1
二次函数的新定义题型
1. 定义：如果代数式A = a1x2 + b1x + c1(a1 ≠0，a1，b1，c1 是常数) 与B = a2x2 + b2x + c2(a2 ≠0，a2，b2，c2 是
常数)，满足a1 = a2，b1 + b2 = 0，c1 = c2，则称这两个代数式A 与B 互为“同构式”，下列四个结论：①代数
式2x2 + x - 3 的“同构式”为2x2 - x - 3；②若代数式2mx2 + nx + 5 与6nx2 + 3x + 5 互为“同构式”，则
m + n = 6；③若A、B 互为“同构式”，且方程A + B = 0 有两个不相等的实数根，则a1c1 > 0；④若A、B
互为“同构式”，A = x2 - 2x + 8，函数y = |A - 2B| 的图象与直线y = m 有4 个交点，则0 ≤m ≤1．其
中，正确的结论有( ) 个．
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【解答】解：①代数式2x2 + x - 3 的“同构式”为2x2 - x - 3，故①正确；②若代数式2mx2 + nx + 5 与6nx2 + 3x
+ 5 互为“同构式”，则2m=6n
n+3=0
，解得m =-9，n =-3，∴m + n =-12，故②不正确；③若A、B 互为“同构
式”，则A + B = 2a1x2+ 2c1，∵A + B = 0 有两个不相等的实数根，∴-4 ⋅2a1⋅2c1>0，∴-16a1c1> 0，
∴a1c1 < 0，故③不正确；④A、B 互为“同构式”，A = x2 - 2x + 8，则B = x2 + 2x + 8，∴函数y = |A - 2B| = |
-x2 - 6x - 8|，∵y =-x2 - 6x - 8 =- (x + 3)2 + 1，∴顶点为(-3,1)，∴函数y = |A - 2B| 的图象与直线y =
m 有4 个交点，则0 < m < 1．故④不正确．故选：D．
2. 新定义：[a，b] 为一次函数y = ax + b(a ≠0，a，b 为实数) 的“关联数”．若“关联数”为[3，m - 2] 的一
次函数是正比例函数，则点(1 - m,1 + m) 在第
象限．
【解答】解：∵“关联数”为[3，m - 2] 的一次函数是正比例函数，∴y = 3x + m - 2 是正比例函数，
∴m - 2 = 0，解得：m = 2，则1 - m =-1，1 + m = 3，故点(1 - m,1 + m) 在第二象限．故答案为：二．
3. 新定义：[a，b，c] 为二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠0，a，b，c 为实数) 的“图象数”，如：y = x2 - 2x + 3 的
“图象数”为[1，-2，3]，若“图象数”是[m，2m + 4，2m + 4] 的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，
则m 的值为(
)
A. - 2
B. 1
4
C. - 2 或2
D. 2
【解答】解：二次函数的解析式为y = mx2 + (2m + 4)x + 2m + 4，根据题意得△= (2m + 4)2 - 4m(2m + 4) =
0，
解得m1=-2，m2= 2，故选：C．
4. 如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为：y = x2 + px + q，我们称[p，q] 为此函数的“特
征数”，如二次函数y = x2+ 2x + 3 的特征数为[2，3]．
(1) 若一个函数的特征数为[-2，1]，该函数图象的顶点坐标为
．
(2) 探究以下问题：
①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位，求得到
的图象对应函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，将此函数的图象经过的怎样平移，才能使得到的图象对应函数的特征
数为[3，4]？
【解答】解：(1) 由题意可得出：y = x2 - 2x + 1 = (x - 1)2．∴此函数图象的顶点坐标为：(1,0)．故答案为：(1,
2
0)．(2) ①由题意可得出：y = x2 + 4x - 1 = (x + 2)2 - 5，∴将此函数的图象先向右平移1 个单位，再向上平
移1 个单位后得到：y = (x + 2 - 1)2 - 5 + 1 = (x + 1)2 - 4 = x2 + 2x - 3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，
-3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y = x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2．∵一个函数的特征
数为[3，4]，∴函数解析式为：y = x2 + 3x + 4 = x+ 3
2
2
+ 7
4 ．∴原函数的图象向左平移1
2 个单位，再向
下平移1
4 个单位得到．
5. 定义[a，b，c] 为函数y = ax2 + bx + c 的特征数，下面给出特征数为[m - 1，m + 1，-2m] 的函数的一
些结论，其中不正确的是(
)
A. 当m = 2 时，函数图象的顶点坐标为- 3
2 ,- 25
4
B. 当m > 1 时，函数图象截x 轴所得的线段长大于3
C. 当m < 0 时，函数在x < 1
2 时，y 随x 的增大而增大
D. 不论m 取何值，函数图象经过两个定点
【解答】解：因为函数y = ax2 + bx + c 的特征数为[m - 1，m + 1，-2m]；A、当m = 2 时，y = x2 + 3x - 4 =
x+ 3
2
2
- 25
4 ，顶点坐标是- 3
2 ，- 25
4
；此结论正确；B、当m > 1 时，令y = 0，有(m - 1)x2 + (1 + m)x -
2m = 0，解得，x1 = 1，x2 =- 2m
