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2025 年高考数学真题完全解读（全国二卷）
适用省份
海南、重庆、辽宁、贵州、广西、吉林、黑龙江、甘肃、四川、云南、内蒙古、陕西、山
西、青海、宁夏、新疆、西藏。
一、试卷结构与难度分布
试卷依旧保持19 题的结构模式，整体难度适中，计算量与阅读量相比去年有所减少 ，对考生较为
友好。试卷难度呈现梯度分布，起点较低，入口多样。其中，单选题1 - 8 题、多选题9 - 10 题、填空
题12 - 13 题以及解答题15 题、16 题第（1）问、17 题第（1）问都属于基础题，主要考查学生对基本
概念、公式和方法的掌握，易于作答，这使得多数学生能够顺利入手，缓解考试紧张情绪，也有助于
稳定整体得分。然而，试卷也具备一定的区分度，如解答题18 题和19 题难度较大，对学生的思维能力
和综合素养提出了较高要求，能够有效选拔出数学能力突出的学生。
二、考查内容特点
1. 双基固本，强化核心知识：试卷全面覆盖集合、函数与导数、三角、向量、数列、几何、概率
统计等核心知识模块，注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练程度与灵活应用能力，强调知识的
整体性和连贯性。例如，前几道单选题分别考查了样本平均数计算、复数运算、集合运算、解分式不
等式、解三角形等基础内容；填空题12 题考查向量运算，13 题考查导数的极值点问题，这些都是对基
础知识的直接检验。
2. 情境赋能，链接生活实际：创设了多元的生活实际情境，实现从“考知识”到“考能力”的转
变。如填空题14 题以圆柱形容器内放置两个同半径的球为情境，考查学生的空间想象能力和构建方程
解题的能力；19 题以学生熟悉的乒乓球练习为背景，构建概率模型，考查学生运用概率知识解决实际
问题的能力，体现了数学的应用价值，引导学生关注生活，增强实践能力 。
3. 素养贯通，凸显育人功能：紧扣数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等核心
素养，彰显学科育人价值。例如18 题利用导数求函数的零点与极值点，在含参数的区间上研究函数的
单调性，并判断极值点的2 倍与零点的大小关系，考查学生的理性思维和逻辑推理能力；19 题要求学
生建立重复独立事件的概率模型进行计算与证明，体现了从直观感知到严格论证的课标要求，提升学
生的综合素养。
三、试题创新点
1. 创新试题设计，考查思维能力：在命题上积极创新，如19 题引入新颖的乒乓球练习情境研究概
率关系，打破常规，考查学生在新情境下创造性分析问题、建立新知识联系并形成解题思路的能力。
2. 增强探究开放，考查思维品质：创新设问方式，增强试题的探索性和综合性，如18 题研究函数
极值点和零点的关系，设问由浅入深，逻辑性强，具有一定开放性，考查化归与转化、数形结合、函
数与方程等数学思想，有效考查学生的思维过程和思维品质 。
1
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3. 优化试卷结构，灵活调整顺序：对各知识模块的考查顺序和难易度进行动态调整，如以往作为
压轴题的圆锥曲线题调整到16 题，而概率题加强能力考查力度，安排在19 题。这种调整打破学生机械
应试的套路，测试学生的应变能力。
一.2025 年高考数学试题特色——数学运算
1.（2025 全国二卷第5 题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【技巧】
又因
，故
，选A
2.（2025 全国二卷第13 题）若
是函数
的极值点，则
【答案】
【解析】由题意有
，
所以
，
【技巧】不用展开，利用运算法则求导
因为
是函数
极值点，所以
，得
，
当
时，
，
当
单调递增，当
单调递减，
当
单调递增，
所以
是函数
的极小值点，符合题意；
所以
.
