2026 年高考数学基础知识篇-核心知识背记手册
（知识清单）（全国通用）
目录
基础知识背记01 集合................................................................................................3
基础知识背记02 常用逻辑用语................................................................................5
基础知识背记03 复数................................................................................................7
基础知识背记04 平面向量........................................................................................9
基础知识背记05 等式与不等式的性质..................................................................14
基础知识背记06 基本不等式..................................................................................15
基础知识背记07 一元二次不等式与其他常见不等式的解法..............................16
基础知识背记08 三角函数与诱导公式、三角恒等变换......................................17
基础知识背记09 三角函数的图象及性质..............................................................18
基础知识背记10 解三角形......................................................................................20
基础知识背记11 函数的概念及其表示..................................................................22
基础知识背记12 函数的基本性质..........................................................................23
基础知识背记13 幂函数与二次函数......................................................................26
基础知识背记14 指数与指数函数..........................................................................28
基础知识背记15 对数与对数函数..........................................................................30
基础知识背记16 函数的图象..................................................................................32
基础知识背记17 函数与方程..................................................................................34
基础知识背记18 函数模型及其应用......................................................................35
基础知识背记19 导数的概念、运算及几何意义..................................................36
基础知识背记20 导数与函数的单调性..................................................................38
基础知识背记21 导数与函数的极值、最值..........................................................39
基础知识背记22 数列的概念及其表示..................................................................40
基础知识背记23 等差数列及其前n 项和..............................................................41
基础知识背记24 等比数列及其前n 项和..............................................................44
基础知识背记25 数列求和综合..............................................................................46
基础知识背记26 基本立体图形、简单几何体的表面积及体积..........................48
基础知识背记27 空间中点线面位置关系..............................................................50
基础知识背记28 空间中的平行关系（线线平行、线面平行、面面平行）......53
基础知识背记29 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直）......54
基础知识背记30 空间向量的概念及其运算、空间向量法求空间角与空间距离
.......................................................................................................................................56
基础知识背记31 纯几何法求空间角与空间距离..................................................60
基础知识背记32 直线与圆......................................................................................62
基础知识背记33 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）......................................66
基础知识背记34 排列组合与二项式定理..............................................................71
基础知识背记35 概率统计......................................................................................72
基础知识背记01 集合
知识点1 元素与集合
1．集合的概念
一般地，我们把指定的某些对象的全体称为
，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个
对象叫做这个集合的
，通常用小写字母a，b，c，…表示.
2．集合与元素的关系
一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a 在集合中A 中，就说元素
a
集合A，记作
，如果元素a 在不集合中A 中，就说元素a
集合A，记作
.
3．集合的分类
含有有限个元素的集合叫作
，含有无限个元素的集合叫作
，不含任何元素的集合叫作
，记作
.
4．元素与集合
（1）集合中元素的特性：
、
、
.
（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
（3）常用数集及其记法：
数
集
非负整数集（或自然数集）
正整
数集
整数集
有
理
数
集
实数
集
复数
集
符
号
N*或（N
＋）
Z
Q
R
C
知识点2 集合的基本关系
文字语言
符号语言
基本关系
[来源:学
科网ZXXK]
子集
集合A 中任意一个元素都是
集合B 的元素
[来源:Zxxk.Com]
______
真子集
集合A 是集合B 的子集，且
集合B 中至少有一个元素不
在集合A 中
相等
集合A，B 中元素相同或集
合A，B 互为子集
空集
空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的_________
且
必记结论：
（1）若集合A 中含有n 个元素，则有__
__
个子集，有
个非空子集，有
个真子集，有
个非空真子集．
（2）子集关系的传递性，即
.
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__
___
的
情况，否则会造成漏解.
知识点3 集合的交集、并集、补集运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
并
集
由所有属于集合A
集合B 的元素组成的集合
{x|x∈A，或
x∈B}
交
集
由所有属于集合A
集合B 的元素组成的集合
{x|x∈A，且
x∈B}
补
集
由全集U 中
集合A 的所有元素组成的集合
{x|x∈U，且
x∉A}
知识点4 集合的运算性质
1．交集的性质：
①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝
； ④A∩＝
；⑤A∩B B∩A.
2．并集的性质：
①A∪B
A；②A∪B
B；③A∪A＝
；④A∪＝
；⑤A∪B B∪A.
3．补集的性质：
①∁U(∁UA)＝
； ②∁UU＝
；③∁U ＝
；
④A∩(∁UA)＝ ；⑤A (
∪∁UA)＝
；
⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)
(∁UB)；
⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)
(∁UB)．
基础知识背记02 常用逻辑用语
知识点1 命题的概念
（1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断
的
叫做命题．
（2）分类：判断为
的语句是真命题，判断为
的语句是假命题．
（3）结构形式：“若
，则
”“如果
，那么
”等形式的命题中，
称为命题的条件，
称为命题的结论．
知识点2 充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的定义
一般地，“若
，则
”为真命题，是指由条件
通过推理可以得出
。
由
可推出
，记作
，并且说
是
的
，
是
的
。
如果“若
，则
”为假命题，是指由条件
不能推出结论
，记作
，则
不是
的充分条件，
不是
的必要条件。
2．充分性和必要性的关系
在“若
，则
”中，
若：
，则
是
的充分条件，
是
的必要条件
若：
，则
是
的充分条件，
是
的必要条件
也就是说：在“若
，则
”中，
条件
结论，
；
结论
条件，
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的
条件
p⇒q 且q
p
p 是q 的
条件
p
q 且q⇒p
p 是q 的
条件
p⇔q
p 是q 的
条件
p
q 且q
p
知识点3 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用
设命题
对应集合
，命题
对应集合
若
，即
，
是
的充分条件（充分性成立）
若
，即
，
是
的必要条件（必要性成立）
若
，即
，
，
是
的
若
，即
，
，
是
的
若
，即
，
，
是
的
知识点4 全称量词与存在量词
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
，并用符号“∀”表
示. 含有全称量词的命题，叫做
. 全称量词命题“对M 中任意一个x，p（x）成立”可
用符号简记为
.
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做
，并用符号
“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做
. 存在量词命题“存在M 中的元素x，p（x）成
立”可用符号简记为
.
2．全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p:∀x∈M，p( x)，它的否定
¬ p：
．
全称量词命题的否定是存在量词命题．
（2）存在量词命题的否定
对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题p:∃x∈M，p( x)，它的否定
¬ p：
．
存在量词命题的否定是全称量词命题．
（3）在书写这两种命题的否定时，相应地
变为全称量词，全称量词变为
．
基础知识背记03 复数
知识点1 复数的定义
复数：一般地，当a 与b 都是实数时，称a+bi为 ，复数一般用小写字母z 表示，即
z =a+bi(a,b∈R)，其中a 称为z 的 ，b 称为z 的 . 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一
确定。
知识点2 虚数单位与周期
i 叫做虚数单位，规定i
2= ；虚数单位可以与实数进行
特别地，i
4 n+1= ，i
4 n+2= ，i
4 n+3= i
4 n= ，其中n∈Z．
知识点3 复数的分类
对于复数z =a+bi(a,b∈R)， 复数z =a+bi(a,b∈R)，z为实数⇔ ；z为虚数⇔
；z为纯虚数⇔ ；z为非纯虚数数⇔ ．
即复数z =a+bi(a,b∈R)
知识点4 复数相等
如果a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c +d i ⇔ ．特别地，当a，b都是实数时，a +bi=0
的充要条件是a=0且b=0．
知识点5 共轭复数及其性质
如果两个复数的实部 ，而虚部 时，则称这两个复数互为共轭复数．复数z 的共轭复
数用z表示，即如果z =a+bi,a,b∈R，那么z = ．
共轭复数的性质
设z的共轭复数为z，则
（1）z z = =| z|
2．
（2）z
2=( z)
2．
（3）z1 z2= z1 z2．
知识点6 复平面及复数的几何意义
复平面： 叫做复平面，这里的x轴叫做 ，y轴叫做 .
注意：（1）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0.
（2）每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复
数和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的.
复平面上两点P，Q 关于x轴对称⇔它们所对应的复数相互 ．
知识点7 复数的向量表示
复平面内的点Z(a,b)表示复数z =a+bi（a、b∈R），连接OZ，向量⃗OZ由点Z 唯一确定；反过来，点
Z 也可以由向量⃗OZ唯一确定.这样，复数集C中的元素和复平面上以原点为起始点的向量⃗OZ也是
对应的（实数0 与零向量对应）.
知识点8 复数的模
复数z =a+bi（a、b∈R）在复平面上所对应的点Z(a,b)到原点的距离 叫做复数z 的模
（或绝对值），记作| z|，由模的定义可知| z|=|a+bi|= .
复数的模与该复数所对应的向量的模是 的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到
的距离.