m-1 ，|x2 - x1| = 3m-1
m-1 > 3，所以当m > 1 时，函数图象截x 轴所得的线段长
度大于3，此结论正确；C、当m < 0 时，y = (m - 1)x2 + (1 + m)x - 2m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴
是：x =-
m+1
2(m-1) ，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，因为当m < 0 时，-
m+1
2(m-1) =- m-1+2
2(m-1) =- 1
2
-
1
m-1 >- 1
2 ，即对称轴在x =- 1
2 右边，可能大于1
2 ，所以在x > 1
2 时，y 随x 的增大而减小，此结论错
误；D、因为y = (m - 1)x2 + (1 + m)x - 2m = 0 即(x2 + x - 2)m - x2 + x = 0，当x2 + x - 2 = 0 时，x = 1 或
-2，∴抛物线经过定点(1,0) 或(-2, -6)，此结论正确，故选：C．
6. 定义[a，b，c] 为函数y = ax2 + bx + c 的特征数，下面给出特征数为[2m，1 - m，-1 - m] 的函数的一
些结论，其中不正确的是(
)
A. 当m =-3 时，函数图象的顶点坐标是
1
3 , 8
3
B. 当m > 0 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3
2
C. 当m ≠0 时，函数图象经过同一个点
D. 当m < 0 时，函数在x > 1
4 时，y 随x 的增大而减小
【解答】解：因为函数y = ax2 + bx + c 的特征数为[2m，1 - m，-1 - m]；A、当m =-3 时，y =-6x2 + 4x + 2
=-6 x- 1
3
2
+ 8
3 ，顶点坐标是
1
3 ，8
3
；此结论正确；B、当m > 0 时，令y = 0，有2mx2 + (1 - m)x + (-1 -
m) = 0，解得：x1 = 1，x2 =- 1
2 -
1
2m ，|x2 - x1| = 3
2 +
1
2m > 3
2 ，所以当m > 0 时，函数图象截x 轴所得的线
段长度大于3
2 ，此结论正确；C、当x = 1 时，y = 2mx2 + (1 - m)x + (-1 - m) = 2m + (1 - m) + (-1 - m) =
0 即对任意m，函数图象都经过点(1,0)，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D、当m < 0 时，y =
2mx2 + (1 - m)x + (-1 - m) 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x = m-1
4m
，在对称轴的右边y 随
3
x 的增大而减小．因为当m < 0 时，m-1
4m
= 1
4 -
1
4m > 1
4 ，即对称轴在x = 1
4 右边，因此函数在x = 1
4 右
边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选：D．
7. 对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a，则称a 是这个函数的不动点．已知二次函数y = x2
+ 3x + m．
(1) 若2 是此函数的不动点，则m 的值为
．
(2) 若此函数有两个相异的不动点a、b，且a < 1 < b，则m 的取值范围为
．
【解答】解：(1) 若2 是此函数的不动点，则抛物线经过(2,2)，将(2,2) 代入y = x2+ 3x + m 得2 = 4 + 6 + m，
解得m =-8，故答案为：-8．(2) ∵(a,a)，(b,b) 在直线y = x 上，令x2+ 3x + m = x，整理得x2+ 2x + m = 0，
∵函数有2 个不动点，∴△= 22 - 4m > 0，解得m < 1，设y = x2 + 2x + m，∵a < 1 < b，∴x = 1 时，y = 3 + m
< 0，
解得m <-3，故答案为：m <-3．
8. 定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函
数．例如：y = 2x2+ 4x - 5 的友好同轴二次函数为y =-x2- 2x - 5．
(1) 函数y = 1
4 x2- 2x + 3 的友好同轴二次函数为
．
(2) 当-1 ≤x ≤4 时，函数y = (1 - a)x2 - 2(1 - a)x + 3(a ≠0 且a ≠1) 的友好同轴二次函数有最大值为
5，求a 的值．
(3) 已知点(m,p)，(m,q) 分别在二次函数y1 = ax2 + 4ax + c(a > 1
2 且a ≠1) 及其友好同轴二次函数y2
的图象上，比较p，q 的大小，并说明理由．
【解答】解：(1) ∵y = 1
4 x2 - 2x + 3 中a = 1
4 ，对称轴为直线x =- -2
2× 1
4
= 4，c = 3，∴y = 1
4 x2 - 2x + 3 的友
好同轴二次函数中a = 3
4 ，对称轴为直线x = 4，c = 4，∴y = 3
4 x2- 6x + 3，故答案为：y = 3
4 x2- 6x + 3；
(2) ∵y = (1 - a)x2 - 2(1 - a)x + 3 的对称轴为直线x = 1，∴函数y = (1 - a)x2 - 2(1 - a)x + 3 的友好同轴二
次函数为y = ax2 - 2ax + 3 = a(x - 1)2 - a + 3，∴其顶点坐标为(1, -a + 3)，当a < 0，函数最大值为-a + 3
= 5，解得a =-2；当a > 0 时，抛物线开口向上，∵1 - (-1) < 4 - 1，∴x = 4 时，y = 16a - 8a + 3 = 8a + 3 为
最大值，
∴8a + 3 = 5，解得a = 1
4 ；综上所述：a 的值为-2 或1
4 ；(3) 由y1 = ax2 + 4ax + c(a > 1
