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易混易错2 分类讨论不全面或分类标准不当（小题狂练）
一．单选题.
【直线斜率分类不全 原创】
1．已知抛物线
的焦点为
，过点
且与抛物线
有唯一公共点的直线有
（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【分析】分斜率不存在，斜率为0 及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式
计算判断即可.
【详解】由抛物线的方程为
知
．
当过点
的直线斜率不存在，即直线与
轴重合时，满足直线与地物线
有唯一公共点．
当过点
的直线斜率为0 时，直线方程为
，满足直线与抛物线
有唯一公共点．
当过点
的直线斜率存在且不为0 时，设直线方程为
，
由
得关于
的方程
，
令
，解得
，此时满足条件的直线有1 条．
综上，过点
与抛物线
有唯一公共点的直线有3 条，
故选：C．
【易错指导】在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去
x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为
一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和
不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情
形．
【参数分类标准不当 2024 福建泉州五中检测】
2．已知方程
，其中
．现有四位同学
对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.
【详解】因为方程
，其中
，
所以当
时，方程为
，即
是圆的方
程，故方程可以是圆的方程；
当
时，方程为
，即
是抛物线的
方程，故方程可以是抛物线的方程；
当
时，方程为
，即
是椭圆的
标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有
，这与
矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3 个.
故选：C.
【易错指导】明确分类标准，以0，1，
作为分界线，若不能准确分类，问题
就难了.
【参数分类标准不当 2024 浙江杭州师大附中模拟】
3．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由二倍角公式化函数为关于
的二次函数形式，然后由二次函数的最值，结合
正弦函数性质得结论．
【详解】由题设可得
，令
，
，
则
，
易知
，
，
，
当
，
，其中
，此时
的值域不是
；
当
，
，其中
，此时
的值域是
；
当
时，
，其中
，此时
的值域不是
；
综上，
.
故选：B．
【易错指导】对进行分类讨论，从而确定的范围.
【忽视对公比是否为1 的讨论而致误 原创】
4．已知等比数列
，首项为
，公比为
，前
项和为
，若数列
是等比数列，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设等比数列
的公比为，则
，分
、
两种情况讨论，求出
的
表达式，结合已知条件可得出等式组，即可得解.
【详解】设等比数列
的公比为，则
.
若
，则
，由题意可得
，即
，
所以，
，解得
，不合乎题意；
若
，则
，则
，
由题意可得
，即
，
所以，
，可得
.
故选：B.
【易错指导】在利用等比数列的前项和公式时，若其公比不确定，则应对公
比分
和
两种情况进行讨论.在解题时首先讨论公比
这一特殊情况，
再在
的情况下，应用等比数列的前项和公式对式子进行整理变形，再进
行研究.
【选法分类不全 原创】
5．多个平台公布了“2023 年十大流行语”，其中有相同的也有不同的，现从中共选取12
个流行语，包括“i 人/e 人”“显眼包”“特种兵式旅游”“遥遥领先”“多巴胺××”“情绪
价值”“双向奔赴”“村BA”“主打一个××”“搭子”“命运的齿轮开始转动”“质疑××，
理解××，成为”，其中“显眼包”“特种兵式旅游”“多巴胺××”“遥遥领先”在多个平台
公布的“2023 年十大流行语”中出现，被称为“最热流行语”．从这12 个流行语中选择4
个不同的流行语，则至多包含2 个“最热流行语”的选法共有（ ）
A．482 种
B．462 种
C．392 种
D．270 种
【答案】B
【分析】利用组合的定义和分类加法求解即可.