知识点9 复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi，z2=c +d i (a,b,c ,d ∈R)，则
（1）加法：z1+ z2=(a+bi)+(c +d i)= ．
（2）减法：z1−z2=(a+bi)+(c +d i)= ．
（3）乘法：z1⋅z2=(a+bi)⋅(c +d i)= ．
（4）除法：z1
z2
= a+bi
c +d i = (a+bi)(c−d i)
(c +d i)(c−d i) = ac+bd
c
2+d
2 + bc−ad
c
2+d
2 i(c +d i≠0)．
知识点10 复数乘法的运算律
（1）对任意复数z1，z2，z3，有
交换律
z1 z2=
结合律
(z1 z2)z3=
乘法对加法的分配律
z1(z2+ z3)=
（2）n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作z
n，即z
n= z× z×⋯× z
⏟
n个
．可以验
证，当m，n均为正整数时，z
m z
n= ，(z
m)
n= ，(z1 z2)
n= ．
知识点11 复数的三角形式
定义：任何一个复数z =a+bi都可以表示成 的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负
半轴为始边，向量⃗OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z =a+bi的 ． 叫
做复数z =a+bi的三角表示式，简称三角形式．
乘法运算法则
设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1 z2= ．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等于各复数的辐角的
．
除法运算法则
设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+)isinθ2)，且z2≠0，则
z1
z2
= ．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 ，商的辐角等于被除数
的辐角减去除数的辐角所得的 ．
知识点12 一元二次方程的根及韦达定理
实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0（a、b、c∈R，a≠0）中的Δ=b
2−4 ac为根的判别式，那么
（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实根−b± ❑√Δ
2a
；
（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实根（二重根）−b
2a；
（3）Δ<0⇔方程有一对共轭虚根−b± ❑√−Δi
2a
．
在（3）的情况下，方程的根与系数的关系（韦达定理）仍然成立，即 ．
基础知识背记04 平面向量
知识点1 平面向量的定义与表示
（1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量．
（2）向量的表示
①表示工具——有向线段．
有向线段包含三个要素： ， ， ．
②表示方法：
向量可以用 表示，向量AB
→的大小称为向量AB
→的 (或称模)，记作 .向量可以用字母
a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB
→，CD
→.
知识点2 平面向量的有关概念
(1)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
(2)单位向量：长度等于1 个单位的向量．
(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点3 平面向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
加法
求两个向量和的运算
法则
法则
减法
求⃗a与⃗b的相反向量−⃗b的和的
运算
法则
数乘
求实数λ与向量⃗a的积的运算
（1）|λ⃗a)=|λ)|⃗a)；
（2）当λ>0时，λ⃗a的方向与⃗a的方向 ；当
λ<0时，λ⃗a的方向与⃗a的方向 ；当λ =0时，
λ⃗a=⃗0
知识点4 平面向量线性运算的运算律
1.向量加法的运算律
（1）交换律：⃗a+⃗b= ．
（2）结合律：(⃗a+⃗b)+⃗c = ．
2.向量减法的运算律
几何意义：⃗a−⃗b可以表示为从向量⃗b的 指向向量⃗a的 的向量．
定义：⃗a−⃗b=⃗a+(−⃗b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 向量．
3.|⃗a−⃗b)与|⃗a)，|⃗b)之间的关系
(1)对于任意向量⃗a，⃗b，都有 ≤|⃗a−⃗b)≤ ；
(2)当⃗a，⃗b共线，且同向时，有|⃗a−⃗b)= 或 ；
(3)当⃗a，⃗b共线，且反向时，有|⃗a−⃗b)= ．
4.数乘运算律
一般地，设⃗a，⃗b是任意向量，x，y 是任意实数，则如下运算律成立：
（1）对实数加法的分配律：(x + y)⃗a= ．
（2）对实数乘法的结合律：x ( y⃗a)= ．
（3）对向量加法的分配律：x(⃗a+⃗b)= ．
知识点5 平面向量共线定理
向量⃗a(⃗a≠⃗0)与⃗b共线的充要条件是：存在 实数λ，使 ．
给定四点O , P , A ,B，其中O , A ,B为不共线的三点，且⃗OP = x⃗OA + y⃗OB，则A , P ,B三点共线的充要条
件是 ．
知识点6 平面向量基本定理
条件
e
→
1，e
→
2是同一平面内的两个
结论
对于这一平面内的任一向量a
→
，有且只有一对实数λ1，λ2，使
基底
若e
→
1，e
→
2不共线，把{e
→
1, e
→
2)叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
知识点7 平面向量的坐标表示
设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量⃗v =⃗OP都可用从原点O出发的有向线段⃗OP表示．原点O到
E1(1,0)，E2(0,1)的向量⃗e1=⃗O E1，⃗e2=⃗O E2分别是x轴正方向和y轴正方向上的单位向量，组成标准正
交基，则⃗v =⃗OP = x⃗e1+ y⃗e2的坐标 视为⃗v在这组基下的坐标，等于向量终点P( x , y)的坐标．
知识点8 平面向量线性运算的坐标表示
已知⃗a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2)，则：
（1）⃗a+⃗b= ，⃗a−⃗b= ，
即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
（2）若点A 坐标为(x1, y1)，点B 坐标为(x2, y2)，O 为坐标原点，
则⃗OA = ，⃗OB = ，⃗AB =⃗OB−⃗OA =(x2, y2)−(x1, y1)= ，即一个向量的坐标等于
表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 ；
(4)设向量a
→
=(x1, y1)，则λ a
→
= ．
(5)中点坐标公式：若P1, P2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段P1 P2的中点P 的坐标为(x , y)，则
{
x = x1+ x2
2
y = y1+ y2
2 )
知识点9 平面向量平行（共线）的坐标表示
设⃗a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2)，其中⃗b≠⃗0．向量⃗a，⃗b(⃗b≠⃗0)共线的充要条件是 ．
知识点10 平面向量的数量积的定义及性质
（1）数量积的定义
一般地，当⃗a与⃗b都是非零向量时，称 为向量⃗a与⃗b的数量积（也称内积），记作⃗a⋅⃗b，即⃗
a⋅⃗b= ．
（2）数量积的性质
①|⃗a⋅⃗b|≤|⃗a||⃗b|
②⃗a⋅⃗a= ，即|⃗a|= ❑√⃗a⋅⃗a
③⃗a⊥⃗b⇔ ．
知识点11 平面向量的夹角及其公式
定义：已知两个非零向量⃗a,⃗b，O 是平面上的任意一点，作⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，则∠AOB =θ (0≤θ≤π)叫
做向量⃗a与⃗b的夹角．
注意：①当θ =0时，向量⃗a与⃗b ；
②当θ =π
2 时，向量⃗a与⃗b ，记作⃗a⊥⃗b；
③当θ =π时，向量⃗a与⃗b ．
注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量⃗CA与⃗AB
的夹角．作⃗AD =⃗CA，则∠BAD才是向量⃗CA与⃗AB的夹角．
向量的夹角公式： .
知识点12 平面向量数量积的运算律
已知向量⃗a,⃗b,⃗c和实数λ，则
（1）交换律： ；
（2）数乘结合律： ；
（3）分配律： ．
注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若⃗a,⃗b,⃗c均为非零向量，且⃗a⋅⃗c =⃗b⋅⃗c，但得不到⃗a=⃗b．
（2）(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c≠⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)，因为⃗a⋅⃗b，⃗b⋅⃗c是数量积，是实数，不是向量，所以(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c与向量⃗c共
线，⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)与向量⃗a共线，因此，(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c =⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)在一般情况下不成立．
（3）推论：(⃗a±⃗b)
2=⃗a
2±2⃗a⋅⃗b+⃗b
2．
知识点13 平面向量数量积中的坐标运算
若⃗a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2)，⃗a与⃗b的夹角为θ.则：
（1）⃗a⋅⃗b= ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ；
（2）|⃗a|
2= ，或|⃗a|= ；
（3）⃗a⊥⃗b⇔ =0；
（4）若⃗a，⃗b为非零向量，则cosθ = = .
知识点14 投影向量
向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，⃗AB = a，⃗CD = b，作如下的变换：过⃗AB的起点A和终点B，
分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到⃗A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，⃗
A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
基础知识背记05 等式与不等式的性质
知识点1 等式的性质
性质1 如果
，那么
；
性质2 如果
，
，那么
；
性质3 如果
，那么
；
性质4 如果
，那么
；
性质5 如果
，
，那么
；
知识点2 比较两个实数大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
；
；
另外，若
，则有
；
；
.
知识点3 不等式的性质
性质
别名
性质内容
1
对称性
a>b⇔b
a
2
传递性
a>b,b>c⇒a c
3
可加性
a>b⇔a+c b+c推论1：a+b>c⇔a>c−b；
推论2：a>b,c>d ⇒a+c>b+d
4
可乘性
a>b,c>0⇒ac bc a>b,c<0⇒ac<bc；
推论3：a>b>0,c>d >0⇒ac>bd；
推论4：a>b>0⇒a
n b
n（n∈N，n≥2）；
推论5：a>b>0⇒❑√a>❑√b
5
取倒数
a>b,ab>0⇒1
a
1
b a>b,ab<0⇒1
a > 1
b
基础知识背记06 基本不等式
知识点1 基本不等式
如果a≥0,b≥0，那么a+b
2
≥❑√ab（当且仅当
时取“=”）.
说明：
①对于非负数a,b，我们把a+b
2
称为a,b的
，❑√ab称为a,b的
.
②我们把不等式
❑√ab≤a+b
2
(a≥0,b≥0)称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数
的几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当a=b时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当
时，有
❑√ab= a+b
2
；另一方面当
时，有a=b.
④ 结构特点：和式与积式的关系.
知识点2 利用基本不等式求最值
①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当x = y时，和x + y有最小值
；
②已知x，y是正数，如果和x + y等于定值S，那么当且仅当x = y时，积xy有最大值．
知识点3 几个重要不等式
（1）a
2+b
2≥2ab（a，b∈R）（当且仅当a=b时取等号）.