2 且a ≠1) 可得其友
好同轴二次函数y2= (1 - a)x2+ 4(1 - a)x + c，∵抛物线y1，y2与y 轴交于点(0,c) 且对称轴为直线x =-2，
∴抛物线y1，y2的另一交点坐标为(-4,c)，当1
2 < a < 1 时，抛物线y1开口向上，抛物线y2开口向上，
∴当m <-4 或m > 0 时，p > q，m =-4 或m = 0 时，p = q，-4 < m < 0 时，p < q；当a > 1 时，1 - a < 0，抛
物线y1 开口向上，抛物线y2 开口向下，∴m <-4 或m > 0 时，p > q，m =-4 或m = 0 时，p = q，-4 < m < 0
时，p < q；综上所述，当1
2 < a < 1 时，m <-4 或m > 0 时，p > q，m =-4 或m = 0 时，p = q，-4 < m < 0
时，p < q；当a > 1 时，m <-4 或m > 0 时，p > q，m =-4 或m = 0 时，p = q，-4 < m < 0 时，p < q．
9.【阅读理解】已知关于x、y 的二次函数y = x2 - 2ax + a2 + 2a = (x - a)2 + 2a，它的顶点坐标为(a,2a)，故
不论a 取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线y = 2x 上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同
的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．
4
【问题解决】(1) 若二次函数y = x2+ 2x - 3 和y =-x2- 4x - 3 是同源二次函数，求它们的根函数；
(2) 已知关于x、y 的二次函数C:y = x2- 4mx + 4m2- 4m + 1，完成下列问题：
①求满足二次函数C 的所有二次函数的根函数；
②若二次函数C 与直线x =-3 交于点P，求点P 到x 轴的最小距离，请求出此时m 为何值？并求出点
P 到x 轴的最小距离．
【解答】解：(1) ∵y = x2 + 2x - 3 = (x + 1)2 - 4，∴该抛物线的顶点为(-1, -4)；∵y =-x2 - 4x - 3 =- (x + 2)
2+ 1，
∴该抛物线的顶点坐标为(-2,1)．设经过点(-1, -4) 和点(-2,1) 的直线的解析式为y = kx + b，∴
-k+b=-4
-2k+b=1
，
解得：k=-5
b=-9
．∴y =-5x - 9．∴它们的根函数为直线y =-5x - 9．(2) ①∵y = x2 - 4mx + 4m2 - 4m +
1 = (x - 2m)2 - 4m + 1，∴该抛物线的顶点坐标为(2m, -4m + 1)，设顶点(2m, -4m + 1) 在直线y = ax + 1
上，∴-4m + 1 = 2ma + 1．解得：a =-2，∴顶点(2m, -4m + 1) 在直线y =-2x + 1 上，∴满足二次函数C
的所有二次函数的根函数为y =-2x + 1．②∵二次函数C 与直线x =-3 交于点P，∴y = (-3)2 - 4m × (
-3) + 4m2- 4m + 1 = 4m2+ 8m + 10．∴P(-3,4m2+ 8m + 10)．∵4m2+ 8m + 10 = 4(m + 1)2+ 6，
∴点P 的纵坐标当m =-1 时，最小值为6．∴点P 到x 轴的最小距离为6，此时m =-1．
10. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1) 请写出两个为“同簇二次函数”的函数．
(2) 已知关于x 的二次函数y1 = 2x2 - 4mx + 2m2 + 1 和y2 = ax2 + bx + 5
4 ，其中y1 的图象经过点P(1,
1)，y2与y1为“同簇二次函数”，
①求m 的值及函数y2的表达式．
②如图点A 和点C 是函数y1 上的点，点B 和点D 是函数y2 上的点，且都在对称轴右侧，若AB ⎳CD ⎳x
轴，BC ⊥AB，求CD
AB 的值(只需直接答案)．
【解答】解：(1) ∵y = x2和y = 2x2的顶点均为(0,0)，且开口向上，∴y = x2和y = 2x2为“同簇二次函数”．
(2) ①把P(1,1) 代入y1 = 2x2 - 4mx + 2m2 + 1，得：1 = 2 - 4m + 2m2 + 1，解得：m = 1，∴y1 = 2x2 - 4x + 3 =
2(x - 1)2+ 1．∵y2与y1为“同簇二次函数”，∴顶点一样为(1,1)，即y2= a(x - 1)2+ 1，
∴a + 1 = 5
4 ，∴a = 1
4 ，∴函数y2 的表达式为y2 = 1
4 (x - 1)2 + 1 = 1
4 x2 - 1
2 x + 5
4 ．②设点B 的坐标为
n，1
4 (n-1)2+1
(n > 1)，∵AB ⎳x 轴，∴点A 的坐标为
2
4 (n-1)+1，1
4 (n-1)2+1
，∵AB ⎳CD ⎳x
5
轴，BC ⊥AB，
∴点C 的坐标为(n ，2(n - 1) 2 + 1) ，点D 的坐标为(2 2 (n - 1) + 1 ，2(n - 1) 2 + 1)．∴AB = n -
2
4 (n-1)+1
= ( n - 1 ) 1-
2
4
，CD = 2 2 ( n - 1 ) + 1 - n = ( n - 1 ) ( 2 2 - 1 ) ，∴CD
AB =
(n-1)(2 2-1)
(n-1) 1-
2
4
= 2 2-1
4-
2
4
= 2 2．
11. 已知一系列具备负整数系数形式规律的“负倍数二次函数”：y1 =-x2 - 2x，y2 =-2x2 - 4x，y3 =-3x2 -
6x，⋯
(1) 探索发现，所有“负倍数二次函数”都有同一条对称轴直线x =
．
(2) 求二次函数yn的解析式及其顶点坐标．
(3) 点(-1,10) 是否是“负倍数二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式，并
