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专题34 最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化
归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆
问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.阿氏圆模型...........................................................................................................................................1
..................................................................................................................................................12
模型1.阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P 满足 PA/PB=k（k 为常数，且
k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为
阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
A
B
P
O
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如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB（即
），
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r（即
），∵
，∴
，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴
，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3 所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在
于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一
内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中
P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
例1．（2024·安徽合肥·二模）在
中，
，点D 是平面上一点，且
，
连接
，则下列说法正确的是（ ）
A．
长度的最大值是9
B．
的最小值是
C．
D．
面积的最大值是40
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例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个
动点，则
的最大值为_______．
A
B
C
D
P
例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4 的正方形，内切圆记为⊙O，P 是⊙O 上一动点，则
PA＋PB 的最小值为________．
例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O 半
径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P 在弧MN 上移动，连接PA，PB，则3PA+PB 的最小值为 ___．
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例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在
中，
，
，
，
在以
为圆
心3 为半径的圆上，则
的最小值为 ．
例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在
中，
，
，
，
、
分别是边
、
上的两个动点，且
，
是
的中点，连接
，
，则
的最小值为 ．
例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6 的正方形
中，M 为
上一点，且
，N 为边
上一动点．连接
，将
沿
翻折得到
，点P 与点B 对应，连接
，则
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的最小值为 ．
例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB 中，已知PA=2，AB=4，Q 为AB 上一点
且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙A 的半径为2，点P
是⊙A 上的一个动点，求2PC+PB 的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，
∠A=60°，⊙A 的半径为2，点P 是⊙A 上的一个动点，求2PC−PB 的最大值．
例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点
．抛物线的对称轴
与经过点
的直线
交于点
，与
轴交于点
．
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(1)求直线
及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点
，使得
是以
为直角边的直角三
角形?若存在，求出所有点
的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点
为圆心，画半径为2 的圆，点
为
上一个动点，请求出
的最小值．
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形
中，已知
，
，E 为
边上一动点，将
沿
翻折到
的位置，点A 与点F 重合，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
2．（2024 年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形
中
，
，点
是矩形
内部一个
动点，且
，连接
，则
三分之二
的最小值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形
中，已知
，
，E 为
边上一动点，将
沿
翻折到
的位置，点A 与点F 重合，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
4．（2024·山东泰安·二模）如图，在
中，
，
，
，以
为圆心，为
半径作
，
为
上一动点，连接
、
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形
中，
，点P 为边
的中点，点E 在
边
上，连接
，点F 为
上的动点，则
的最小值为 ．
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6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形
边长为8，
为
中点，
为
上的动点，
为
上的点，且
，连接
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2 的正方形
中，E、F 分别为
上的动点，
，连接
交于点P，则
的最小值为 ．
8.（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形
中，点
，
分别在边
，
上（不与顶点重
合），且满足
，连接
，
交于点
．
，
分别是边
，
的中点，连结接
，
．
若正方形的边长为，则
的最小值为 ．
9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径
AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋
EF 的最小值为
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．
10．（23-24 九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形
的边长是4，
的半径是2，点E 是
上
一动点，连接
，
．则
的最小值= ．
11．（2024 九年级·广东·专题练习）如图，在
中，
，
的半径为2，D 是
上一动点，点E 在
上，
，连接
，则
的最小值
12．（2024·四川·校考一模）如图，
为
的直径，
，点C 与点D 在
的同侧，且
，
，
，
，点P 是
上的一动点，则
的最小值为 ．
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13．（23-24 九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰
中，
，
，
是
上
一点，以
为圆心的半圆与
、
均相切，
为半圆上一动点，连
、
，如图，则
的最
小值是 ．
14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2 的正方形
中，E、F 分别为
上的动点，
，连接
交于点P，则
的最小值为 ．
15．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6 为半径
的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD 的最小值是 .
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16．（23-24 九年级上·江苏南京·期末）如图，在
中，
，
，
，D、E 分
别是边
、
上的两个动点，且
，P 是
的中点，连接
，
，则
的最小值为 ．
17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在
中，
，
，
，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP、BP，求
的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB 上取一点D，使
，则
．又
，所以
∽
．所以
．
所以
，所以
．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：
的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求
的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，
，
，
，
，P 是
上一点，
求
的最小值．
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18．（2023 春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P 在半径为2 的⊙O 上，求
的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA 上取一点C 使得OC=1，这样可得
，又因为
∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以
，得
所以
．
又因为
，所以
最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将
转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出
CP+ BP 的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P 是半径为6 的⊙O 上一动点，求
最小
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值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D 为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD 面
积的最大值为 ．
19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点
到
的三个顶点的距离分别为
、
、
，若有
，则称点
为
关于点
的勾股点．
(1)如图2，在
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E 均在小正方形的格点上，则
点
是
关于点______的勾股点；若点
在格点上，且点
是
关于点
的勾股点，请在方格纸
中画出
；(2)如图3，菱形
中，
与
交于点
，点
是平面内一点，且点
是
关于
点
的勾股点．①求证：
；②若
，
，则
的最大值为______（直接写出结果）；
③若
，
，且
是以
为底的等腰三角形，求
的长．
(3)如图4，矩形
中，
，
，
是矩形
内一点，且点
是
关于点
的勾股点，
那么
的最小值为______（直接写出结果）．
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20．（23-24 九年级上·重庆·阶段练习）如图，在
中，
，
交
于点
，
为
线段
上一动点，连接
．(1)如图1，连接
，若
是
的角平分线且
时，求
的度数．(2)如图2，将线段
绕点
按逆时针方向旋转
，得到线段
，连接
交线段
于点
，连接
，若点
为线段
的中点，求证：
．(3)如图3，在（2）的基础上，
若
，将
绕点
顺时针旋转
角度
，旋转后
对应
，点
对应的点为
，连接
，
，
．旋转过程中，当线段
与线段
存在交点
且
时，记
；当
取得最小值时，记为
．请直接
写出
的值．