变形式：
（a，b∈R）（当且仅当a=b时取等号）.
（2）基本不等式：
（a>0，b>0）（当且仅当a=b时取等号）.
变形式：a+b≥2❑√ab（a>0，b>0），ab≤(
a+b
2 )
2
（a，b∈R）（当且仅当a=b时等号成立）.
（3）a
2+b
2+c
2≥ab+bc+ca（a，b，c∈R）（当且仅当a=b=c时取等号）.
（4）若ab>0，则b
a + a
b ≥2，(a+b)(
1
a + 1
b)≥4（当且仅当a=b时取等号）.
知识点4 基本不等式链
❑√
a
2+b
2
2
≥ ≥
≥
2
1
a + 1
b
(a,b∈R ,a,b>0)
基础知识背记07 一元二次不等式与其他常见不等式的解法
知识点1 解一元二次不等式
判别式Δ=b
2−4 ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y =a x
2+bx +c (a>0)
的图象
一元二次方程
a x
2+bx +c =0(a>0)
的根
有两个相异实根x1
，x2（x1< x2）
有两个相等实根
x1= x2=−b
2a
没有实根
一元二次不等式
a x
2+bx +c>0(a>0)
的解集
{x| x≠−b
2a)
一元二次不等式
a x
2+bx +c<0(a>0)
的解集
写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件．
（1）x∈R，a x
2+bx +c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
且
．
（2）x∈R，a x
2+bx +c≥0(a≠0)恒成立的充要条件是
且
．
（3）x∈R，a x
2+bx +c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
且
．
（4）x∈R，a x
2+bx +c≤0(a≠0)恒成立的充要条件是
且
．
知识点2 解分式不等式
①
②
③
④
知识点3 解根式、高次不等式
根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解.
知识点4 解指对数不等式
指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0.
基础知识背记08 三角函数与诱导公式、三角恒等变换
知识点1 特殊角的三角函数值
知识点2 同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
知识点3 正弦的和差公式
，
知识点4 余弦的和差公式
，
知识点5 正切的和差公式
，
知识点6 正弦的倍角公式
知识点7 余弦的倍角公式
升幂公式：
，
降幂公式：
，
知识点8 正切的倍角公式
知识点9 推导公式
知识点10 辅助角公式
，
，其中
，
基础知识背记09 三角函数的图象及性质
知识点1 三角函数的图象与性质
知
识
点2
三
角
函
数
型
函
数
的
图
象
和
性
质
（1）
正
弦
型
函
数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
图
象
定
义
域
值
域
最
值
当
时，
；当
时，
．
当
时，
；当
时，
．
既无最大值也无最小值
周
期
性
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函
数；
在
上是减函
数．
在
上是增函数．
对
称
性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
函数
性质
决定函数的周期，
叫做相位，其中
叫做初相
（2）正切型函数性质
的周期公式为：
知识点3 三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（
，
是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为
；
若
↗，纵坐标伸长；若
↘，纵坐标缩短；
与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若
↗，
↘，横坐标缩短；若
↘，
↗，横坐标伸长；
与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（
，
是平移量）
平移法则：左
右
，上
下
基础知识背记10 解三角形
知识点1 正弦定理
（1）基本公式：
（其中
为
外接圆的半径）
（2）变形
①
②
③
④
（3）应用：边角互化
①
②
③
或
（舍）
知识点2 三角形中三个内角的关系
，
，
知识点3 余弦定理
（1）边的余弦定理
，
，
（2）角的余弦定理
，
，
（3）应用1.求值，求角
①在
中，已知
，求
，
②在
中，已知
，求
，
（4）应用2.判断三角形的形状
设
为最大边，则
为最大角
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
知识点4 三角形的面积公式
基础知识背记11 函数的概念及其表示
知识点1 函数的概念
函数的定义
设A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A中的
，在集合B中都有
和它对应，那么就称f : A →B为从集合A到集合B的一个函数，记作
．
知识点2 函数三要素
（1）一般地，对于函数y = f (x), x∈A，则称A为函数的
，称集合
为函数的值域.
（2）函数的三要素指：
，
，
.
（3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同.
知识点3 函数相等
一般地，如果两个函数表达式表示的函数 相同，
也相同（即对自变量的每一个值，
两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数
知识点4 具体函数的定义域问题
①：分式函数：
定义域是
，分母不为0.
②：0 次幂类型：
定义域是
，底数不为0.
③：根式类型：
④：对数函数：真数大于0
知识点5 函数的表示方法
知识点6 分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同
，有不同的
，则称其为分段函
数.
基础知识背记12 函数的基本性质
知识点1 函数的单调性与单调区间
设函数y = f (x)的定义域是D，区间I ⊆D，如果对于任意的x1，x2∈I，当x1< x2时，都有
，则称y = f (x)在区间I 上是
，（也称在区间I 上单调递增），如图所示.
当x1< x2时，都有
，则称y = f (x)在区间I 上是
，（也称在区间I 上单调递减）如
图所示.
两种情况下，都称函数在区间I 上具有
（区间I 称为函数的
，也可分别称为
和
）
知识点2 函数的最值
最
值
最大值
最小值
条
件
函数y = f (x)的定义域为I，存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有
（2）存在x0∈I，使
（1）对任意x∈I，都有
（2）存在x0∈I，使
结
论
M是函数y = f (x)的最大值
M是函数y = f (x)的最小值
知识点3 单调性的常见运算
（1）单调性的运算
①增函数（↗）
增函数（↗）
增函数↗
②减函数（↘）
减函数（↘）
减函数↘
③
为↗，则
为↘，
为↘
④增函数（↗）
减函数（↘）
增函数↗
⑤减函数（↘）
增函数（↗）
减函数↘
⑥增函数（↗）
减函数（↘）
未知（导数）
（2）复合函数的单调性
知识点4 函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数y = f ( x)的定义域为D，如果对D内任意
一个x，都有 ，且 ，则称函数
y = f ( x)是偶函数
关于 对称
奇函数
一般地，设函数y = f ( x)的定义域为D，如果对D内任意
一个x，都有 ，且 ，则称函数
关于 对称
知识点5 函数的周期性
①周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有
x +T ∈D，且 ，那么函数f (x)就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期．
②最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就
叫做f (x)的 ．
若
，则
的周期为：
若
，则
的周期为：
若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
知识点6 函数的对称性
轴对称
①若
，则
的对称轴为
②若
，则
的对称轴为
点对称
①若
，则
的对称中心为
②若
，则
的对称中心为
①若
，
，其中
，则
的周期为：
②若
，
，其中
，则
的周期为：
③若
，
，其中
，则
的周期为：
知识点8 奇偶性对称性综合问题
①已知
为偶函数，
为奇函数，则
的周期为：
②已知
为奇函数，
为偶函数，则
的周期为：
基础知识背记13 幂函数与二次函数
知识点1 幂函数的定义及一般形式
一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．
知识点2 幂函数的图象和性质
（1）常见的五种幂函数的图象
（2）幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1)．
②如果α >0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数．
③如果α <0，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图象在y
轴右方且无限地逼近y 轴；当x 无限增大时，图象在x 轴上方且无限地逼近x 轴．
（3）常见的五种幂函数的性质
解
析
式
y = x
y = x
2
y = x
3
y = 1
. x
y = x
1
2
图
象
定
义
域
值
域
奇
偶
性
单
调
性
定
点
(1,1)
知识点3 幂函数的奇偶性
知识点4 二次函数及其性质
一元二次函数y =a x
2+bx +c (a≠0)有如下性质：
（1）函数y =a x
2+bx +c的图象是一条 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ．
（2）当a>0时，抛物线开口向上．在区间(−∞,−b
2a)上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；在区间
[−b
2a ,+∞)上，函数值y 随自变量x 的增大而增大．函数在x =−b
2a处有最小值，即 ．
当a<0时，抛物线开口向下．在区间(−∞,−b
2a)上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；在区间
[−b
2a ,+∞)上，函数值y 随自变量x 的增大而减小．函数在x =−b
2a处有最大值，即 ．
基础知识背记14 指数与指数函数
知识点1 根式的概念及性质
（1）概念：式子n√a叫做______，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）①______没有偶次方根．
②0 的任何次方根都是0，记作n√0=______．
③(
n√a)
n=______（n∈N
∗，且n>1）．
④
n√a
n=a（n为大于1 的奇数）．
⑤
n√a
n=|a)={
_ _ _ _ _ _ ,a≥0
_ _ _ _ _ _ ,a<0)（n为大于1 的偶数）．
知识点2 分数的指数幂的意义
分数指
数幂
正分数指数
幂
规定：a
m
n = （a>0,m,n∈N
*，且n>1）
负分数指数
幂
规定：a
−m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m（a>0,m,n∈N
*，且n>1）
性质
0 的正分数指数幂等于 ，0 的负分数指数幂
知识点3 实数指数幂的运算性质
（1）a
r a
s= . (a>0,r ,s∈R).
（2）(a
r)
s= . (a>0,r ,s∈R).
（3）(ab)
r= . (a>0,b>0,r ∈R).
知识点4 指数函数的一般形式
9．一般地，函数 （a>0,a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，定义域为R.