求出-2 ≤x ≤1 对应的y 的取值范围；若不是，请说明理由．
【解答】解：(1) ∵抛物线对称轴为直线x =- b
2a ，∴抛物线y1 =-x2 - 2x，y2 =-2x2 - 4x，y3 =-3x2 - 6x 的对
称轴为直线x =-1，故答案为：-1．(2) ∵y1=-x2- 2x =-x2- 2 × x，y2=-2x2- 4x =-2x2- 2 × 2x，
y3 =-3x2 - 6x =-3x2 - 2 × 3x，⋯∴yn =-nx2 - 2nx．把x =-1 代入yn =-nx2 - 2nx 得yn = n，∴二次函数
yn 的解析式为yn =-nx2 - 2nx，顶点坐标为(-1,n)．(3) 是，理由如下：把x =-1 代入yn =-nx2 - 2nx 得yn
= n，
当n = 10 时，n = 10，满足题意，∴点(-1,10) 是“负倍数二次函数”y10 =-10x2 - 20x 的顶点．当x ≤-1 时，
y 随x 的增大而增大；当x >-1 时，y 随x 的增大而减小；当x =-2 时，y =-10 × (-2)2- 20 × (-2) = 0；
当x =-1 时，y =-10 × (-1)2 - 20 × (-1) = 10；当x = 1 时，y =-10 × 12 - 20 × 1 =-30；∴当-2 ≤x ≤1 对
应的y 的取值范围为-30 ≤y ≤10．
12. 在平面直角坐标系中，对于函数y1 = ax2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，a ≠c，定义：函数y2 = cx2 + bx +
a 是y1 = ax2 + bx + c 的衍生函数，点M(a,c) 是函数y1 = ax2 + bx + c 的衍生点，设函数y1 = ax2 + bx +
c 与其衍生函数的图象交于A、B 两点(点A 在点B 的左侧)．
(1) 若函数y1 = ax2 + bx + c 的图象过点C(-1,3)、D(1, -5)，其衍生点M(1,c)，求函数y1 = ax2 + bx + c
的解析式；
(2) ①若函数y1= ax2+ bx + c 的衍生函数为y2= 2x - 1，求A、B 两点的坐标；
②函数y1= ax2+ bx + c 的图象如图所示，请在图中标出点A、B 两点的位置；
(3) 是否存在常数b，使得无论a 为何值，函数y1 = ax2 + bx + c 的衍生点M 始终在直线AB 上，若存在，
请求出b 的值；若不存在，请说明理由．
6
【解答】解：(1) ∵函数y1 = ax2 + bx + c 的衍生点M(1,c)，∴a = 1，∵函数y1= ax2 + bx + c 的图象过点C(-1,
3)、D(1, -5)，∴1-b+c=3
1+b+c=-5
，∴b=-4
c=-2
，∴y1 = x2 - 4x - 2．(2) ①∵函数y1 = ax2 + bx + c 的衍生函数
为y2= 2x - 1，
∴y1 =-x2 + 2x，∴-x2 + 2x = 2x - 1，∴x =-1 或x = 1，∴A(-1, -3)、B(1,1)，②由图象结合(1) 得y1 = x2 -
4x - 2，
∴y2=-2x2- 4x + 1，∴x2- 4x - 2 =-2x2- 4x + 1，∴x =-1 或x = 1，∴A(-1,3)、B(1, -5)，见图所示：
(3) ∵点M(a,c)，y1= ax2+ bx + c，y2= cx2+ bx + a，∴ax2+ bx + c = cx2+ bx + a，
∴x =-1 或x = 1 ，∴A(-1,a - b + c)、B (1,a + b + c) ，设直线AB 的表达式为y = kx + m ，则∴
-k+m=a-b+c
k+m=a+b+c
，
∴k=b
m=a+c
，∴y = bx + a + c，代入M(a,c) 得，c = ab + a + c，∴a(b + 1) = 0，∵a 是任意实数，∴b + 1 = 0，
∴b =-1．
13. 九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y = a1x2 + b1x + c1(a1 ≠0，a1，b1，c1 是常数) 与y = a2x2 + b2x + c2(a2 ≠0，a2，b2，c2
是常数) 满足a1 + a2 = 0，b1 = b2，c1 + c2 = 0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y = 2x2 - 3x + 1 的
“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y = 2x2 - 3x + 1 可知，a1 = 2，b1 =-3，c1 = 1，根据a1 + a2 = 0，b1 = b2，
c1+ c2= 0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
7
请参照小组同学的方法解决下面问题：
(1) 函数y = x2- 4x + 3 的“旋转函数”是
；
(2) 若函数y = 5x2+ (m - 1)x + n 与y =-5x2- nx - 3 互为“旋转函数”，求(m + n)2022的值；
(3) 已知函数y = 2(x - 1) (x + 3) 的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，点A，B，C 关于原点的
对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1 的二次函数与y = 2(x - 1) (x + 3) 互为“旋转函
数”．
【解答】(1) 解：由函数y = x2- 4x + 3 知，a1= 1，b1=-4，c1= 3，∵a1+ a2= 0，b1= b2，c1+ c2= 0，
∴a 2 =-1 ，b 2 =-4 ，c 2 =-3 ，∴y =-x 2 - 4x - 3 ，故答案为：y =-x 2 - 4x - 3；(2) 解：根据题意得：
m-1=-n
n-3=0
，解得m=-2
n=3
