，
所以不存在 ，使得对于任意的 ，都有 成立，故③错误；
故答案为：①④．
三、解答题（共6小题；共85分）
16. 已知① ，② ，③ 在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问
题．
在 中，角A，B，C的对边分别为 ，且满足
（1）求角A的大小；
（2）已知_______，_______，若 存在，求 的面积；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理对已知的式子变形化简可得 ，再利用余弦定理可求出角A
的大小；
（2）若选择条件①和②，由正弦定理可求出 ，从而可求出 的面积；若选择条件①和③，由余弦定理可求出 ，从而可求出 的面积；若选择条件②和③，由正弦定理结合已知条件可得 ，
从而可这样的三角形不存在
【详解】解：（1） ，
由正弦定理可得： ，即 ，
，
， ．
（2）方案一：选择条件①和②，由正弦定理 ，可得 ，
可得 的面积 ．
方案二：选择条件①和③，由余弦定理 ，可得 ，
可得 ，可得 ， 的面积 ．
方案三：选择条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，由（1） ，则
由正弦定理 ，由③可得 ，
而 ，
则 ，所以这样的三角形不存在．17. 如图四棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， ，
， ， 为 的中点.
（1）求证：直线 平面
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
（3）设 是 的中点，判断点 是否在平面 内，并证明结论.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）在平面PAC内，证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过做辅助线证明四边形GECB为平行四边形，再通过直线与平面平行的判定公理证明
（2）通过建立空间直角坐标系，利用平面法向量与直线向量求得直线与平面所成角的正弦值
（3）建立空间直角坐标系，根据平面向量基本定理求证结果
【小问1详解】
取AP中点G，连接GE，GB，EC
因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，AD=2
所以GE=1
因为 ，所以 ，又因为
所以四边形GECB是平行四边形，所以
又因为 平面PAB
平面PAB
所以 平面
【小问2详解】
取AD中点O，连接PO，CO，由已知 PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形
△
所以 又AD=2，所以 。PO=OD=1
而 ，AB=1，
所以四边形ABCO为正方形，即
，PO=1，OC=1，所以
所以
因为 ，所以 平面ABCD
所以以OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系
所以
,
P(0 0,1),A(0,-1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0)
设平面PAC的一个法向量为由 得 可取
设直线PB与平面PAC所成角为
则
【小问3详解】
证：E为PD的中点，由（2）可知 ，又F是BE的中点，所以
设 ，即
解得
故有唯一一组实数对 使得
因此符合向量基本定理，故CF与CA，CP共面，即F在平面PAC内
18. 某超市销售 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
牙膏品牌
销售价格
市场份额
（1）从这 种不同品牌的牙膏中随机抽取 管，估计其销售价格低于 元的概率；
（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 管牙膏进行质检，其中 和 共抽取了 管．
①求 的值；
②从这 管牙膏中随机抽取 管进行氟含量检测．记 为抽到品牌 的牙膏数量，求 的分布列和数学
期望．
（3）品牌 的牙膏下月进入该超市销售，定价 元/管，并占有一定市场份额．原有 个品牌的牙膏销售
价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管 元，下月牙膏的平均销售价为每管
元，比较 的大小．（只需写出结论）
【答案】（1） ；（2）① ；②分布列见解析；期望为 ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）求出销售价格低于 元的频率，用频率来衡量概率；
（2）①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量 的可能取值为 ，然后求出各自对应的概率，
即可列出分布列，求出期望；
（3）求出平均值比较即可
【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取 管，其销售价格低于 元”为事件 ．
由题设， ．
（2）①由题设，品牌 的牙膏抽取了 管，
品牌 的牙膏抽取了 管，所以 ．
（ⅱ）随机变量 的可能取值为 ．
；
；
．
所以 的分布列为：
的数学期望为 ．
（3） ．
（理由： ，设品牌 的市场占有额为
， 市场占有额分别为 ，则
）
19. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 ， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 、 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 上一点（不在坐标轴上），直线 交 轴于点， 为直线 上一点，且 ，求证： 、 、 三点共线.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）将点 的坐标代入椭圆 的方程，可求得 的值，再由椭圆 的离心率可求得 、 的值，
由此可得出椭圆 的方程；
（2）设点 ，可得出 ，求出直线 的方程，可求得点 的坐标，由
，可求得点 的横坐标，代入直线 的方程可求得点 的坐标，验证 ，即可证
得结论成立.
【详解】（1）将点 的坐标代入椭圆 的坐标可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，
设点 ，则 ，则 ，
直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，令 ，可得 ，即点 ，
设点 ，由 ，可得 ，
直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
将 代入直线 的方程得 ，
所以点 的坐标为 ，
直线 的斜率为
直线 的斜率为
，
又 、 有公共点 ，因此， 、 、 三点共线.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.