知识点5 指数函数的图象及性质
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
R
值域
(0,+ ∞)
过定点
过点 ，即x = 时，y =
函数值的变
化
当x>0时，
当x<0时，
当x>0时，
当x<0时，
单调性
是R上的
是R上的
知识点6 解指数不等式
（1）指数不等式的类型为af (x)>ag(x)¿，且a≠1)．
①当a>1时， ；
②当0<a<1时， ．
（2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性
去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．
知识点7 比较大小的方法
（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断；
（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断；
（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断．
基础知识背记15 对数与对数函数
知识点1 对数的定义
如果a
b= N（a>0且a≠1），那么b 叫作以a 为底，（正）数N 的对数，记作 ，这里，a 叫作对数
的 ，N 叫作对数的 ．
知识点2 常用对数与自然对数
通常将以10 为底的对数叫作常用对数，并把log10 N记作 ，以无理数e=2.71828⋯为底数的对数称
为自然对数，并且把loge N记为
知识点3 对数的基本性质及对数恒等式
性质1
和 没有对数
性质2
1 的对数是 ，即loga1= (a>0,a≠1)
性质3
底数的对数是 即logaa= (a>0,a≠1)
对数恒等式：a
loga N = ，logaa
N =
知识点4 对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么：
（1）loga(MN )= ；
（2）loga
M
N = ；
（3）loga M
n= ．
推广：loga(N 1 N 2⋯N k)=loga N 1+loga N 2+⋯+loga N k(N 1, N 2,⋯, N k>0)．
，
，
知识点5 换底公式
换底公式：
；
推广1：对数的倒数式
推广2：
。
知识点6 对数函数的一般形式及定义域
一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x 的范围是
对数函数的定义域
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概
念，若自变量在真数上，则必须保证真数 ;若自变量在底数上，应保证底数
知识点7 对数函数的图象及性质
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
(0,+∞)
值域
R
过定点
过定点 ，即x =1时，y =0
函数值的
变化
当0< x<1时，
当x>1时，
当0< x<1时，
当x>1时，
单调性
是(0,+∞)上的
是(0,+∞)上的
知识点8 解对数不等式
（1）形如loga f (x)>loga g(x)的不等式，借助函数y =loga x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分
与 两种情况讨论.
（2）形如loga f (x)>b的不等式，应将b化为 的形式，再借助函数y =loga x的单调性求解.
（3）形如loga f (x)>logb g(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性
来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集.
（4）形如f (loga x)>0的不等式，可用 ，先解f (t )>0，得到t的取值范围.然后再解x的范围.
基础知识背记16 函数的图象
知识点1 函数图象的定义及描点法作图
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，
当自变量取遍定义域A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表
述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调
性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
知识点2 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想）
①
②
③
④
特别地：当
时
例如：
，
当
时
知识点3 图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝－
f(x)
；
②y＝f(x)―――――→y＝f ( －
x ) ；
③y＝f(x)―――――→y＝－
f ( －
x ) ；
④y＝ax (a>0 且a≠1)―――――→y＝logax ( a >0
且
a ≠
1)
．
(3)伸缩变换
①把函数
图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
1
w 倍得
(0<
<1)
②把函数
图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
1
w 倍得
(
>1)
③把函数
图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的
倍得
(
>1)
④把函数
图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得
(0<
<1)
(4)翻折变换
①y＝f(x)――――――――――→y＝| f ( x )|
.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝f (|
x |)
．
基础知识背记17 函数与方程
知识点1 函数零点的定义
一般地，对于函数y = f (x)，把使 叫作函数y = f (x)的零点.函数y = f (x)的零点就是方程
f (x)=0的实数解，也就是函数y = f (x)的图象与x轴的交点的横坐标.
方程、函数、函数图象之间的关系：
方程f (x)=0有实数解⇔函数y = f (x)的图象 ⇔函数y = f (x) .
知识点2 函数零点存在性定理
如果函数y = f (x)在区间[a,b)上的图象是 的一条曲线，且有 ，那么函数
y = f (x)在区间(a,b)内 零点，即存在c∈(a,b)，使得f (c)=0，这个c也就是方程f (x)=0的
解.
知识点3 函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断
函数是否单调
知识点4 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若
，则
“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析
的性
质与图象，如果
单调，则“一定”只有一个零点
（2）若
，则
“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果
单调，那
么“一定”没有零点
（3）如果
在区间
中存在零点，则
的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影
响。如果
单调，则
一定小于0
知识点5 零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在
单增连续函数，
是
的零点，且
，则
时，
；
时，
知识点6 证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数
的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
基础知识背记18 函数模型及其应用
知识点1 三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现为
与y 轴
平行
随x 的增大逐渐表
现为与x 轴
平行
随n 值变化而各有
不同
知识点2 常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b 为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
知识点3 解函数模型问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
基础知识背记19 导数的概念、运算及几何意义
知识点1 平均变化率
对于函数y = f (x)，设自变量x 从x0变化到 ，相应地，函数值y 从f (x0)变为 ，这时，x 的变化
量为Δ x，y 的变化量为Δ y = f (x0+ Δ x)−f (x0)．我们把比值Δ y
Δ x ，即Δ y
Δ x = 叫做函数y = f (x)从x0
到x0+ Δ x的平均变化率．
知识点2 瞬时变化率
设函数y = f ( x)在x0附近有定义，自变量在x = x0处的改变量为Δ x，当Δ x无限接近于0 时，若平均变化率
Δ f
Δ x = f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
无限接近于一个常数k，那么称常数k 为函数f ( x)在x = x0处的瞬时变化率．
记作：当Δ x→0时，f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
→k．
上述过程，通常也记作 ．
知识点3 导数的定义
函数y = f ( x)在x = x0处的导数定义式：f ′ (x0)=
lim
Δ x→0 f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
实质：函数y = f ( x)在x = x0处的导数即函数y = f ( x)在x = x0处的 ．
知识点4 割线斜率与切线斜率
设函数y = f ( x)的图象如图所示，直线AB 是过点A( x0,f ( x0))与点B( x0+ Δ x ,f ( x0+ Δ x))的一条割线，
此割线的斜率是△y
△x = f (x0+△x)−f (x0)
△x
当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD，直线AD 叫做此曲线在点A
处的 ．于是，当Δx→0 时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k，即k＝
＝
lim
△x→0 f (x0+△x)−f (x0)
△x
知识点5 导数的几何意义
f
′( x0)就是曲线y = f ( x)在点( x0,f ( x0))（也称x = x0处）处的切线的 ，从而根据直线的点斜式方程
可知，切线的方程是 ．
知识点6 常用基本初等函数的求导公式
原函数
导函数
f (x)=c（c 为常数）
f
′ (x)=
f (x)= x
α
f
′ (x)=
f (x)=sin x
f
′ (x)=
f (x)=cos x
f
′ (x)=
f (x)=a
x
f
′ (x)= （a>0，且a≠1）
f (x)=e
x
f
′ (x)=
f (x)= loga x
f
′ (x)=
1
x ln a（a>0，且a≠1）
f (x)= ln x
f
′ (x)= 1
x
知识点7 导数的运算法则
已知f ( x),g( x)为可导函数，且g( x)≠0．
（1）[ f ( x)± g( x)]
′ = ．
（2）[ f ( x)g( x)]
′ = ，特别地，[Cf ( x)]
′ = ．
（3）[
f ( x)
g( x))
′
= f
′( x)g( x)−f ( x)g
′( x)
g
2( x)
，特别地，[
1
g( x))
′
=−g
′( x)
g
2( x)
．
知识点8 复合函数的导数
（1）复合函数的概念
一般地，对于两个函数y = f (u)和u= g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数
为函数y = f (u)和u= g(x)的复合函数，记作y = ．
（2）复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y = f (u)和u= g(x)复合而成的函数y = f (g(x))，它的导数与函数y = f (u)，u= g(x)的
导数间的关系为y ′ x= ，即y对x的导数等于 ．
基础知识背记20 导数与函数的单调性
知识点1 导函数与原函数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间
(a，b)上可导
＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤
第1 步，确定函数的定义域；
第2 步，求出导函数f′(x)的零点；
第3 步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，
由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
[常用结论]
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，
恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单
调递减，则x∈(a，b)时，
恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，
＞0 有解；若函数f(x)在
(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，
＜0 有解.
基础知识背记21 导数与函数的极值、最值
知识点1 极值的定义
极大值：函数y = f (x)在点x =b的函数值f (b)比它在点x =b附近其他点的函数值都 ，f
′ (b)=
.而且在点x =b附近的左侧f
′ (x) 0，右侧f
′ (x) 0.我们把b叫做函数y = f (x)的极大值点，
f (b)叫做函数y = f (x)的极大值.
极小值：函数y = f (x)在点x =a的函数值f (a)比它在点x =a附近其他点的函数值都 ，f
′ (a)=
；而且在点x =a附近的左侧f
′ (x) 0，右侧f
′ (x) 0，我们把a叫做函数y = f (x)的极小
值点，f (a)叫做函数y = f (x)的极小值.
求可导函数f ( x)的极值的步骤
（1）确定函数的定义域，求导数f
′( x)；
（2）求方程 的根；
（3）列表；
（4）利用f
′( x)与f ( x)随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
知识点2 极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：
是
为极值点的必要非充分条件
知识点3 函数的最值与导数
设函数f (x)在[a,b)上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b)上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数y = f (x)在(a,b)内的 ；
（2）将函数y = f (x)的各 与 处的函数值f (a)、f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的
一个为最小值．
基础知识背记22 数列的概念及其表示
知识点1 数列的相关概念
（1）数列：按照 排成的一列数叫作数列.