，∴(m + n)2022 = (3 - 2)2022 = 1；(3) 证明：化简y = 2(x - 1) (x + 3) 得y = 2x2 + 4x
- 6，则A、B、C 三点的坐标分别为A(1,0)，B(-3,0)，C(0, -6)，∴A、B、C 三点关于原点对称的点坐标分别
为A1(-1,0)，B1(3,0)，C1(0,6)，∴经过A1、B1、C1 三点的函数解析式为y =-2x2 + 4x + 6，∴y =-2x2 + 4x +
6 与原函数y = 2(x - 1) (x + 3) 是旋转函数．
14. 如果一个点的横纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点(1,2) 就是一
个定点．在一次函数y = kx - k + 2(k 是常数) 的图象中，由于y = kx - k + 2 = k(x - 1) + 2，当x - 1 =
0 即x = 1 时，无论k 为何值，y 一定等于2，我们就说直线y = kx - k + 2 一定经过定点(1,2)．
(1) 已知抛物线y = ax2- 1(a 是常数)，无论a 取何值，该抛物线都经过定点A．直接写出点A 的坐标．
(2) 已知抛物线y = mx2+ (2 - 2m)x + m - 2(m 是常数)．
①无论m 取何值，该抛物线都经过定点D．直接写出点D 的坐标．
②若在0 ≤x ≤1 的范围内，至少存在一个x 的值，使y > 0，求m 的取值范围．
【解答】解：(1) 抛物线y = ax2 - 1，当x = 0 时，y =-1，此时，无论a 为何值y 一定等于-1，∴抛物线y = ax2
- 1 一定经过定点(0, -1)，∴A(0, -1).(2) ①∵y = mx2 + (2 - 2m)x + m - 2 = m(x - 1)2 + 2(x - 1)，∴当x
- 1 = 0 时，y = 0，此时x = 1，∴当x = 1 时，无论m 为何值，y 一定等于0，∴抛物线经过定点(1,0)，
∴D(1,0)．②由①可知，该抛物线与x 轴的一个交点为(1,0) ，∵y = mx 2 + (2 - 2m)x + m - 2 =
m x- m-1
m
2
- 1
m ，
∴该抛物线的对称轴为直线x = m-1
m
，即直线x = 1 - 1
m ；当m > 0 时，如图1，设抛物线交y 轴于点B，
当x = 0 时，y = m - 2，∴B(0,m - 2)，∵抛物线的开口向上，且1 - 1
m < 1，∴点D 在抛物线的对称轴的右
侧，由图象可知，只需满足点B 在x 轴的上方，则在0 ≤x ≤1 的范围内，至少存在一个x 的值，使y > 0，
∴m - 2 > 0，∴m > 2；当m < 0 时，如图2，此时抛物线开口向下，且1 - 1
m > 1，∴点D 在抛物线的对称轴
的左侧，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点D 的右侧，由图象可知，在0 ≤x ≤1 的范围内，不存在使y > 0 的
x 值，综上所述，m 的取值范围是m > 2．
8
15. 在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y = ax2 + bx +
c(a ≠0) 图象上的点A(x,y) 的横坐标不变，纵坐标变为A 点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点
A1(x,x + y)．他们把这个点A：定义为点A 的“简朴”点．他们发现：二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠0) 所
有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y = ax2+ bx + c(a ≠0) 的“简朴曲线”．
例如，二次函数y = x2+ x + 1 的“简朴曲线”就是y = x2+ x + 1 + x = x2+ 2x + 1，请按照定义完成：
(1) 点P(1,2) 的“简朴”点是
；
(2) 如果抛物线y = ax2- 7x + 3(a ≠0) 经过点M(1, -3)，求该抛物线的“简朴曲线”；
(3) 已知抛物线y = x2 + bx + c 图象上的点B(x,y) 的“简朴点”是B1(-1,1)，若该抛物线的“简朴曲线”的
顶点坐标为(m,n)，当0 ≤c ≤3 时，求n 的取值范围．
【解答】解：(1) 由题意得点P(1,2) 的“简朴”点是(1,1 + 2)，即(1,3)，故答案为：(1,3)．
(2) 将(1, -3) 代入y = ax2 - 7x + 3 得-3 = a - 7 + 3，解得a = 1，∴y = x2 - 7x + 3，∴抛物线y = x2 - 7x +
3 的“简朴曲线”为y = x2- 7x + 3 + x = x2- 6x + 3．(3) ∵点B(x,y) 的“简朴点”是B(-1,1)，∴x=-1
x+y=1
，
解得x=-1
y=2
，∴点B 坐标为(-1,2)，∴1 - b + c = 2，即b = c - 1，∴y = x2 + (c - 1)x + c，∴该抛物线的“简
朴曲线”为y = x2 + cx + c = x+ c
2
2
+ c - c2
4 ，∵该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为(m,n)，∴m =
- c
2 ，n = c - c2
4 =- 1
4 (c - 2)2 + 1，∴c = 2 时，n = 1 为最大值，把c = 0 代入n = c - c2
4 得n = 0，把c = 3 代
入n = c - c2
4 得n = 3
4 ，∴当0 ≤c ≤3 时，0 ≤n ≤1．
16. 已知抛物线L1:y = ax2+ bx - 3 与x 轴交于点A(-3,0)，B(1,0)．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 若两个抛物线的交点在x 轴上，且顶点关于x 轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线