【详解】解法一：由题意可知，可以分三类：
第一类，不包含“最热流行语”，有
（种）不同的选法；
第二类，包含1 个“最热流行语”，有
（种）不同的选法；
第三类，包含2 个“最热流行语”，有
（种）不同的选法．
综上，至多包含2 个“最热流行语”共有
（种）不同的选法．
解法二：正难则反，
从12 个流行语中选择4 个不同的流行语共有
（种）不同的选法，
包含3 个“最热流行语”有
（种）不同的选法，
包含4 个“最热流行语”有
（种）不同的选法．
所以至多包含2 个“最热流行语”共有
（种）不同的选法．
故选：B．
【易错指导】根据题目要求，可分为不包含“最热流行语”、包含1 个“最热
流行语”、包含2 个“最热流行语”三种，按照不同分类逐类求解，再相加即
可．也可从反面考虑，方法二中先求从12 个流行语中任选4 个的不同选法，再
减去不符合题意的，即包含3 个和包含4 个“最热流行语”的选法，注意不重、
不漏
【二次项系数讨论不全致误 2024 上云南昆明期中】
6．若不等式
的解集为R，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分类讨论
，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知
恒成立，
当
时，
恒成立，
当
时需满足
，即
，求得
，
所以实数
的取值范围是
故选：C
【易错指导】对于二次项含有字母的一元二次不等式（方程或函数），要注意
讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次项系数不为0 时，才能
利用三个“二次”的关系进行求解.
【忽视公式
的适用条件忘记讨论
致误】
7．已知数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
的关系即可求解
，进而根据等比数列求和公式即可求解.
【详解】
令
可得：
，解得：
，
①，
②，由①-②可得：
，
,
故选：C
【易错指导】本题易忽视公式
的适用条件
而导致错误.利用此公
式求得
后，一定要验证
时是否满足所求出的
，若不满足，则要用分段
形式来表示.
【忽视导数的极值的条件讨论不全 2025 上·湖北·阶段练习】
8．若
在
处取得极大值
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
，由题意可得出
，解出
、
的值，再结合题意进行检验，
即可得解.
【详解】因为
，则
又
在
处取得极大值
，
，解得
或
，
当
，
时，
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
处取得极小值，与题意不符；
当
，
时，
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
处取得极大值，符合题意，则
，
故选：C.
【易错指导】求出
，由题意可得出
，解出、的值，再结合题
意进行检验，即可得解.
【忘记边角关系忽视讨论 2025 上河南洛阳期末】
9．在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】运用正弦定理计算即可.
【详解】因为在
中，
，
，
，
由正弦定理
，得
，
解得
或
，
又因为
可得
，所以
不符合题意，舍去．
可得
，故A，B，D 错误．
故选：C.
【易错指导】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，容易忽略对解
的个数的讨论而出错.两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函
数在在区间
内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此
时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数.
【求直线方程忘记讨论截距为零 2025 上江西期末】
10．经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A．
或
B．
或
或
C．
或
D．
或
或
【答案】B
【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况
的直线方程即可.
【详解】①当直线经过原点时，斜率
，所以直线方程为：
，即
；
②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为
，将点
代入，的
，解得
，所以直线方程为：
，即
；
③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为
，将点
代入，
的
，解得
，所以直线方程为：
，即
；
综上所述，直线方程为：
或
或
.
故选：B.
【易错指导】求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0 的情况从而漏解，要注
意 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而
“距离”是一个非负数．
【动点位置分类不全 原创】
11．已知点
为平面直角坐标系
内的圆
上的动点，定点
，现将坐
标平面沿
轴折成
的二面角，使点
翻折至
，则
两点间距离的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】当
与
位于同一半圆时，可知当
三点共线时取得最小值，当
位于
时，取得最大值；当
与
分别在两个半平面中时，作出二面角的平面角及
在
平面
上的投影点
，设
，利用勾股定理和三角恒等变换知识，结合三
角函数值域求法可求得
所处的范围；综合两种情况可得结果.
【详解】由圆的方程知：圆的半径为
；
当
与
位于同一半圆时，作出该半圆所在的平面图如下图所示，
（当且仅当
三点共线
时取等号），
当
位于图中
处时，
取得最小值
；
又当
位于图中
处时，
取得最大值
；
当
与
分别在两个半平面中时，
作
平面
，垂足为
，作
轴，垂足为
，连接
，则
三点共线，
设
为延长线上的点，则
即为翻折后的二面角的平面角，
，
，
，
，
，
；
为圆
右半圆上的点，
可设
，
，
，
（其中
，
），
，
当
，即
时，
，
则
；
又
，
，即
；
综上所述：
两点间的距离的取值范围为
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查空间中两点间距离的取值范围的求解问题，解题关键是能
够分别讨论两点位于同一半平面和不同两个半平面中两种情况；尤其当两点位于不同半平
面中时，能够结合二面角平面角的定义和投影点，利用勾股定理表示出所求距离.