（2）数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的 ，各项依次称为这个数列的第1 项（
），第2 项……
（3）项数：组成数列的 称为数列的项数
知识点2 数列的通项与通项公式
（1）通项：数列从首项起，每一项都与 对应，所以数列的一般形式可以写成
a1,a2,a3,⋯,an,⋯，其中an表示数列的第n 项（也称n 为an的序号），称为数列的 ，一般将整
个数列简记为 ．
（2）通项公式：如果数列第n 项an与序号n 之间的关系可以用an= f (n)来表示，其中f (n)是关于n 的不含
其他未知数的表达式，那么这个公式叫做这个数列的 ．
知识点3 数列的表示方法
列表法
列表格表示n 与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项
公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
知识点4 数列的分类
一般地，项数 的数列称为有穷数列，项数 的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也
称为这个数列的 ．
判断数列的单调性，则需要从第2 项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 ，则是递增数
列；若满足 ，则是递减数列；若满足 ，则是常数列．
知识点5 最大（小）项问题
（1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法：
①构造函数，确定函数的 ，进一步求出数列的最值．
②利用 求数列中的最大项an；利用 求数列中的最小项an．当解不唯一时，比较各解大小即可确
定．
（2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系：
数列{an}递增⇔ 恒成立；数列{an}递减⇔ 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．
知识点6 数列前n 项和的定义及an 与Sn 的关系
一般地，给定数列{an)，称Sn= 为数列{an)的前n 项和.
检验n=1时的a1是否满足n≥2时的通项公式：
将n=1代入n≥2时得到的通项公式an= Sn−Sn−1中，如果计算结果与步骤1 中求出的a1相等，那么数列的
通项公式可以统一写成n≥2时的表达式；如果不相等，则数列的通项公式需要用分段函数的形式表示，即
an=¿
.
知识点7 数列的递推关系
已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以 ，则称这个公式为
数列的 （递推公式或递归公式）．
知识点8 累加法求通项公式
若数列{an)满足 ，其中f (n)是关于n的函数，且f (n)的前n项和可求，就可以考虑使用累加法
求通项公式.
知识点9 累乘法求通项公式
若数列{an}满足 ，其中g(n)是关于n的函数，且g(n)的前n项积可求，就可以考虑使用累乘
法求通项公式.
基础知识背记23 等差数列及其前n 项和
知识点1 等差数列的定义
一般地，如果数列{an)从第 项起，每一项与它的前一项之 都等于 ，即 恒成立，
则称数列{an)为等差数列，其中d 称为等差数列的 .
知识点2 等差数列通项公式的变形及推广
（1）an=a1+(n−1)d (n∈N
∗)，
（2）an=am+ (m，n∈N
∗)
（3）d = ¿，且m≠n).
知识点3 等差中项
若a，A，b 成等差数列，则 是a 与b 的等差中项，且有2 A = 或A = ，即如果三个数成
等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数．
知识点4 下标性质
在等差数列{an)中，若m+n= p+q(m,n, p,q∈N +)，则am+an= ．特别地，若
m+n=2 p(m,n, p∈N +)，则有am+an=2ap．
知识点5 等差数列构造新等差数列的性质
（1）若{an)，{bn)分别是公差为d ,d
′的等差数列，则有
数列
结论
{c +an)
公差为
的等差数列（c为任一常数）
{c⋅an)
公差为
的等差数列（c为任一常数）
{an+an−k)
公差为
的等差数列(k )为常数，k ∈N
*)
{pan+qbn)
公差为
的等差数列（p,q为常数）
（2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 数列.
知识点6 等差数列通项公式与函数关系
令
，
，
等差数列
为一次函数
知识点7 等差数列的单调性与图象
对于一般的等差数列{an)，其通项公式为an=a1+(n−1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得
到y =a1+(x−1)d =dx +(a1−d)，当d ≠0时，是一次函数（其中一次项系数为等差数列的公差d）；当
d =0时，y =a1（a1为常数），这两种情形的函数图象都是直线，这就说明，当用直角坐标系中的点来表
示等差数列时，所有的点一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数n的孤立点
组成．
（1）当d >0时，直线y =dx +(a1−d)从左至右上升，等差数列{an)递增（如图甲）；
（2）当d <0时，直线y =dx +(a1−d)从左至右下降，等差数列{an)递减（如图乙）；
（3）当d =0时，y =a1为水平方向的直线，数列为常数列（如图丙）．
知识点8 等差数列的前n 项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn=
Sn=
知识点9 知三求二
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d ，n，an和Sn，这五个量可以＂ ＂．一般
是利用公式列出 的方程组，解出 ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
知识点10 等差数列前n 项和的性质
①等差数列中依次k 项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d 的等差数列.
②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n（n N
∈
*），则
S2n=n（an＋an❑＋1），S偶－S奇＝nd，
S偶
S奇
= an+1
an
（S 奇≠0）；若等差数列的项数为2n－1
（n N
∈
*），则S2n－1＝（2n－1）an（an是数列的中间项），S奇－S偶＝an，S偶
S奇
＝n−1
n
（S奇≠0
）.
③{an)为等差数列⇒ {
Sn
n )为等差数列.
④两个等差数列{an)，{bn)的前n 项和Sn，T n之间的关系为
an
bn
= S2n−1
T 2n−1
（bn≠0，T 2n－1≠0）.
⑤
知识点11 等差数列前n 项和的最值
（1）在等差数列{an)中，
当a1>0,d <0时，Sn有 值，使Sn取得最值的n 可由不等式组{
an≥0,
an+1≤0)确定；当a1<0,d >0时，Sn有
值，使Sn取到最值的n 可由不等式组{
an≤0,
an+1≥0)确定．
（2）Sn= d
2 n
2+(a1−d
2)n，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，Sn有 值；当d <0时，Sn
有 值．当n 取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
知识点12 证明数列为等差数列的方法
（1）
（
为常数）
为等差数列
（2）通项公式：
（一次函数），前
项和：
（无常数项的二次函数）
（3）若
，则
，
，
三个数成等差数列
基础知识背记24 等比数列及其前n 项和
知识点1 等比数列的定义
一般地，如果数列{an)从第 项起，每一项与它的前一项之 都等于 ，即 恒成立，
则称数列{an)为等比数列，其中d 称为等比数列的 .
知识点2 等比数列的通项公式及其推广
1、等比数列的通项公式：等比数列{an)的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an=
2、通项公式的推广：an= 或q
n−m=
知识点3 等比中项
1、等比中项定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，
即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔
2、对等比中项概念的理解
（1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，G =± ❑√ab，
即等比中项有两个，且互为相反数.
（2）G
2=ab时，G 是a与b的等比中项.例如0
2=5×0，但0，0，5不是等比数列；
（3）在等比数列{an)中，从第2 项起，每一项是它相邻两项的等比中项；
（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{an)中，
an
2=an−k⋅an+k
3、等差中项与等比中项区别
（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0 时才存
在等比中项；
（2）任意两数的等差中项是 的，而若两数有等比中项，则等比中项 .
知识点4 “下标和”性质
在等比数列{an)中，若m+n= p+q(m,n, p,q∈N
*)，则 ；
（1）特别地，m+n=2k (m,n,k ∈N
*)时， ；
当m+n+ s= p+q+t (m,n, p,q ,s,t ∈N
*)时，
（2）若数列{an)是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即
a1⋅an=a2⋅an−1=…=ak⋅an−k +1=…
知识点5 等比数列的性质拓展
（1）若{an)是等比数列，公比为q，则数列{λan)( λ≠0),{
1
an),{an
2)都是等比数列，且公比分别是 ，
， ．
（2）两等比数列合成数列的性质：若数列{an)，{bn)是项数相同的等比数列，{an⋅bn)也是 ．
（3）对于无穷等比数列{an)，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak +1，公比为q；
若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为q
k；
（4）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak +m，ak +2m，…仍是等比数列，公比为
(k ，m∈N
*)
知识点7 等比数列的前n 项和公式
已知量
首项，公比与项数
首项，公比与末项
求和公式
Sn=¿
Sn=¿
知识点8 等比数列前n 项和公式的函数特征
(1)当公比q≠1时，设A = a1
q−1
，等比数列的前n项和公式是Sn= A (q
n−1)，即Sn是n的 (2)当公比
q =1时，因为a1≠0，所以Sn=na1，Sn是n的 .
温馨提醒：当q≠1，Sn= a1(1−q
n)
1−q
= a1
1−q −a1
1−q ⋅q
n，所以Sn= A −A ⋅q
n的结构形式.
知识点9 等比数列前n 项和的性质
已知{an)为等比数列，公比为q，Sn为其前n项和.
（1）若Sn= A q
n+ B ( A ≠0,q≠0,q≠1)，则A + B = ；
（2）当Sn≠0时，Sn， ，S3n−S2n,⋯为等比数列；
（3）若等比数列{an)共2k项，记S奇为诸奇数项和，S偶为诸偶数项和，则S奇
S偶
= ；
（4）若{an)是公比为q 的等比数列，则Sn+m= Sn+ （n,m∈N +）．
知识点10 证明数列为等比数列的方法
（1）
（
为常数）
为等比数列
（2）若
,则
，
，
三个数成等比数列
基础知识背记25 数列求和综合
知识点1 公式法求和
(1)等差数列的前n 项和公式
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n 项和公式
①当q＝1 时，Sn＝na1；
②当q≠1 时，Sn＝＝.