L1对称抛物线L2的解析式；
(3) 在(2) 的条件下，点M 是x 轴上方的抛物线L2 上一动点，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，设M 的横坐
标为m，记W = MN - 2ON ，求W 的最大值．
【解答】解：(1) 将点A(-3,0)，B(1,0) 代入y = ax2+ bx - 3，∴9a-3b-3=0
a+b-3=0
，解得a=1
b=2
，∴y = x2+ 2x - 3；
(2) 令y = 0，则x2 + 2x - 3 = 0，解得x =-3 或x = 1，∴抛物线与x 轴的交点为(-3,0) 或(1,0)，∵y = x2 + 2x
- 3 = (x + 1)2 - 4，∴顶点为(-1, -4)，∴顶点关于x 轴的对称点为(-1,4)，设抛物线L2 的解析式为y = n(x
+ 1)2 + 4，∵抛物线经过点(-3,0) 或(1,0)，∴n =-1，∴y =-x2 - 2x + 3；(3) ∵点M 是x 轴上方的抛物线L2
9
上一动点，∴-3 < x < 1，∵M 的横坐标为m，∴M(m, -m2 - 2m + 3)，N(m,0)，∴MN =-m2 - 2m + 3，ON
= |m|，当-3 < x ≤0 时，W = MN - 2ON =-m2- 2m + 3 + 2m =-m2+ 3，∴当m = 0 时，W 有最大值3；
当0 ≤x < 1 时，W = MN - 2ON =-m2 - 2m + 3 - 2m =-m2 - 4m + 3 =- (m + 2)2 + 7，∴当m = 0 时，W
有最大值3；
综上所述：W 的最大值为3．
17. 设二次函数y1，y2 的图象的顶点分别为(a,b)、(c,d)，当a =-2c，b =-2d，且开口方向相同时，则称y1 是
y2的“反倍顶二次函数”．
(1) 请写出二次函数y = x2+ x + 1 的一个“反倍顶二次函数”；
(2) 已知关于x 的二次函数y1 = x2 + nx 和二次函数y2 = x2 - 2nx + 1，若函数y1 恰是y1 + y2 的“反倍顶
二次函数”，求n 的值．
【解答】解：(1) ∵y = x2+ x + 1，∴y = x+ 1
2
2
+ 3
4 ，∴二次函数y = x2+ x + 1 的顶点坐标为- 1
2 ，3
4
，
∴二次函数y = x2 + x + 1 的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为1,- 3
2
，∴反倍顶二次函数的解析式为
y = (x - 1)2 - 3
2 = x2 - 2x - 1
2 ；(2)y1 = x2 + nx = x+ n
2
2
- n2
4 ，顶点坐标为- n
2 ，- n2
4
，y1 + y2 = x2 +
nx + x2 - 2nx + 1 = 2x2 - nx + 1 = 2 x- n
4
2
+ 1 - n2
8 ，顶点坐标为
n
4 ，1- n2
8
，由于函数y1 恰是y1 + y2 的
“反倍顶二次函数”，则- n2
4 =-2 × 1- n2
8
，解得：n =±2．
18. 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1) 请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2) 已知关于x 的二次函数y1 = 2x2 - 4mx + 2m2 + 1 和y2 = ax2 + bx + 5，其中y1 的图象经过点A(1,1)，
若y1+ y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0 ≤x ≤3 时，y2的最大值．
【解答】解：(1) 设顶点为(h,k) 的二次函数的关系式为y = a(x - h)2 + k，当a = 2，h = 3，k = 4 时，二次函数的
关系式为y = 2(x - 3)2 + 4．∵2 > 0，∴该二次函数图象的开口向上．当a = 3，h = 3，k = 4 时，二次函数的
关系式为y = 3(x - 3)2 + 4．∵3 > 0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y = 2(x - 3)2 + 4 与y = 3
(x - 3)2 + 4 顶点相同，开口都向上，∴两个函数y = 2(x - 3)2 + 4 与y = 3(x - 3)2 + 4 是“同簇二次函数”．∴
符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y = 2(x - 3)2 + 4 与y = 3(x - 3)2 + 4(答案不唯一)．(2) ∵y1 的图
象经过点A(1,1)，∴2 × 12 - 4 × m × 1 + 2m2 + 1 = 1．整理得：m2 - 2m + 1 = 0．解得：m1 = m2 = 1．∴y1 =
2x2- 4x + 3 = 2(x - 1)2+ 1．
∴y1 + y2 = 2x2 - 4x + 3 + ax2 + bx + 5 = (a + 2)x2 + (b - 4)x + 8 ∵y1 + y2 与y1 为“同簇二次函数”，∴y1 + y2
= (a + 2) (x - 1)2+ 1 = (a + 2)x2- 2(a + 2)x + (a + 2) + 1．其中a + 2 > 0，即a >-2．∴b-4=-2(a+2)
8=(a+2)+1
．
10
解得：a=5
b=-10
．∴函数y2 的表达式为：y2 = 5x2 - 10x + 5．∴y2 = 5x2 - 10x + 5 = 5(x - 1)2．∴函数y2 的
图象的对称轴为x = 1．∵5 > 0，∴函数y2的图象开口向上．①当0 ≤x ≤1 时，∵函数y2的图象开口向上，
∴y2 随x 的增大而减小，∴当x = 0 时，y2 取最大值，最大值为5 × (0 - 1)2 = 5，②当1 ≤x ≤3 时，∵函数y2
