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易混易错4 三角函数解析式中求
值选点不当或范围不准
（小题狂练）
一．单选题.
【选点不当 2024 陕西西安模拟预测】
1．若函数
的图象在区间
上只有一个极值点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数的极值，根据正弦型三角函数的性质列出不等式组，转化求解即可．
【详解】当
时，有
，
则函数
唯一的极值点只能是
，
所以有
，得
．
故选：C．
【选范围不准 2024 浙江温州一模】
2．若函数
，
的值域为
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用
可得
，再由三角函数图像性质可得
，解不等式即可求得
的取值范围.
【详解】根据题意可知若
，则可得
；
显然当
时，可得
，
由
的值域为
，利用三角函数图像性质可得
，
解得
，即
的取值范围是
.
故选：D
【选范围不准 2024·西桂林三模】
3．已知函数
在
上有最小值没有最大值，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数
，再由指定范围求出相位范围，
结合余弦函数的性质列式求解即得.
【详解】依题意，
，
当
时，
，若
在
上有最小值没有最大值，
则
，所以
.
故选：D
【选点不当 2024 下河北沧州阶段练习】
4．已知函数
在区间
上有且仅有3 个零点，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式得
，进而根据求方程得
或
，即可列举出正的零点，列不等式即可求解.
【详解】由
可得
，
令
,
所以
或
，
故函数的正零点从小到大排列为：
，
要使在区间
上有且仅有3 个零点，需要满足
且
，解得
，
故选：C
【选点不当 2024 全国拟预测】
5．设函数
在区间
上恰有3 个零点、2 个极值点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据题意确定
，再代入求整体角的取值范围，得到3 个零点、2 个极值
点的位置，解不等式求得结果.
【详解】当
时，无法满足函数
在区间
上的零点比极值点多，所以
，
选项表示的区间也全部在正半轴．
函数
在区间
上恰有3 个零点、2 个极值点，
令
，则相当于函数
在区间
上恰有3 个零点、2
个极值点．
如图，要使函数
恰有3 个零点
、2 个极值点
，
则
，
所以
．
故选：B．
【选范围不准 2025 上江西赣州期中】
6．已知
，若函数
在
区间
上恰好有2025 个最大值，2025 个最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据向量数量积的坐标公式得到函数
的解析式，再将函数
的解析式化简为
，最后由
计算出
的取值范围，根据题
意可得出关于实数
的不等式组，进而可解得实数
的取值范围.
【详解】根据题意可得：
由于
，可得：
，
由于函数
恰好有2025 个最大值，2025 个最小值，
则
，解得
.
故选：A
【选范围不准 2024 江苏南通二模】
7．已知函数
（
）在区间
上单调递增，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用辅助角公式得到
，再利用
的图象与性质，
得到
的单调增区间，再根据条件，可得到
，即可求出结果.
【详解】因为
，又
，
由
，得到
，
所以函数
的单调增区间为
，
依题有
，则
，得到
，
故选：B.
【选点不当 2024 湖南邵阳三模】
8．将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
在区间
上单调递增，且在区间
上有且仅有1 个零点，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出
，结合
在区间
上单调递增可得
，再由
在
区间
上有且仅有1 个零点，可得
可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质
即可得得出答案.
【详解】由题意可得：
，
因为
在区间
上单调递增，
因为
，
，
所以
，解得：
，
又
在区间
上有且仅有1 个零点，
所以
，
，
结合
，所以
，
所以这个零点可能为
或
或
，
当
时，
，
，
解得：
，
当
时，
，
，
解得：
，
当
时，
无解，
综上：
的取值范围为
.
故选：A.
【选点不当 原创】
9．已知函数
是
上的偶函数，其图象关于点
对称，且在区间
上是单调函数，则
和
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】由
是偶函数可得
的值，图象关于点
对称可得函数关系
，得
，结
合函数的单调区间即可确定答案.
【详解】由
是偶函数，得
，故
，
所以
对任意
都成立，且
，
所以
，因为
，所以
．
由
的图象关于点
对称，得
，
令
得
，所以
，
因为
，所以
，
又
，得
，
，
解得
，
当
时，
，
在
上是减函数；
当
时，
在
上是减函数；
当
时，
在
上不是单调函数．
综上可得，
或
．
故选：C．
【选点不当 教材溯源题】
10．函数
的部分图象如下图所示，若
在区间
恰有一条对称轴和一个对称中心，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数图象求出
，由
的取值范围求出
的取值范围，再结合正弦函数
图象得到不等式组，解得即可.
【详解】由图可知函数过点
，所以
，即
，又
，
所以
或
，依题意可得
，
若
则靠近
轴的最大值的横坐标不可能为负数，故舍去；
所以
，即
，
因为
，所以
．
又
，
的图象如下所示：
要使函数
在区间
恰有一条对称轴和一个对称中心，
则
，解得
，即
的取值范围是
.
故选：C．
【选点不当 原创】
11．设函数
，若将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，且
的图象关于
轴对称，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】利用降幂公式、倍角公式及辅助角公式可得
，函数
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称，则原函数
的图象关于直
线
对称，利用余弦函数的对称性即可求解.