知识点2 倒序相加法求和
如果一个数列{an)与首末两端等“距离”的两项的和 ，那么求这个数列的前n项和即可用倒序
相加法求解．
知识点3 分组转化法求和
一个数列的通项公式是 组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
知识点4 裂项相消法求和
把数列的通项拆成 ，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
知识点5 常见的裂项技巧
（1）
；
（2）
；
（3）
（4）
（5）指数型
；
（6）对数型
.
（7）
（8）
（9）
（10）
等
知识点6 错位相减法求和
如果一个数列的各项是由 构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
知识点7 万能公式法求和
形如
的数列求和为
，
其中
，
，
知识点8 奇偶并项法求和
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并
求解．奇偶并项可采用两大类合并求解．
基础知识背记26 基本立体图形、简单几何体的表面积及体
积
知识点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱
棱锥
棱台
图
形
定
义
有两个面 ，其余各面都是
，并且相邻两个四边形的公共边都
互相平行，由这些面所围成的多面
体
有一个面是多边形，其
余各面都是有一个公共
顶点的 ，由这些
面所围成的多面体
用一个平行于 的平
面去截棱锥，底面和截面
之间那部分多面体
结
构
特
征
底面互相平行且全等；侧面都是
；侧棱都相等且互相平行
底面是一个多边形；侧
面都是三角形；侧面有
一个公共顶点
上、下底面互相平行且相
似；各侧棱延长线交于一
点；各侧面为
分
类
①按底面多边形的边数：三棱柱、
四棱柱、五棱柱…
②按侧棱与底面的关系：侧棱垂直
于底面的棱柱叫做 ，否则
叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直
棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四边
形的四棱柱也叫做平行六面体
①按底面多边形的边
数：三棱锥、四棱锥、
五棱锥…
②正棱锥：底面是正多
边形，并且顶点与
的连线垂直于底面的棱
锥
①按底面多边形的边数：
三棱台、四棱台、五棱
台…
②正棱台：由正棱锥截得
的棱台
[注意]常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
知识点2 圆柱、圆锥、圆台、球体的结构特征
分类
定义
图形及表示
表示
圆柱
以 为旋转轴，其余三边旋
转一周形成的面所围成的旋转体叫做
圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；
于轴的边旋转而成的圆面
叫做圆柱的底面； 于轴的
边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
无论旋转到什么位置，平行于轴的边
都叫做圆柱侧面的母线
圆柱用表示它的轴的字母表
示，左图记作
圆锥
以 所在直线为旋转轴，其
余两边旋转一周形成的面所围成的旋
转体叫做圆锥
用表示圆锥轴的字母表示圆
锥，左图记作
圆台
用平行于 的平面去截圆
锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
用表示它的轴的字母表示，
左图记作
球
半圆以它的 所在直线为旋
转轴，旋转一周形成的曲面叫做
，球面所围成的旋转体叫做
，简称球．半圆的圆心叫做球的
；连接球心和球面上任意一点的线段
叫做球的半径；连接球面上两点并且
经过球心的线段叫做球的直径
球常用球心字母进行表示，
左图可表示为
知识点3 圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S 圆柱侧＝
S 圆锥侧＝
S 圆台侧＝
其中r，r′为底面半径，l 为母线长.
[注意] ①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和；
②圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径
为零时，得到圆锥，由此可得S 圆柱侧＝2πrlr
′ =r
←S 圆台侧＝π（r＋r′）lr
′ = 0
→S 圆锥侧＝πrl．
知识点4 柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积
几何体
表面积
体积（S 是底面积，h 是高）
柱体（棱柱和圆柱）
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝Sh
锥体（棱锥和圆锥）
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝1
3Sh
台体（棱台和圆台）
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V＝
球（R 是半径）
S＝
V＝
基础知识背记27 空间中点线面位置关系
知识点1 平面的概念与平面的表示方法
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面
是向四周 的．
平面的画法与表示
（1）平面的画法
画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一
边画成
当平面竖直放置时，常把平行四边
形的一边画成
图示
（2）平面的表示方法
①用希腊字母α , β ,γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等．
②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD．
③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶，点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD．
知识点2 平面的基本事实与推论
（1）基本性质
基本
事实
文字语言
图形语言
符号语言
作用
基本
事实
1
过 的三个
点，有且只有一个平面
A，B，C 三点不共
线⇒存在唯一的平
面α 使A，B，
C∈α
确定平面；判定点
线共面
基本
事实
2
如果一条直线上的
在一个平面
内，那么这条直线在这个
平面内
A∈l，B∈l，且
A∈α，B∈α⇒l⊂α
确定直线在平面
内；判定点在平面
内
基本
事实
3
如果两个不重合的平面有
一个 ，那么它们有
且只有一条过该点的公共
直线
P∈α，且
P∈β⇒α∩β＝l，且
P∈l
判定两平面相交；
判定点在直线上
（2）基本事实1 与2 的推论
推论
文字语言
图形语言
符号语言
推论1
经过一条直线和这条直线外一
点，有且只有一个
A∉l⇒有且只有一个平面α，
使A∈α，l⊂α
推论2
经过 ，有且只有一
a∩b＝P⇒有且只有一个平面
个平面
α，使a⊂α，b⊂α
推论3
经过 ，有且只有一
个平面
a∥b⇒有且只有一个平面α，
使a⊂α，b⊂α
知识点3 空间中点线面的位置关系及其表示
点与直线的位置关系
点在直线上
点不在直线上
点与面的位置关系
点在平面上
点不在平面上
线与线的位置关系
平行，
相交，
，
异面
线与面的位置关系
面与面的位置关系
平行，
相交，
与
重合
知识点4 平行直线的传递性等角定理
､
（1）平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相 ，用符号可表示为：如果a ∥ b,a
∥ c，则 .
（2）等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 ，并且方向相同，那么这两个
角
知识点5 异面直线及所成角
（1）定义：空间中既不 也不 的直线．
（2）异面直线的画法．
（3）异面直线所成的角
定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b 的直
线a
′，b
′，则a
′与b
′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．
范围： ．特别地，当θ = 时，a与b互相垂直，记作 ．
基础知识背记28 空间中的平行关系（线线平行、线面平行、
面面平行）
知识点1 证明线线平行的方法
①三角形、四边形的中位线与第三边平行，
②平行四边形的性质（对边平行且相等）
③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
知识点2 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符合语言
判定定
理
如果 的一条直线与
的一条直线平行，那么这条直
线与这个平面平行
l //α，a⊂α，
l⊄α ⇒l //α
性质定
理
如果一条直线与一个平面
，且经过这条直线的平面与这
个平面相交，那么这条直线就
与两平面的 平行
l //α，l⊂β，
α ∩β =b⇒l //b
知识点3 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符合语言
判定定理1
如果一个平面内有两条
分别平行于另一个平面，那么
这两个平面平行.
a// β，b// β，
a∩b= P，
a⊂α，
b⊂α ⇒α // β
判定定理2
如果一个平面内有两条相交直
线分别平行于另一个平面内的
，则这两个平面平行.
a//c ,b//d，
a∩b= A，
a,b⊂α，
c ,d ⊂β ⇒α // β
性质定理1
两个平面平行，则其中一个平
面内的直线 于另一
个平面
α // β，
a⊂α ⇒a// β
性质定理2
如果两个平行平面同时与第三
个平面 ，那么它们的
平行
α // β，α ∩γ =a，
β ∩γ =b⇒a//b
基础知识背记29 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、
面面垂直）
知识点1 证明线线垂直的方法
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
④线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直
知识点2 线面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符合语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的
垂直，则这条直线与这个平面
垂直
若a⊂α，b⊂α，l⊥a，
l⊥b， ，则l⊥α
性质定理
如果两条直线垂直于同一个平
面，那么这两条直线
若a⊥α，b⊥α，则
知识点3 三垂线定理及其逆定理
（1）射影：
已知空间中的平面α以及点A，过A 作α的 l，设l 与α 相交于点A'，则A'就是点A 在平面α内的
(也称为投影)；空间中，图形F 上 在平面α内的 所组成的集合F`，称为图形F 在平面α
内的射影.
（2）三垂线定理：
如果平面内的 与平面的一条斜线在该平面内的 垂直,则它也和这条斜线垂直.
