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7-1 导数的概念及其意义、导数的运算
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))
的导数．
7-1 导数的概念及其意义、导数的运算..............................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：导数的概念.......................................................2
考点2：导数的几何意义...................................................2
考点3：基本初等函数的导数公式...........................................2
【常用结论总结】.........................................................3
二、分类题型................................................................3
题型一 导数的运算........................................................4
题型二 导数的几何意义....................................................4
命题点1 求切线方程..................................................4
命题点2 求参数的值(范围)............................................5
题型三 两曲线的公切线....................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................6
1
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一、主干知识
考点1：导数的概念
1、导数的定义：如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立
f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）； 如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a 处的右导数
和端点b 处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称
导数．
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或
.f′(x0)＝lim ＝lim .
(2)函数y＝f(x)的导函数：f′(x)＝lim .
考点2：导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k 切线＝f′
（x0）＝
．
考点3：基本初等函数的导数公式
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数） ②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R） ③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx ⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）
⑦[logax）]′＝
*（logae）＝
（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′＝
．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x） ②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[
]′＝
．
3、导数的运算法则
2
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若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f ′
( x )±
g ′
( x ) ；[f(x)g(x)]′＝f ′
( x ) g ( x ) ＋
f ( x ) g ′
( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf ′
( x ) ．
4、复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y 对x 的导数等于y
对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
【常用结论总结】
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
3
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二、分类题型
题型一 导数的运算
【例题精析1】
（2023·上海·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)
；(2)
；(3)
；
(4)
；(5)
；(6)
．
【解答】（1）因为函数
可以看做函数
和
的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
；
（2）因为函数
可以看做函数
和
的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
；
4
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（3）因为函数
可以看做函数
和
的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
，
又因为函数
可以看做函数
和
的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
所以
；
（4）函数
可化为
因为函数
可以看做函数
和
的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
，
所以
；
（5）因为函数
可以看做函数
和
的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
，
5
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又因为函数
可以看做函数
和
的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
所以
；
（6）函数
可化为
，
因为函数
可以看做函数
和
的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，
，
所以
.
【例题精析2】
（全国·高考真题）设
，求
．
6
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【解答】函数
可以看作函数
和
的复合函数，根据复合函数求导法则有
，
，
函数
，则有
.
【例题精析3】
（2023·全国·高三专题练习）求函数
的导数
【解答】函数
可以看成
和
的复合函数，
因此
，
函数
，则有
.
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求
导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
【对点精练1】
（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)
；(2)
；(3)
；
(4)
；(5)
；(6)
．
【解答】（1）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
7
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∴
．
（2）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
∴
.
（3）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
∴
．
（4）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
∴
．
（5）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
∴
．
（6）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
∴
．
【对点精练2】
（2023·全国·高三专题练习）求函数
的导函数.
【解答】
，
可以看成函数
与
的复合函数，
因此
【对点精练3】
（2023·全国·高三专题练习）求函数
的导函数
【解答】函数
可以看成
与
的复合函数，
8
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因此
，由
，
则
。
【对点精练4】
（2022·全国·高二专题练习）函数
的导函数是
，则
______________.
【解答】解：因为
，
由于
且
，解得：
且
，
即
的定义域为：
，
，
即：
.
故答案为：
．
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
【例题精析4】
（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）函数
在
处的切线方程为
9
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________．
【解答】因为
，则
，
又
，则
，
所以函数
在
处的切线方程为
，
即
.
故答案为：
【例题精析5】
（2023 春·陕西西安·高二校考期末）若函数
为定义在
上的奇函数，则
曲线
在点
处的切线方程为________．
【解答】因为函数
为定义在
上的奇函数，
所以
，即
，
此时
，
，
所以
，即函数
为奇函数，符合题意，
所以
，
所以
，
所以
，
即曲线
在点
处的切线斜率为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.故答案为：
.
【例题精析6】
（2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线
的切线，则切线方程为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【解答】由函数
，可得
，
设切点坐标为
，可得切线方程为
，
把原点
代入方程，可得
，即
，
解得
，所以切线方程为
，即
.故选：A.
【例题精析7】
（2023·全国·模拟预测）已知函数
，其导函数为
，则曲线
过点
的切线方程为______．
【解答】设切点为
，由
，得
，
∴
，得
，∴
，
，
∴切点
为
，
，
∴曲线
在点M 处的切线方程为
①，
又∵该切线过点
，∴
，解得
或
．
将
代入①得切线方程为
；
将
代入①得切线方程为
，即
．
∴曲线
过点
的切线方程为
或
．
故答案为：
或
【例题精析8】
（2023 春·天津滨海新·高二校考期中）过点
与曲线
相切的切线方程为
___________．
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【解答】设切点为
，则
，
得
，则切点为
，
切线方程为
，即
．
故答案为：
.
【对点精练5】
（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为___________
【解答】由
，所以
，
所以
，所以曲线
在点
处的切线斜率为2，
所以所求切线方程为
，即
.故答案为：
.
【对点精练6】
（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知函数
为定义在R 上的偶函数，且
当
时，
，则函数
在
处的切线斜率为___________.
【解答】
，
，
.
函数
为定义在R 上的偶函数，
函数
在
处的切线斜率与函数
在
处的切线斜率互为相反数，
.
故答案为：
【对点精练7】
（2023·广东东莞·校联考模拟预测）函数
在点
处的切线方程为________.
【解答】
，
，则
，
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因此，函数
在点
处的切线方程为
即
.
故答案为：
（写成
亦可）.