【详解】
，
由题意可知，函数
的图象关于直线
对称，
所以
，
，
即
，又
，故
．
故选：
.
【选点不当 2024 河南漯河高级中学模考】
12．已知函数
，则下列说法错误的是（ ）
A．若
，则点
是
图像的对称中心
B．若
恒成立，则
的最小值为2
C．若
在
上单调递增，则
D．若
在
上恰有2 个零点，则
【答案】D
【分析】由正弦函数的对称性判断A 选项；由正弦函数的最大值与对称性判断B 选项；由
正弦函数的单调性判断C 选项；由正弦函数的零点判断D 选项.
【详解】对于A，若
，则
，由正弦函数的图像可知
是
图像的对称中心，A 正确．
对于B，因为
恒成立，所以
是函数的最大值，则
，解得
，又
，所以
的最小值为2，B 正
确．
对于C，令
，显然
在
上单调递增，且
，若
在
上单调递增，则
，解得
，所以
，C 正确．
对于D，当
时，
，若
在
上恰有2 个零点，则
，解得
，D 错误．
故选：D
二．多选题.
【选点不当 2024 山东济宁一模】
13．已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
和
为函数
图象的两条相邻的对称轴，则
B．若
，则函数
在
上的值域为
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
为奇函数，
则
的最小值为
D．若函数
在
上恰有一个零点，则
【答案】ACD
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；利用正弦型函数的值域可判断B 选项；
利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C 选项；利用正弦型函数的对称性
可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，若
和
为函数
图象的两条相邻的对称轴，
则函数
的最小正周期为
，则
，
所以，
，此时，
，合乎题意，A 对；
对于B 选项，若
，则
，
当
时，则
，所以，
，
故当
时，则函数
在
上的值域为
，B 错；
对于C 选项，将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，
则
为奇函数，
所以，
，解得
，
因为
，当
时，
取最小值，C 对；
对于D 选项，因为
，当
时，
，
因为函数
在
上恰有一个零点，则
，解得
，D 对.
故选：ACD.
【选范围不准 2024 辽宁葫芦岛一模】
14．已知
在区间
上单调递增，则
的取值可能在
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得
的
范围.
【详解】
，
当
，由
，则
，
则有
，
，
解得
，
，
即
，
，
有
，
，即
，即
或
，
当
时，有
，
时，有
，
故
的取值可能在
或
.
故选：AC.
【选范围不当 2024 安徽合肥模拟预测】
15．已知函数
在
上有且仅有5 个零点，则
（ ）
A．
在
上有且仅有3 个极大值点
B．
在
上有且仅有2 个极小值点
C．当
时，
的取值范围是
D．当
时，
图象可能关于直线
对称
【答案】ACD
【分析】作出函数图象结合数形结合思想即可判断AB；对于C，根据
即
可判断；对于D 只需令
解出
再验证是否在C 选项的范围里.
【详解】因为
，当
时，
，因为图象有5 个零点，
所以
，即
的值在
与
之间（包括
不包括
），故A 正确；
当
的值在
与
之间时（包括
不包括
），
则函数在
上有3 个极小值，故B 错误；
当
时，则有
，解得
，故C 正确；
令
，解得
，
当
时，
，故D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的图象性质，整体思想以及数形结合思想.解
决本题的关键是根据题意画出
的大致图象并根据
的图象性质列出不等式
.
【选范围不准 2024 河北衡水模拟预测】
16．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
单调递减，则
B．若
的最小值为
，则
C．若
仅有两个零点，则
D．若
仅有两个极值点，则
【答案】BD
【分析】根据余弦函数图像性质即可求解.
【详解】因为
，所以
，
因为
单调递减，所以由余弦函数图像性质
，
，故A 错误；
因为
的最小值为
，故由余弦函数图像性质
，即
，故B 正确；
因为
仅有两个零点，故由余弦函数图像性质
，
即
，故C 错误；
因为
仅有两个极值点，故由余弦函数图像性质
，得
，故D 正确.
故选：BD.
【选范围不准 2024 浙江宁波二模】
17．已知函数
，（ ）
A．若
，则
是最小正周期为
的偶函数
B．若
为
的一个零点，则
必为
的一个极大值点
C．若
是
的一条对称轴，则
的最小值为
D．若
在
上单调，则
的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据选项中的条件，结合正弦函数的图像、性质逐项判断.
【详解】若
，则
，
所以
是最小正周期为
的偶函数，A 正确；
若
，则
是最小正周期为
，
若
为
的一个零点，则
为
的一个极大值点或极小值点，B 错误；
若
是
的一条对称轴，
则
，
所以
，即
，
又
，所以
的最小值为
，C 正确；
若
则
，由正弦函数的单调性，
令
，解得
，
又
在
上单调，所以当
时，
，
即
，解得
，则
的最大值为
，D 正确.
故选：ACD.