（3）三垂线定理的逆定理：
如果平面内的一条直线和这个平面的一条 垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
知识点4 面面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符合语言
判定定理
一个平面过另一个平面的 ，
则这两个平面垂直
l⊥α
l⊂β)⇒α ⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直
于交线的直线与另一个平面垂直
α ⊥β
l⊂β
α ∩β =a
l⊥a )
⇒l⊥α
基础知识背记30 空间向量的概念及其运算、空间向量法求
空间角与空间距离
知识点1 空间向量的定义、表示及有关概念
1．空间向量的有关概念
（1）定义：空间中 的量称为空间向量．
（2）表示法：
①符号表示法：⃗a,⃗b,⃗c，⃗AB．
②几何表示法：有向线段．
（3）向量的模：空间向量⃗a的大小（或长度）称为⃗a的模，记为 ．
（4）几类特殊向量
概念
定义
单位向量
长度为 的向量
零向量
模为 的向量，记作 零向量的方向可以是任意的
相等向量
方向 且长度 的向量
相反向量
方向相反、长度相等的向量
共线向量（平行向量）
对于空间任意两个向量⃗a,⃗b(⃗a≠⃗0)，若 ，其中λ为实数，则⃗b与⃗a共线
或平行，记作 ．零向量与任意向量
共面向量
空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面
内，则称这些向量共面
知识点2 空间向量的线性运算
空间
向量
的线
性运
算
加法⃗
a+⃗b=⃗OA +⃗AB =
减法⃗
a−⃗b=⃗OA −⃗OC =
数乘
当λ>0时，λ⃗a= λ⃗OA =⃗PQ；
当λ<0时，λ⃗a= λ⃗OA =⃗MN；
当λ =0时，λ⃗a=⃗0
运算律
（1）交换律：⃗a+⃗b=⃗b+⃗a；
（2）结合律：(⃗a+⃗b)+⃗c = ，λ( μ⃗a)= ；
（3）分配律：( λ+ μ)⃗a= ，λ(⃗a+⃗b)=
知识点3 空间向量的数量积
（1）空间向量的夹角及其表示
给定两个非零向量⃗a,⃗b，任意在空间中选定一点O，作⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，则大小在 内的 称为⃗
a与⃗b的夹角，记作 .
特别地，若<⃗a,⃗b>=π
2 ，则称⃗a与⃗b ，记作⃗a⊥⃗b.
（2）向量的数量积
两个非零向量⃗a，⃗b的数量积定义为⃗a⋅⃗b= ．
（3）数量积的性质：
①⃗a⊥⃗b ⇔ ； ②⃗a·⃗a= =⃗a
2；
③|⃗a·⃗b|≤|⃗a||⃗b|； ④(λ⃗a)·⃗b=λ(⃗a·⃗b)；
⑤⃗a·⃗b= (交换律)； ⑥(⃗a+⃗b)·⃗c= (分配律).
知识点4 空间向量的有关定理
空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：如果⃗a≠⃗0且⃗b∥⃗a，则存在唯一的实数λ，使得⃗b= λ⃗a．
（2）共面向量定理：如果两个向量⃗a，⃗b不共线，则向量⃗a，⃗b，⃗c共面的充要条件是，存在唯一的实数对
(x , y)，使⃗c = ．
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内
的充要条件是，存在唯一的实数对(x , y)，使⃗AP = x⃗AB+ y⃗AC．
（3）空间向量基本定理：如果空间中的三个向量⃗a，⃗b，⃗c不共面，那么对空间中的任意一个向量⃗p，存在
唯一的有序实数组(x , y , z)，使得⃗p= ．其中，{⃗a,⃗b,⃗c)称为空间向量的一组基底．
知识点5 空间向量的坐标运算
已知空间向量⃗a，⃗b，其坐标形式为⃗a=(x1，y1，z1)，⃗b=(x2，y2，z2)
向量运算
向量表示
坐标表示
加法⃗
a+⃗b⃗
a+⃗b=
减法⃗
a−⃗b⃗
a−⃗b=
数乘
λ⃗a
λ⃗a= ，λ∈R
数量积⃗
a⋅⃗b⃗
a⋅⃗b=
夹角余弦值
cos<⃗a,⃗b>
cos<⃗a,⃗b>=
模长
|⃗a|
|⃗a|=
知识点6 空间向量平行与垂直
设⃗a=(a1,a2,a3)，⃗b=(b1,b2,b3)，则
平行(⃗a∥⃗b)⃗
a//⃗b(⃗b≠⃗0)⇔⃗a= λ⃗b⇔{
_ _ _ _ _ _ ,
_ _ _ _ _ _ ,
_ _ _ _ _ _ (λ∈R))
垂直(⃗a⊥⃗b)⃗
a⊥⃗b⇔⃗a⋅⃗b=0⇔______（⃗a，⃗b均为非零向量）
知识点7 直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，⃗v是空间中的一个非零向量，且表示⃗v的有向线段所在
的直线与l平行或重合，则称⃗v为直线l的一个 ．
（2）平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，⃗n是空间中的一个非零向量，且表示⃗n的有向线段所在的
直线与平面α垂直，则称⃗n为平面α的一个 ，此时也称⃗n与平面α垂直，记作⃗n⊥α．
2.求平面法向量的步骤：
（1）设向量：设平面的法向量为⃗n=( x, y , z).
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量⃗AB ,⃗AC.
（3）列方程组：由 列出方程组.
（4）解方程组{⃗
n⋅⃗AB =0⃗
n⋅⃗AC =0).
（5）赋非零值：取x，y ，z的其中一个为 (常取±1).
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
知识点8 空间中的平行、垂直的位置关系的向量表示
设⃗u1,⃗u2分别是直线l1,l2的方向向量，⃗n1,⃗n2分别是平面α , β的法向量．
线线平行
l1//l2⇔ ⃗u1//⃗u2 ⇔∃λ∈R，使得
注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不
重合
线面平行
l1//α ⇔ ⃗u1⊥⃗n1 ⇔ 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；
面面平行
α // β ⇔ ⃗n1//⃗n2 ⇔∃λ∈R，使得⃗n1= λ⃗n2
注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
线线垂直
l1⊥l2⇔ ⃗u1⊥⃗u2 ⇔ ⃗u1⋅⃗u2=0
线面垂直
l1⊥α ⇔ ⃗u1//⃗n1 ⇔∃λ∈R，使得⃗u1= λ⃗n1
面面垂直
α ⊥β ⇔ ⃗n1⊥⃗n2 ⇔ ⃗n1⋅⃗n2=0
知识点9 空间向量求空间角（线线角、线面角、面面角）
（1）求异面直线所成的角
若两异面直线l1,l2所成角为θ，它们的方向向量分别为⃑u1,⃑u2，则有cosθ= .
（2）求直线和平面所成的角
设直线l的方向向量为⃑u，平面α的法向量为⃑n，直线与平面所成的角为θ，⃑u与⃑n 的角为φ，则有sinθ =
= .
（3）求二面角
如图，若PA ⊥α于A，PB⊥β于B，平面PAB 交l于E，则 为二面角α −l−β的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.若二面角α −l−β的平面角的大小为θ，其两个面α , β的法向量分别为⃑n1,⃑n2，则
|cosθ)= =
（4）求平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角
cosθ = = .
知识点10 空间向量求空间距离集
（1）点到直线的距离
已知直线l 的单位方向向量为⃑u，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，点P 到直线l 的距离为 .
（2）两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l，m 之间的距离，可在其中一条直线l 上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于
.
（3）求点面距
①求出该平面的一个 ；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.
即：点A 到平面α 的距离d= ，其中B∈α，⃗n是平面α的一个法向量.
（4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解
直线a与平面α 之间的距离：d= ，其中A ∈a,B∈α，⃗n是平面α 的一个法向量.
两平行平面α , β之间的距离：d= ，其中A ∈α ,B∈β，⃗n是平面α的一个法向量.
基础知识背记31 纯几何法求空间角与空间距离
知识点1 几何法求空间角与空间距离
异面直线所成角
1.定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a
′ //a,b
′ //b,我们把a
′与b
′所成的锐角（或直
角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
2.范围：(0, π
2).
3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角；
直线与平面所成角
1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。
2.范围： [0, π
2).
3.求法：
（1）由定义作出线面角的平面角，再求解：
（2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 l ）和到平面的距离（设为 d), 则
sinθ = d
l
(θ 为线面角);
二面角
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足
分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。
2.范围： [0,π ).
3.求法：
（1）定义法：
利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，
两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主
要特征”来找出平面角。
（2）三垂线法：
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
（3）垂面法：
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可
知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
（4）射影面积法：
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公
式（cosθ = S射
S斜
=
S△A
′ B
′C
′
S△ABC
,如图)求出二面角的大小
空间距离
点面距可转化为三棱锥等体积求解
基础知识背记32 直线与圆
知识点1 直线倾斜角的定义及取值范围
1．定义：x 轴 与直线 的方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合
时，规定它的倾斜角为 ．
2．倾斜角的取值范围
平面直角坐标系中的每一条直线都有 的倾斜角，倾斜角的取值范围是 ．
知识点2 直线的斜率
（1）斜率的定义：
一般地，如果直线l 的倾斜角为θ，则当 时，称k = 为直线l 的斜率；当θ =90°时，
称直线l 的斜率 .
（2）斜率的公式：
若A( x1, y1),B( x2, y2)是直线l 上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l 的斜率为 ，当x1= x2
时，直线l 的斜率 .
知识点3 直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k 与点(x1, y1)
不含直线x = x1
斜截式
斜率k 与直线在y 轴上的截
距b
不含垂直于x 轴的直
线
两点式
两点(x1, y1),(x2, y2)
不含直线x = x1
(x1= x2)和直线y = y1
( y1= y2)
截距式
直线在x 轴、y 轴上的截距
分别为a，b
不含垂直于坐标轴和
过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的
直线都适用
知识点4 直线的方向向量的定义及有关结论
一般地，如果表示非零向量⃗a的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量⃗a为直线l的一个方向向
量，记作⃗a//l.
直线方向向量的有关结论
①如果A(x1, y1),B(x2, y2)是直线l上两个不同的点，则⃗AB =(x2−x1, y2−y1)是直线l的一个方向向量.
②如果直线l的斜率为k，则 是直线l的一个方向向量.