【易错指导】分别讨论两点位于同一半平面和两个半平面中两种情况
二．多选题.
【焦点的位置讨论不全致误 2024 上江苏连云港期中】
12．已知抛物线
的焦点在直线
上，则抛物线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可.
【详解】易知直线
与坐标轴的交点分别为
，
当焦点为
时，可知抛物线方程为：
；
当焦点为
时，可知抛物线方程为：
.
故选：BD
【易错指导】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可.
【分类讨论不全致误】
13．已知
，
，若
，则实数
可能取的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据
，对集合A 进行分类讨论，结合二次方程根的判别式和韦达定理
计算.
【详解】当
时，
，解得
；
当
时，即
或
时，此时方程
的两个根需满足小于等于
，
则
，
，得
，
，
综上，
.
故选：ACD.
【易错指导】已知集合间的包含关系或运算求参数时要注意讨论
两
种情况.
【平面上点的位置关系讨论不全面致误 2024 河北邢台阶段练习】
14．在空间直角坐标系
中，若
四点可以构成一个
平行四边形，则
的坐标可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D 点坐标，即得答
案.
【详解】由题意得
.
设
的坐标为
，
若四边形
为平行四边形，则
，则
，
此时
的坐标为
.
若四边形
为平行四边形，则
，
则
，
，此时
的坐标为
.
若四边形
为平行四边形，则
，
则
，此时
的坐标为
，
故选：ABC
【易错指导】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D
点坐标，即得答案.
【平面向量的位置关系讨论不全面致误】
15．若平面向量
两两夹角相等，
为单位向量，
，则
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】AD
【分析】由平面向量
两两夹角相等可知，夹角为
或
.分两种情况对三个向量的
和的模长进行讨论，算出结果.
【详解】
平面向量
两两夹角相等，
两两向量所成的角是
或
.
当夹角为
时，
同向共线，
则
；
当夹角为
时，
为单位向量，
，且
与
反向共线，
又
，
.
故选：AD.
【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，
属于中档题.
【易错指导】由平面向量
两两夹角相等可知，夹角为
或
.分两种情况
对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果.
16．用数字
组成无重复数字的四位数，则（ ）
A．可组成360 个四位数
B．可组成120 个四位偶数
C．可组成108 个是5 的倍数的四位数
D．可组成270 个比 1325 大的四位数
【答案】CD
【分析】根据题设，逐一分析各个选项的限制条件，利用特殊位置法、排列数和两个计数
原理列式计算即可.
【详解】选项A：组成的四位数首位不能为0，有5 种选法，
再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置，有
种选法，
由分步乘法计数原理的可以组成的四位数有
个，A 说法错误；
选项B：当末位数字是0 时，可以组成
个，
当末位数字不是0 时，末位有2，4 两种选法，首位有4 种选法，中间两位可以从余下的4
个数字中选两个，共有
种结果，
根据分类加法计数原理可得共有
个，B 说法错误；
选项C：当末位数字是0 时，可以组成
个，
当末位数字是5 时，首位有4 种选法，中间两位可以从余下的4 个数字中选两个，共有
个，
根据分类加法计数原理可得共有
个，C 说法正确；
选项D：当千位上的数字比1 大时，共有
个，
当千位上数字是1，百位上的数字比3 大时，共有
个，
当千位上数字是1，百位上数字是3 时，十位上数字比2 大时，共有
个，
不存在千位上数字是1，百位上数字是3，十位上数字是2 时比1325 大的四位数，
所以共有
个，D 说法正确；
故选：CD
【易错指导】逐一分析各个选项的限制条件，利用特殊位置法、排列数和两个
计数原理列式计算即可，分类时要做到标准明确、不重不漏.