的图象开口向上，∴y2 随x 的增大而增大，∴当x = 3 时，y2 取最大值，最大值为5(3 - 1)2 = 20．综上所述：当
0 ≤x ≤3 时，y2的最大值为20．
19. 在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为平衡点．例如：点(1,1)，(- 2 ，
- 2)，⋯⋯都是平衡点．
(1) 判断函数y = 2x + 1 的图象上是否存在平衡点，若存在，求出其平衡点的坐标；
(2) 若二次函数y = ax2+ 6x + c(a ≠0) 的图象上有且只有一个平衡点
5
2 , 5
2
．
①求a，c 的值；
②若1 ≤x ≤m 时，函数y = ax2 + 6x + c + 1
4 (a ≠0) 的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范
围．
【解答】解：(1) 存在和谐点，理由如下，设函数y = 2x + 1 的和谐点为(x,x)，∴2x + 1 = x，解得x =-1，
∴和谐点为(-1, -1)；(2) ①∵点
5
2 , 5
2
是二次函数y = ax2 + 6x + c(a ≠0) 的和谐点，∴5
2 = 25
4 a + 15 +
c，
∴c =- 25
4 a - 25
2 ，∵二次函数y = ax2 + 6x + c(a ≠0) 的图象上有且只有一个和谐点，∴ax2 + 6x + c = x 有
且只有一个根，∴△= 25 - 4ac = 0，∴a =-1，c =- 25
4 ；②由①可知y =-x2 + 6x - 6 =- (x - 3)2 + 3，∴抛
物线的对称轴为直线x = 3，当x = 1 时，y =-1，当x = 3 时，y = 3，当x = 5 时，y =-1，∵函数的最大值为3，
最小值为-1；当3 ≤m ≤5 时，函数的最大值为3，最小值为-1．
20. 定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相
等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．
(1) 如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是A(-1,2)，B(-1, -1)，C(3, -1)，D(3,2)，在点M1(1,1)，M2(2,
2)，M3(3,3) 中，是矩形ABCD“梦之点“的是
；
(2) 点G(2,2) 是反比例函数y1 = k
x 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H 的坐
标是
，直线GH 的解析式是y2=
，y1> y2时，x 的取值范围是
；
(3) 如图②，已知点A，B 是抛物线y =- 1
2 x2 + x + 9
2 上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点．连接AC，
AB，BC，判断ΔABC 的形状，并说明理由．
11
【解答】解：(1) ∵矩形ABCD 的顶点坐标分别是A(-1,2)，B(-1, -1)，C(3, -1)，D(3,2)，∴矩形ABCD 的
“梦之点”(x,y) 满足-1 ≤x ≤3，-1 ≤y ≤2，∴点M1(1,1)，M2(2,2) 是矩形ABCD 的“梦之点”，点M3(3,3)
不是矩形ABCD 的“梦之点”，故答案为：M1，M2；(2) ∵点G(2,2) 是反比例函数y1 = k
x 图象上的一个“梦之
点”，∴把G(2,2) 代入y1 = k
x 得k = 4，∴y1 = 4
x ，∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，∴“梦之点”都在y =
x 的图象上，联立y1= 4
x
y=x
，解得x=2
y=2
或x=-2
y=-2
，∴H(-2, -2)，∴直线GH 的解析式为y2 = x，∴y1 > y2 时，
x 的取值范围是x <-2 或0 < x < 2，故答案为：H(-2, -2)，x，x <-2 或0 < x < 2；(3)ΔABC 是直角三角
形，理由：∵点A，B 是抛物线y =- 1
2 x 2 + x + 9
2 上的“梦之点”，∴
y=- 1
2 x2+x+ 9
2
y=x
，解得
x=3
y=3
或
x=-3
y=-3
，∴A(3,3)，B(-3, -3)，∵y =- 1
2 x2 + x + 9
2 =- 1
2 (x - 1)2 + 5，∴顶点C(1,5)，∴AC2 = (3 - 1)2 +
(3 - 5)2 = 8，AB2 = (-3 - 3)2 + (-3 - 3)2 = 72，BC 2 = (-3 - 1)2 + (-3 - 5)2 = 80，∴BC 2 = AC 2 + AB2，∴
ΔABC 是直角三角形．
21. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数) 侧重研究物体数量方面，具有精确性，形(几何) 侧重
研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．
数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y = (4a + 2)x2 +
(9 - 6a)x - 4a + 4(实数a 为常数) 的图象为图象T．
(1) 求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；
(2) 是否存在整数a，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明
理由．
【解答】(1) 证明：当a =- 1
2 时，函数表达式为y = 12x + 6，令y = 0 得x =- 1
2 ，∴此时函数y = (4a + 2)x2 +
(9 - 6a)x - 4a + 4(实数a 为常数) 的图象与x 轴有交点；当a ≠1
2 时，y = (4a + 2)x2 + (9 - 6a)x - 4a + 4 为