③若直线的方向向量为⃗a=(x , y)(x≠0)，则直线的斜率k = .
知识点5 直线的法向量的定义
一般地，如果表示非零向量⃗v的有向线段所在直线与直线l ，则称向量v为直线l的一个 ，
记作⃗v ⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相
知识点6 两条直线的位置关系
方程组{
A1 x + B1 y +C1=0
A2 x + B2 y +C2=0)的解
一组
无数组
直线l1与l2的公共点的个数
一个
零个
直线l1与l2的位置关系
重合
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1=k2，且b1≠b2
A1B2−A2B1=0且
A1C2−A2C1≠0
垂直
A1 A2+ B1B2=0
相交
A1B2−A2B1≠0
知识点7 两直线的交点
点P 的坐标既满足直线l1的方程A1 x + B1 y +C1=0，也满足直线l2的方程A2 x + B2 y +C2=0，即点P 的坐
标是方程组{
A1 x + B1 y +C1=0
A2 x + B2 y +C2=0)的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 坐标.
知识点8 两点距离、点线距离、线线距离
三种距离
条件
公式
两点间的距离
A(x1, y1)，B(x2, y2)
|AB)= ❑√(x1−x2)
2+( y1−y2
点到直线的距
离
P(x0, y0)到直线Ax + By +C =0的距离为
d
d =
两平行线间的
距离
直线Ax + By +C1=0到直线
Ax + By +C2=0的距离为d（C1≠C2）
d =
知识点9 圆的定义
平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
知识点10 圆的标准方程
圆的标准方程是 （其中r >0），圆心的坐标是 ，半径是 ．
知识点11 圆的一般方程及表示圆的充要条件
当 时，二元二次方程x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0叫做圆的一般方程．其中圆心为 ，圆的半径
为r = .
知识点12 点与圆的位置关系
平面上的一点M (x0, y0)与圆C :(x −a)
2+( y −b)
2=r
2之间存在着下列关系：
（1）|MC)>r ⇔M在 ，即(x0−a)
2+( y0−b)
2>r
2⇔M在圆外；
（2）|MC)=r ⇔M在 ，即(x0−a)
2+( y0−b)
2=r
2⇔M在圆上；
（3）|MC)<r ⇔M在 ，即(x0−a)
2+( y0−b)
2<r
2⇔M在圆内．
知识点13 直线与圆的位置关系
设圆C :( x−a)
2+( y −b)
2=r
2，直线l: Ax + By +C =0，圆心C (a,b)到直线l的距离为d．由
{
( x−a)
2+( y −b)
2=r
2,
Ax + By +C =0
)消去y(或x)，得到关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为Δ．
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ 0
Δ 0
Δ 0
几何观点
d r
d r
d r
知识点14 直线被圆截得的弦长
（1）几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB)的一半构成直角三角形，弦长|AB)=2
❑√r
2−d
2．
（2）代数法：设直线y =kx +m与圆x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0相交于点M , N，把直线方程代入圆方程，消
去y，得关于x的一元二次方程，则|MN )=
❑√1+k
2❑√(xM + xN)
2−4 xM xN．
知识点15 圆与圆的位置关系
（1）代数法：
联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2 组
1 组
0 组
两圆的公共点个数
个
个
个
两圆的位置关系
（2）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心的距离为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2
的关系
知识点16 圆中的最值问题
圆上一点到圆外一点的距离的最值
圆上一点到圆上一点的距离的最值
圆上一点到直线距离的最值
过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
基础知识背记33 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）
知识点1 椭圆的定义
知识点2 数学表达式
知识点3 椭圆的标准方程
焦点在
轴上的标准方程？
椭圆标准方程为：
焦点在
轴上的标准方程？
椭圆标准方程为：
知识点4 椭圆中
，
，
的基本关系
知识点5 椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标
，
，
，
，
长轴
长轴长，
长半轴长
短轴
短轴长，
短半轴长
焦点
，
，
焦距
焦距，
半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为
离心率
离心率对椭圆的影响
越大，椭圆越扁
越小，椭圆越圆
，圆
知识点6 双曲线的定义
知识点7 数学表达式：
知识点8 双曲线的标准方程
焦点在
轴上的标准方程？ 焦点在
轴上的标准方程？
标准方程为：
标准方程为：
知识点9 双曲线中
，
，
的基本关系
知识点10 双曲线的几何性质
焦点的位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标
，
，
，
，
实轴
实轴长，
实半轴长
虚轴
虚轴长，
虚半轴长
焦点
，
，
焦距
焦距，
半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率
离心率对双曲线的影
响
越大，双曲线开口越阔
越小，双曲线开口越窄
知识点11 抛物线的定义
平面上一动点
到定点
的距离与到定直线：
的点的轨迹叫做抛物线
知识点12 图形
知识点13 数学表达式
知识点14 标准方程的推导
设
，由定义可知：
，等式两边同时平方得：
知识点15 抛物线的标准方程及其几何性质
焦点
位置
轴正半轴
轴负半轴
轴正半轴
轴负半轴
图形
标准
方程
焦点
坐标
准线
方程
知识点16 通径
通径长：
，半通径长：
知识点17 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
基础知识背记34 排列组合与二项式定理
知识点1 分类计数原理（加法原理）
.
知识点2 分步计数原理（乘法原理）
.
知识点3 排列数公式
x
x
y
y
px
y
2
2
px
y
2
2
py
x
2
2
py
x
2
2
)
0,
2
( p
)
0,
2
(
p
)
2
,0
(
p
)
2
,0
(
p
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
=n(n−1)⋯(n−m+1)=
n！
(n−m)！.(
，
∈N*，且
)．注:规定0!=1.
知识点4 组合数公式
Cn
m
=
=
n(n−1)⋯(n−m+1)
1×2×⋯×m
=
n！
m！⋅(n−m)！(
∈N*，
，且
).
知识点5 排列数与组合数的关系
.
知识点6 单条件排列
以下各条的大前提是从
个元素中取
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有An−1
m−1
种；
②某（特）元不在某位有An
m−An−1
m−1
（补集思想）=An−1
1
An−1
m−1
（着眼位置）=An−1
m + Am−1
1
An−1
m−1
（着眼
元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k≤m≤n)个元在固定位的排列有Ak
k An−k
m−k
种.
②浮动紧贴：
个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有An−k+1
n−k+1 Ak
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h 个（k≤h+1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近
的所有排列数有Ah
h Ah+1
k
种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n>m+1时，无解；当n≤m+1时，有
Am+1
n
An
n =Cm+1
n
种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为Cm+n
n
.
知识点7 分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
、
个物件等分给
个人，各得
件，其分配方法数共有
N=Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
⋅⋯⋅C2n
n ⋅Cn
n=(mn )!
(n!)m
.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
·
个物体等分为无记号或无顺序的
堆，其分配方法数共有
N=
Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
...⋅C2n
n ⋅Cn
n
m!
= (mn )!
m!(n!)m
.
知识点8 二项式定理
(a+b)n=Cn
0an+Cn
1an−1b+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
r an−r br+⋯+Cn
nbn
;
二项展开式的通项公式
T r+1=Cn
r an−r br (r=0，1，2⋯，n).
基础知识背记35 概率统计
知识点1 等可能性事件的概率
.
知识点2 互斥事件A，B 分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
知识点3
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
知识点4 独立事件A，B 同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
知识点5
个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
知识点6
次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率
知识点7 离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
;
（2）
.
知识点8 数学期望
知识点9 数学期望的性质
（1）
.
（2）若
～
,则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
知识点10 方差
知识点11 标准差
=√Dξ .
知识点12 方差的性质
(1)
；
(2）若
～
，则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
知识点13 方差与期望的关系
.
知识点14.正态分布密度函数
，式中的实数μ，σ （σ >0）是参数，分别表示个体的平均
数与标准差.
知识点15 对于
，取值小于x 的概率
.
P(x1<x0<x2)=P(x<x2)−P(x<x1)
.
知识点16 条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A|
B)．
当P(B)>0 时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B 也可以记成AB)
类似地，当P(A)>0 时，A 发生时B 发生的条件概率为P(B|A)＝
(1)0≤P(B|A)≤1，
(2)如果B 和C 是两
个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率．
知识点17 条件概率的三种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件AB 所包含的基本
事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求
解，它能化繁为简
知识点18 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2 …
∪∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则
对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A 包
含的样本点数，n(AB)为事件AB 包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
知识点19 贝叶斯公式
一般地,设
是一组两两互斥的事件,有
且
,则对
任意的事件
有
知识点20 数字样本特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若
为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
（3）平均数：
，反映样本的平均水平
（4）方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；
越小，样本波动越小，越稳定；
（5）标准差：
，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
（6）极差：等于样本的最大值
最小值
知识点21 求随机变量X 的分布列的步骤：
(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值；
(2)求X 取每个值的概率；
(3)写出X 的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量
的期望、方差，求
的期望与方差，利用期望和方差的性质（
，
）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布
列的期望和方差公式进行计算，若
～
,则
，
.
知识点22. 求解概率最大问题的关键是能够通过
构造出不等关系，结合组合数公式
求解结果
知识点23 线性回归分析解题方法：
（1）计算
的值；（2）计算回归系数
；（3）写出回归直线方程
.
线性回归直线方程为：
，
，
其中
为样本中心，回归直线必过该点
（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）
，正相关；
，负相关
知识点24 独立性检验解题方法：
（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性
独立性检验计算公式：