【共线向量讨论不全面致误 2025 上云南期末】
17．设
，
是互相垂直的单位向量，
，
，下列选项正确的
是（ ）
A．若点C 在线段AB 上，则
B．若
，则
C．当
时，与
共线的单位向量是
D．当
时，
在
上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】对A：根据向量共线分析运算；对B：根据向量垂直运算求解；对C：根据单位
向量分析运算；对D：根据投影向量分析运算.
【详解】由题意可得：
，
对A：若点C 在线段AB 上，则
，则
，
可得
，解得
或
（舍去），故A 正确；
对B：由
，可得
，
解得
，故B 正确；
对C：当
时，则
，
与
共线的单位向量是
，故C 错误；
对D：当
时，可得
，
则
在
上的投影向量为
，故D 正确.
故选：ABD．
【易错指导】共线向量的定义指出方向相同或相反的非零向量称为共线向量，
并规定零向量与任意向量共线，本题容易忽略方向相反的情况而造成漏解.
【分类讨论标准不明确致误 2024 安徽池州二模】
18．已知圆
和两点
为圆
所在平面内的动点，记
以
为直径的圆为圆
，以
为直径的圆为圆
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆
与圆
内切，则圆
与圆
内切
B．若圆
与圆
外切，则圆
与圆
外切
C．若
，且圆
与圆
内切，则点
的轨迹为椭圆
D．若
，且圆
与圆
外切，则点
的轨迹为双曲线
【答案】C
【分析】先证明当
时，若
，则圆
与圆
内切，圆
与圆
外切；若
，则圆
与圆
外切，圆
与圆
内切，从而A 和B 错误；然后当
时，
将条件变为
，从而根据椭圆定义知点
的轨迹为椭圆，C 正确；当
时，
将条件变为
，从而根据双曲线定义知点
的轨迹为双曲线的左支，D 错误.
【详解】我们分别记
的中点为
，显然
是
的中点，故
，
.
当
时，
在圆
内，此时，圆
和圆
不可能与圆
外切，而圆
与圆
内
切等价于
，
即
，即
，同理，圆与圆
内切也等价于
；
当
时，
在圆
外，故“圆
与圆
内切”和“圆
与圆
外切”分别等价于
和
，
即
和
，即
和
.
所以，此时“圆
与圆
内切”和“圆
与圆
外切”分别等价于
和
，同理，“圆
与圆
内切”和“圆
与圆
外切”分别等价于
和
.
下面考虑四个选项（我们没有考虑
的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有
选项的正确性）：
由于当
时，若
，则圆
与圆
内切，圆
与圆
外切；
若
，则圆
与圆
外切，圆
与圆
内切.
这分别构成A 选项和B 选项的反例，故A 和B 错误；
若
，则
，此时“圆
与圆
内切”和“圆
与圆
内切”都等价于
，
而根据椭圆定义，
对应的轨迹即为
，C 正确；
若
，则
，此时“圆
与圆
外切”等价于
，
而根据双曲线定义，
对应的轨迹为
，
仅仅是双曲线的半支，D 错误.
故选：C.
【易错指导】应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线
定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的
常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；
二抛物线则要满足定点不在定直线上.
三．填空题.
【忽略圆锥曲线焦点位置讨论不全致误】
19．写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 .
①实轴长为4；②渐近线方程为
【答案】
或
【分析】根据题意可求出a，然后在根据渐近线方程求出b，由于题目没有告诉双曲线的焦
点在x 轴上还是y 轴上，所以需要分类讨论.
【详解】当双曲线焦点在x 轴上时，由题意可知:
，此时双曲线标
准方程为
.
当双曲线焦点在y 轴上时，由题意可知：
，此时双曲线标准方程
为
.
故答案为：
或
【易错指导】本题容易忽略对椭圆焦点位置的讨论而漏解.由于建系的方案不同，
三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x，y 轴两种情况，
二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定
位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求
或
的值．
【忽视递推公式满足的条件忘记讨论致误】
20．已知数列
，
为
的前n 项和，
，
，则
.
【答案】
【分析】利用
与
的关系式，结合等比数列的通项公式即可得解.
【详解】
，①
，
，②
①
②得
，
.
又
，所以
，
所以
是从第2 项开始的等比数列，则
，
所以
.
故答案为：
.