二．2025 年高考数学试题特色——知识交汇
2025 年新高考试题中知识的交汇大多在本模块内进行，如圆锥曲线与圆，函数与导数，
立体几何初步与空间向量等，二项分布与古典概型等符合大单元教学的理念。
1．（2025 全国二卷第11 题）双曲线
的左、右焦点分别是
，左、右顶点分
2
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别为
，以
为直径的圆与C 的一条渐近线交于M、N 两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．C 的离心率为
D．当
时，四边形
的面积为
2．（2025 全国二卷第15 题）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
3．（2025 全国二卷第17 题）如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点E 在
AB 上，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与
面EFCB 所成的二面角为
．
(1)证明:
平面
；
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值．
4．（2025 全国二卷第19 题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1 分，负者得0 分．设每个球甲
胜的概率为
，乙胜的概率为q，
，且各球的胜负相互独立，对正整数
，记
为
打完k 个球后甲比乙至少多得2 分的概率，
为打完k 个球后乙比甲至少多得2 分的概率．
(1)求
（用p 表示）．
(2)若
，求p．
(3)证明：对任意正整数m，
．
2025 年新高考全国I 卷数学试题双向细目表
3
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教学中注意改变学生以往的学习观. 学生对数学概念知识不能单纯地死记硬背，要理 解概念的本质，
灵活掌握，对课本上的知识点进行梳理，把教材上的每一个例题、习题再 深思熟虑仔细做一遍，确保基本
概念、公式等真正理解牢固掌握.一些基本的运算方法和 技巧也要掌握并能灵活运用，做到熟能生巧.新
课标全国Ⅰ卷数学试题引导我们要转变教师的教学理念.课 堂中注重落实教考衔接，引导学生重视教材基
本原理、数学思想方法的理解把握，充分发挥学生的主体作用，只有把学生的主体地位发挥好，才能使课堂
高效，才能使学生的积极性调动起来 ，才能使学生愿意亲手实践、认真思考，学生思维能力得到培养，才能
做到真懂会用、融会贯通，真正提高分析和解决问题的能力.
题
号
分
值
题型
新高考Ⅰ卷
考查内容
命题点
1
5
单选
统计
平均数
2
5
单选
复数
复数的运算
3
5
单选
集合
交集的运算
4
5
单选
不等式
分式不等式
5
5
单选
解三角形
余弦定理
6
5
单选
圆锥曲线
抛物线的性质，焦点弦
7
5
单选
数列
等差数列基本量运算
8
5
单选
三角函数
三角恒等变换
9
6
多选
数列
等比数列基本量运算
10
6
多选
函数与导数
函数的性质，利用导数研究函数的极值
11
6
多选
圆锥曲线
双曲线的性质
12
5
填空
平面向量
向量垂直的坐标表示
13
5
填空
导数
利用导数研究函数的极值
14
5
填空
立体几何
球的切接
15
13
解答
三角函数
三角函数的性质
16
15
解答
圆锥曲线
椭圆方程，弦长
17
15
解答
立体几何
线面平面，二面角
18
17
解答
导数
利用导数研究函数的单调性、极值点、零点，证明不等式
19
17
解答
概率与统计
古典概型，二项分布的概率的最大问题
4
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2025 年新高考全国二卷数学试题及解析
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．样本数据2，8，14，16，20 的平均数为（ ）A．8B．9
C．12
D．18
【答案】C
【解析】样本数据
的平均数为
.故选：C.
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】因为
，所以
.故选：A.
【知识拓展】除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数
3．已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
，故选：D.
【知识拓展】对于集合的交运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是
连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
4．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
即为
即
，故
，解集为
，故选C.
【知识拓展】不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使不等号右边为零,然后
再用上述方法转化为整式不等式(组)求解.
5．在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
5
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【解析】由题意得
，
又
，所以
，故选：A
【知识拓展】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有
角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
6．设抛物线
的焦点为
点A 在C 上，过A 作
的准线的垂线，垂足为B，若直线BF
的方程为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】对
，令
，则
，
所以
，
即抛物线
，故抛物线的准线方程为
，
故
，则
，代入抛物线
得
.
所以
.故选：C
【知识拓展】抛物线定义的应用
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现
点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
7．记
为等差数列
的前n 项和，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等差数列
的公差为d，则由题可得
，
所以
，故选：B.
【知识拓展】（1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就
能求出另外两个
6
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(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
8．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
因为
，则
，则
，
则
.
故选：D.
【知识拓展】给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角
的范围求出相应角的三角函数值，代入即可．
二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．记
为等比数列
的前n 项和，
为
的公比，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对A，由题意得
，结合
，解得
或
（舍去），故A 正确；
对B，则
，故B 错误；
对C，
，故C 错误；
对D，
，
，
则
，故D 正确；故选AD.
7
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【知识拓展】等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q＝1 的情形，否则会漏解或增解．
10．已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
【答案】ABD
【解析】对A，因为
定义在
上奇函数，则
，故A 正确；
对B，当
时，
，则
，故B 正确；
对C，
， 故C 错误；
对D，当
时，
，则
，
令
，解得
或（舍去），
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
则
是
极大值点，故D 正确；故选ABD.