20. 已知函数 ，其中 ， 为 的导函数.
（1）当 ，求 在点 处的切线方程；
（2）设函数 ，且 恒成立.
①求 的取值范围；
②设函数 的零点为 ， 的极小值点为 ，求证： .
【答案】（1）（2）① ;②详见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）①先对函数 求导，得到 ，推出
，求导，得到 ，解对应不等式，得到 单调性，
求出其最小值，再根据 恒成立，即可得出结果；
.
②先设 ，求导得
设 ，对其求导，判定单调性，从而得到函数 单调性，得到 是
函数 的极小值点，得到 ，再由①得 时， ，推出所以 ，得到
，得到函数 在区间 上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.
【小问1详解】
时， , , , ，所以函数在 处的切
线方程 ，即 .
【小问2详解】
①由题设知， ，， ，
由 ，得 ，所以函数 在区间 上是增函数；
由 ，得 ，所以函数 在区间 上是减函数.
故 在 处取得最小值，且 .
由于 恒成立，所以 ，得 ，
所以 的取值范围为 ；
②设 ，则 .
设 ，
则 ，
故函数 在区间 上单调递增，由（1）知， ，
所以 ， ，
故存在 ，使得 ，
所以，当 时， ， ，函数 单调递减；
当 时， ， ，函数 单调递增.
所以 是函数 的极小值点.因此 ，即 .由①可知，当 时， ，即 ，整理得 ，
所以 .
因此 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递增.
由于 ，即 ，
即 ，
所以 .
又函数 在区间 上单调递增，所以 .
21. 设数列 （ ）的各项均为正整数，且 .若对任意 ，存在
正整数 使得 ，则称数列 具有性质 .
（1）判断数列 与数列 是否具有性质 ；（只需写出结论）
（2）若数列 具有性质 ，且 ， ， ，求 的最小值；
（3）若集合 ，且 （任意 ，
）.求证：存在 ，使得从 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质 的数列.
【答案】（1）数列 不具有性质 ；数列 具有性质 （2） 的最小值为 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1） 不满足存在正整数 使得 ，故数列 不具有性质 ；根据定义可知
数列 具有性质 ；
（2）由题可知 ， ， ， ， ，所以 ，再验证可知
时，数列 不具有性质 ， 时，数列 具有性质 ，从而可知 的最小值为 ；
（3）反证法：假设结论不成立，即对任意 都有：若正整数 ，则 ，再
根据定义推出矛盾，从而可证结论正确.
【详解】（1）数列 不具有性质 ；数列 具有性质 .
（2）由题可知 ， ， ， ， ，
所以 .
若 ，因为 且 ，所以 .
同理，
因为数列各项均为正整数，所以 .所以数列前三项为 .
因为数列 具有性质 ， 只可能为 之一，而又因为 ，
所以 .
同理，有 .
此时数列为 .
但数列中不存在 使得 ，所以该数列不具有性质 .
所以 .
当 时，取 .（构造数列不唯一）经验证，此数列具有性质 .
所以， 的最小值为 .
（3）反证法：假设结论不成立，即对任意 都有：若正整数 ，则 .
否则，存在 满足：存在 ， 使得 ，此时，从 中取出 ：
当 时， 是一个具有性质 的数列；
当 时， 是一个具有性质 的数列；
当 时， 是一个具有性质 的数列.
（i）由题意可知，这 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于 个，
为
不妨设此集合 ，从 中取出 个数，记为 ，且 .
令集合 .
由假设，对任意 ， ，所以 .
（ii）在 中至少有一个集合包含 中的至少 个元素，不妨设这个集合为 ，
从 中取出 个数，记为 ，且 .
令集合 .
由假设 .对任意 ，存在 使得 .
所以对任意 ， ，
由假设 ，所以 ，所以 ，所以 .
（iii）在 中至少有一个集合包含 中的至少 个元素，不妨设这个集合为 ，
从 中取出 个数，记为 ，且 .
令集合 .
由假设 .对任意 ，存在 使得 .所以对任意 ， ，
同样，由假设可得 ，所以 ，所以 .
（iv）类似地，在 中至少有一个集合包含 中的至少 个元素，不妨设这个集合为 ，
从 中取出 个数，记为 ，且 ，
则 .
（v）同样，在 中至少有一个集合包含 中的至少 个元素，不妨设这个集合为 ，
从 中取出 个数，记为 ，且 ，同理可得 .
（vi）由假设可得 .
同上可知， ，
而又因为 ，所以 ，矛盾.所以假设不成立.
所以原命题得证.
【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了反证法，考查了集合的并集运算，准确理解定义
和运用定义解题是解题关键，属于难题.