【易错指导】在由递推公式
求通项公式时，要注意
这个
条件是对数列中的所有项都满足递推公式，一旦出现
此时
这个条件是对数列中从第二项开始满足递推公式，在求通项公式的时候一
定要进行辨别.
【忘记讨论截距为0 致误】
21．过点
，在
轴上的截距和在
轴上的截距相等的直线方程为 ．
【答案】
或
【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.
【详解】当直线过原点时，直线
在
轴上的截距和在
轴上的截距相等，则直线方程
为
；
当直线不过原点时，设直线方程为
，则
，解得
，直线方程为
，
所以所求直线方程为
或
.
故答案为：
或
【易错指导】在设直线的截距式方程时，要注意截距式方程的形式的限制条件，
尤其是要注意直线过原点的特殊情况.
【忘记讨论直线斜率是否存在 2025 上宁夏吴忠期中】
22．已知圆
，直线过点
且与圆
相切，则直线的方程为
．
【答案】
和
【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解.
【详解】圆
的圆心和半径分别为
，
当直线无斜率时，此时：
，与圆相切，符合题意，
当直线有斜率时，设
，
此时圆心
到直线的距离为
，解得
，
此时直线方程为
，即
，
综上可得
和
故答案为：
和
【易错指导】在求过某点的圆的切线方程时，要注意讨论该点和圆的位置关系
确定切线的条数以免漏解.
【对
取值的讨论而致误】
23．在等差数列
中，
，
与
互为相反数，
为
的前n 项和，
，
则
的最小值是 ．
【答案】6
【分析】根据条件求出
，
，对
进行分类讨论求出
，求出
的表达式，再构
造函数利用导数研究函数的最值，即可得到答案；
【详解】
，
，
解得：
，
，
，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
考察函数
，
，
当
时，
，
在
单调递增，
当
时，
为最小值；
当
时，
，
考察函数
，
，
当
时，
；
函数在
单调递增，
当
时，
为最小值；
综上所述：
的最小值是
；
故答案为：
【易错指导】分清楚取何值时
或
，当
的各项都为非负数时，
的前项和等于
的前项和，当
的各项都为非正数时，
的前
项和等于
的前项和的相反数，当
的某些项是正的，某些项是负的时，
要对进行分类讨论，转化成
的前项和求解.
【参数取值情况分类不全 原创】
24．设函数
的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意
，都有
，则称
为D 上的“m 型增函数”，已知函数
是定义在R 上的奇函
数，且当
时，
．若
为R 上的“20 型增函数”，则实数a 的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】先求出函数
的解析式，再对a 分类讨论结合函数的图像的变换分析解答得解.
【详解】∵函数
是定义在R 上的奇函数且当
时，
，
∴
，
∵
为R 上的“20 型增函数”，
∴
，
当
时，由
的图象(图1)可知，向左平移20 个单位长度得
的图象显然在
图象的上方，显然满足
．
当
时，由
的图象(图2)向左平移20 个单位长度得到
的图象，要
的图象在
图象的上方．∴
，∴
，
综上可知：
.
故答案为
【点睛】本题主要考查函数图像的变换和函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平，属于中档题.
【敲黑板】若对的分类标准不合适，就易出现逻辑混乱，下面再求解就难了
为
上的“20 型增函数”，
在
上恒成立．
①当
时，由
的图象（如图1）向左平移20 个单位长度得
的图象，显然
的图象在
图象的上方，满足
．
②当
时，由
的图象（如图2）向左平移20 个单位长度得到
的图象，要
保证
的图象在
图象的上方，需满足
，可得
．
综上可知，实数
的取值范围是
．
【会分类】函数解析式中含有绝时值，注意对a 的值进行分类讨论
1.试题特点分析：分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也
是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方
法，引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的；
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给
出的；
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论；
④某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等
2.解题方法阐述：进行分类讨论时，我们要遵循的原则是分类的对象是确定的，
标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论，其中
最重要的一条是“不漏不重”.
3.解题经验分享：第一、确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围. 第二、确
定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重、分类互斥(没有重复).第
三、对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果.第四，进行归纳小结，
综合得出结论.