二次函数，∵△= (9 - 6a)2 - 4(4a + 2) (-4a + 4) = 100a2 - 140a + 49 = (10a - 7)2 ≥0，∴函数y = (4a + 2)x2
+ (9 - 6a)x - 4a + 4(实数a 为常数) 的图象与x 轴有交点；综上所述，无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有
公共点；(2) 解：存在整数a，使图象T 与x 轴的公共点中有整点，理由如下：当a =- 1
2 时，不符合题意；当a ≠
12
1
2 时，在y = (4a + 2)x2 + (9 - 6a)x - 4a + 4 中，令y = 0 得：0 = (4a + 2)x2 + (9 - 6a)x - 4a + 4，解得x =
- 1
2 或x = 4a-4
2a+1 ，∵x = 4a-4
2a+1 = 2 -
6
2a+1 ，a 是整数，∴当2a + 1 是6 的因数时，4a-4
2a+1 是整数，∴2a +
1 =-6 或2a + 1 =-3 或2a + 1 =-2 或2a + 1 =-1 或2a + 1 = 1 或2a + 1 = 2 或2a + 1 = 3 或2a + 1 = 6，解
得a =- 7
2 或a =-2 或a =- 3
2 或a =-1 或a = 0 或a = 1
2 或a = 1 或a = 5
2 ，∵a 是整数，∴a =-2 或a =
-1 或a = 0 或a = 1．
22. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P 是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P 分别作x 轴、y
轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B 为顶点的矩形OAPB 的周长与面积的数值相等时，则称点
P 是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】
(1) 点C(2,3)
“美好点”(填“是”或“不是”)；若点D(4,b) 是第一象限内的一个“美好点”，则b =
；
【深入探究】
(2) ①若“美好点”E(m，6) (m > 0) 在双曲线y = k
x (k ≠0，且k 为常数) 上，则k =
；
②在①的条件下，F(2,n) 在双曲线y = k
x 上，求SΔEOF 的值；
【拓展延伸】
(3) 我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P(x,y) 是第一象限内的“美好点”．
①求y 关于x 的函数表达式；
②在图2 的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数
(x > 0) 的图
象平移得到；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是
；(多项选择，全部选对的得2 分，部分选对的得1
分，有选错的不得分)
A. 图象与经过点(2,2) 且平行于坐标轴的直线没有交点；
B. y 随着x 的增大而减小；
C. y 随着x 的增大而增大；
D. 图象经过点10, 3
2
；
④对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2 - x) ⋅(y - 2) 是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，
请说明理由．
13
【解答】解：(1) ∵(2 + 3) × 2 = 10 ≠2 × 3 = 6，∴点C(2,3) 不是“美好点”，∵点D(4,b) 是第一象限内的一个
“美好点”，∴2 × (4 + b) = 4b，解得：b = 4，故答案为：不是，4；(2) ①∵E(m，6) (m > 0) 是“美好点”，∴2 ×
(m + 6) = 6m，解得：m = 3，∴E(3,6)，将E(3,6) 代入双曲线y = k
x ，得k = 18，故答案为：18；②∵F(2,n) 在
双曲线y = k
x 上，∴n = 18
2 = 9，∴F(2,9)，设直线EF 的解析式为：y = ax + b，∴2a+b=9
3a+b=6
，解得a=-3
b=15
，
∴直线EF 的解析式为：y =-3x + 15，令直线EF 与x 轴交于点G，当y = 0 时，-3x + 15 = 0，解得：x = 5，∴
G(5,0)，画出图如图所示：∴SΔEOF = SΔFOG - SΔEOG = 1
2 × 5 × 9 - 1
2 × 5 × 6 = 15
2 ；(3) ①∵点P(x,y) 是第一
象限内的“美好点”，∴2(x + y) = xy，化简得：y =
2x
x-2 =
4
x-2 + 2，∵第一象限内的点的横坐标为正，∴
x>0
2x
x-2 >0
x-2≠0
，解得：x > 2，∴y 关于x 的函数表达式为：y =
4
x-2 + 2(x > 2)；②画出草图如图所示：该图象可
由y = 4
x 向右平移2 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到，故答案为：y = 4
x ；③由图象可得：A．图象
与经过点(2,2) 且平行于坐标轴的直线没有交点，故A 正确，符合题意；B．由图象可知y 随着x 的增大而减
小，故B 正确，符合题意；C．y 随着x 的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意；D．当x = 10 时，y =
5
2 ，所以图象经过点10, 5
2
，故该选项说法错误，不符合题意
故选：AB；④“对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2 - x) ⋅(y - 2) 为定值．”∵y =
4
x-2 + 2，∴(2 - x) (y -
2) = (2 - x)
4
x-2 +2-2
=-4，∴对于图象上任意一点(x,y)，代数式(2 - x) ⋅(y - 2) 是为定值，定值为-4．