【知识拓展】1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知
区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
2.函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0 的根．
(3)用方程f′(x)＝0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0 的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
11．双曲线
的左、右焦点分别是
，左、右顶点分别为
，以
为直
径的圆与C 的一条渐近线交于M、N 两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．C 的离心率为
D．当
时，四边形
的面积为
【答案】ACD
【解析】不妨设渐近线为
，
在第一象限，
在第三象限，
8
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对于A，由双曲线的对称性可得
为平行四边形，故
，故A 正确；
对于B，方法一：因为
在以
为直径的圆上，故
且
，
设
，则
，故
，故
，
由A 得
，故
即
，故B 错误；
方法二：因为
，因为双曲线中，
，
则
，又因为以
为直径的圆与
的一条渐近线交于
、
，则
，
则若过点
往
轴作垂线，垂足为
，则
，则点
与
重合，则
轴，
则
，
方法三：在
利用余弦定理知，
，
即
，则
，
则
为直角三角形，且
，则
，故B 错误；
对于C，方法一：因为
，故
，
9
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由B 可知
，
故
即
，
故离心率
，故C 正确；
方法二：因为
，则
，则
，故C 正确；
对于D，当
时，由C 可知
，故
，
故
，故四边形
为
，
故D 正确，故选：ACD.
【知识拓展】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c 的方程
或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值
(或范围)．
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．已知平面向量
若
，则
【答案】
【解析】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
【知识拓展】1.求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义．
2.两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
13．若
是函数
的极值点，则
【答案】
【解析】由题意有
，
所以
，
因为
是函数
极值点，所以
，得
，
当
时，
，
当
单调递增，当
单调递减，
10
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当
单调递增，
所以
是函数
的极小值点，符合题意；
所以
.
【知识拓展】根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：求解后验证根的合理性．
14．一个底面半径为
，高为
的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，
则铁球半径的最大值为
．
【答案】
【解析】圆柱的底面半径为
，设铁球的半径为r，且
，
由圆柱与球的性质知
，
即
，
，
【知识拓展】内切球问题的处理思路
通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，解题思路如下：
（1）定球心：内切球中球心到切点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这
些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.
四、解答题：本题共5 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【解】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
11
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所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
【知识拓展】1.三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cos x 和sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域．
2.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不
等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω 化为正数，防止把单调性弄错．
16．已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点
的直线l 与C 交于
两点，
为坐标原点，若
的面积为
，求
．
【解】（1）因为长轴长为4，故
，而离心率为
，故
，
故
，故椭圆方程为：
.
（2）由题设直线
的斜率不为0，故设直线
，
，
12
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由
可得
，
故
即
，
且
，
故
，
解得
，
故
.
【知识拓展】1.根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求
椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝
1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝λ 或＋＝λ(a>b>0，λ>0)．
2.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则
弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x1－x2|＝；
②|AB|＝|y1－y2|(k≠0)＝
17．如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点E 在AB 上，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成的二面
角为
．
(1)证明:
平面
；
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值．
13
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【解】（1）设
，所以
，因为
为
中点，所以
，因为
，
，
所以
是平行四边形， 所以
，所以
，
因为
平面
平面
，所以
平面
，
因为
平面
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
．
（2）
因为
，所以
，又因为
，所以
，
以
为原点，
以及垂直于平面
的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系.
因为
，平面
与平面
所成二面角为60° ，
所以
.
则
，
，
，
，
，.
所以
.
设平面
的法向量为
，则
，所以
，令
，则
，则
.
设平面
的法向量为
，
则
，所以
，
令
，则
，所以
.
所以
.
14
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所以平面
与平面
夹角的正弦值为
.
【知识拓展】1.判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
2.利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后
通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．
18．已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
·证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
【解】（1）由题得
，
因为
，所以
，设
，
则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
，令
，
所以当
时，
，则
；当
时，
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上存在唯一极值点，
对函数
有
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
又因为
，
时
，
15
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所以
时
，
所以存在唯一
使得
，即
在
上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知
，则
，
，
则
，
因为
，所以
，所以
，
所以
， 所以函数
在区间
上单调递减；
（ii）
，证明如下：
由（i）知：函数
在区间
上单调递减，
所以
即
，又
，
由（1）可知
在
上单调递减，
，且对任意
，
所以
.
【知识拓展】1.利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确
定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
2.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要
进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．
19．甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1 分，负者得0 分．设每个球甲胜的概率为
，
乙胜的概率为q，
，且各球的胜负相互独立，对正整数
，记
为打完k 个球后甲比乙至少多
得2 分的概率，
为打完k 个球后乙比甲至少多得2 分的概率．
(1)求
（用p 表示）．
(2)若
，求p．
(3)证明：对任意正整数m，
．
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【解】（1）
为打完3 个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，
故所求为
，
为打完4 个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，
故所求为
；
（2）由（1）得
，
，同理
，
若
，
，
则
，
由于
，所以
，解得
；
（3）我们有
.
以及
.
至此我们得到
，
，同理有
，
.
故
，即
.
另一方面，由于
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且同理有
.
故结合
，
就能得到
，即
，证毕.
【知识拓展】1.二项分布问题的解题关键
(1)定型：
①在每一次试验中，事件发生的概率相同．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n 和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
2.模型的选择
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