【选点不当 2024 河南信阳模拟预测】
18．已知函数
，则（ ）
A．若
，
，则将函数
的图象向右平移
个单位后关于y 轴对称
B．若
，函数
在
上有最小值，无最大值，且
，则
C．若直线
为函数
图象的一条对称轴，
为函数
图象的一个对称中心，
且
在
上单调递减，则
的最大值为
D．若
在
上至少有2 个解，至多有3 个解，则
【答案】ACD
【分析】根据三角函数图像平移及正弦函数性质可逐一判定各选项.
【详解】对于A：若
，
，则
，将函数
的图象向右平移
个单位后得
，
其图象关于y 轴对称，故A 正确；
对于B：依题意，当
时，
有最小值，所以
，
所以
，所以
，
因为
在区间
上有最小值，无最大值，所以
，即
，
令
，得
，故B 错误；
对于C：依题意有
，则
或
，故C 正确；
对于D：因为
，则
或
，
则
或
，
则需要上述相邻三个根的距离不超过
，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过
，
即
，解得
，故D 正确；
故选：ACD．
三．填空题.
【选范围不准 2024 山东烟台一模】
19．若函数
在
上恰有5 个零点，且在
上单调递增，
则正实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数
，再利用正弦函数的性质求解即得.
【详解】依题意，函数
，由
，得
，
则
或
，
由
，得
，由
在
上恰有5 个零点，
得
，解得
，
由
，得
，即函数
在
上单调递增，
因此
，即
，且
，解得
，
所以正实数
的取值范围为
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求函数
的单调区间时，可把
看成
一个整体，由
求得函数的单调递减区间，由
求得函数的单调递增区间．
【选点不当 2024 江苏宿迁一模】
20．已知定义在区间
上的函数
的值域为
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出
的范围，考虑其右边界的取值范围即可.
【详解】因为
，所以
，
其中
，
相邻的后面一个使得
成立的值为：
，
且
，当且仅当
，解得：
．
故答案是：
.
【选范围不准 2025 辽宁模拟预测】
21．已知函数
的图象与直线
在区间
上恰有4
个交点，从左向右依次为
，
，
，
，且
，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】利用周期性来研究交点得到的线段长，再与总区间长度
进行比较分析即可得到
范围，再利用与直线
的交点坐标可解得
.
【详解】
由题意得
，又
，
所以
，
，
所以
，且
，
解得
，
又因为
，由三角函数的图象变换可得
过点
，所以
，
解得
，所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【选点不当 2024 吉林模拟预测】
22．已知函数
，将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，点
是函数
与
图象的连续相邻的三个交点，若
是钝角三角
形，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据三角函数图象变换得出
解析式，解方程求出
，利用等腰三角形的
性质计算即可.
【详解】易知
，
令
，即
，
根据周期性不妨k 取
，此时
，
则
，
易知
是以B 为顶点的等腰三角形，
若要满足为钝角三角形，则
，解之得
.
故答案为：
.
【选点不当 2024 福建厦门二模】
23．已知函数
在
上单调，
，
则
的可能取值为 .
【答案】
【分析】根据函数的单调区间确定
，再根据
确定关于
周期的相应等式，结合其范围，即可求得答案.
【详解】设
的周期为T，函数
在
上单调，
故
；
由
以及函数
在
上单调，得
，
由
，
，得
或
或
，
若
，则
；
若
，则
；
若
，则
；
故
的可能取值为
，
故答案为：
【选范围不准 2024 江苏南京二模】
24．已知函数
在区间
上单调，且满足
，若
函数
在区间
上恰有5 个零点，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得
的取值范围.
【详解】不妨设函数
的周期为
，
因为
在区间
上单调，可得
，解得
；
又
，可得
且
，解得
；
又
在区间
上恰有5 个零点，所以
，解得
综上可得
，所以
，
解得
，即
的取值范围为
.
故答案为：
【选点不当 教材溯源题】
25．已知函数
，直线
与曲线
的两个交点
如图所示.若
，且
在区间
上单调递减，则
；
.
【答案】 2
【分析】根据
和
，可构造方程求得
，并确定
为半个周期，
根据正弦函数单调性可构造方程组求得
.
【详解】设
，
，
由
得：
，
，
又
，
，解得
.
此时
的小正周期
，
，
在区间
上单调递减，
和
分别为
单调递减区间的起点和终点，
当
时，
，
，
，
又
，
，
综上所述：
，
.
故答案为：2，
.
1.试题特点分析：三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，尤其是参
数
的考查也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息，去求相
关参数.
2.解题方法阐述：解决三角函数解析式中ω ，φ 的问题，主要是利用整体思想整体代换
ωx±φ ，借助正、余弦函数的图象列出关于ω ，φ 的不等式（组），进而求出ω ，φ
的值或取值范围.
3.解题经验分享：第一、理解三角函数解析式中各参数的意义，为进行后续解题提供方
向. 第二、熟悉正弦函数、余弦函数的图象（“五点作图法”）和性质（尤其是最值点、
单调性）.第三、识别关键信息，判断这些信息如何与正弦函数、余弦函数的图象和性质相
结合.