【对点精练8】
（2023·全国·高三专题练习）过点
与曲线
相切的直线方程为
______．
【解答】设切点坐标为
，
，
.
则切线方程为
，因为
在切线上，
所以
，即
又
，所以
，
令
，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
所以方程
只有唯一解为
.
即切点坐标为
，故所求切线方程为
，即
.
故答案为：
【对点精练9】
（2023 春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）写出曲线
过点
的一条切线方程__________．
【解答】解：因为点
在曲线
上，所以曲线
在点
处的切线方程符合题意．
因为
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
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因为当
或
时，
；当
时，
，
所以函数
在
处取得极大值
，又极大值恰好等于点
的纵坐标，所以直线
也符合
题意．
故答案为：
或
（写出其中的一个答案即可）
【对点精练10】
（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数
，过点
作曲线
的切线，
则的方程为___________.
【解答】解：由题意可设切点坐标为
，因为
，所以
，所以切线的
斜率
，
则的方程为
，又点
在切线上，所以
解得
，所以切线方程为：
，即
.
故答案为：
.
命题点2 求参数的值(范围)
【例题精析9】
（2023 春·江苏南京·高二校考期末）已知函数
的图象在点
处的切
线斜率为1，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【解答】因为
，所以
，解得
.故选：D
【例题精析10】
（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为2，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
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【解答】由函数
，可得
，
因为函数
的图象在点
处的切线斜率为
，
可得
，解得
.
故选：B.
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”．
【对点精练11】
（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若曲线
的一条切线为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】因为
，所以
，
设曲线
与直线
的切点为
，
由导数的几何意义可得
，解得：
，则
，
又因为
又在
上，
所以
，则
故选：A.
【对点精练12】
（2023·全国·高二专题练习）已知函数
的图象在点
处的切线与直线
互相垂直，则实数
________．
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【解答】由题意得：
，
则在点
处的切线斜率
，
又因为在点
处的切线与直线
互相垂直，
且直线
的斜率为
，
所以
，解得：
，
故答案为：
.
【对点精练13】
（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知
，
为正实数，函数
在
处的切线斜率为
，则
的最小值为 ______ ．
【解答】
函数
，
所以
因为函数
的图象在
处的切线斜率为
，
所以
，
因为
，
为正实数，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
．故答案为：
．
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题型三 两曲线的公切线
【例题精析11】
（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数
的图像关于原点对称，则与曲
线
和
均相切的直线l 有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【解答】函数
的图像关于原点对称，则有
，
即
，解得
，所以
，
由
，所以
在点
处的切线方程为
，整理得
．
设
，直线l 与
的图像相切于点
，因为
，
所以切线方程为
，整理得
，则
（*），
整理得
，
当
时，
，方程有两个非零实数根，
也满足方程，故
有3 个解，
所以方程组（*）有3 组解，故满足题中条件的直线l 有3 条．
故选：C
【例题精析12】
（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线
与曲线
和曲线
均相切，
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则实数
的解的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数
【解答】根据题意可知，直线
与曲线
和曲线
都相切，
所以对于曲线
，则
，所以
，
所以切点
，
对于曲线
，则
，所以
，
切点
，易知A,B 不重合，
因为公切线过
两点，所以
，
进而可得
，
令
，则
，
令
，则
所以
在
单调递增，
因为
，
所以存在
使得
，即
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
故
.
又因为
，
18
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所以
，
当
时，
，
因为
，
所以在
内存在
，使得
，
当
时，
，
因为
，
，
所以在
内存在
，使得
，
综上所述，存在两条斜率分别为
，
的直线与曲线
和曲线
都相切，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，
解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程
解的个数问题，然后构造函数，
利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
【例题精析13】
（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线
都相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】设该直线与
相切于点
，
因为
，所以
，所以
，
所以该切线方程为
，即
.
设该直线与
相切于点
，
19
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因为
，所以
，所以
，
所以该切线方程为
，即
.
所以
，
所以
，
令
，则
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上单调递减；在
和
上单调递增.
又
-1，所以
，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.故选：D.
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合
列方程组求解．
【对点精练14】
（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数
，
，
若直线
为
和
的公切线，则b 等于（ ）
20
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A．
B．
C．
D．
【解答】设直线
与
相切于点
，
与
相切于点
，
由
，所以
，
由
，
则
，
即点
，代入直线中有：
， ①
由
，
所以
，
由
，
，
即点
，代入直线中有：
， ②
联立①②解得：
，
所以
，
故选：B.
【对点精练15】
（2023·山东烟台·统考三模）若曲线
与曲线
有两条公切线，则
的值为
________．
【解答】令
，
，则
，
，
21
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设
，则曲线
在
处切线为
，
设
，则曲线
在
处切线为
，
由题意
，消去
得
，
由题意，方程
有两个不同的实数根，
令
，则
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
故当
时，
取极大值
；当
时，
取极小值
，
又当
时
，根据以上信息作出
的大致图象，
由图可知当
，即
时，直线
与
的图象有两个交点，从而方程
有两
个不同的实数根，
所以，曲线
与曲线
有两条公切线时，
的值为
．
故答案为：
．
【对点精练16】
（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数
，若曲线
与曲线
存在公切线，则实数
的最大值为__________．
22
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【解答】
，
假设两曲线在同一点
处相切，
则
，可得
，即
，
因为函数
单调递增，且
时
，
所以
，则
，此时两曲线在
处相切，
根据曲线的变化趋势，若
继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
【对点精练17】
（2023·福建南平·统考模拟预测）已知曲线
和曲线
有唯一公共点，且这两条曲
线在该公共点处有相同的切线l，则l 的方程为________．
【解答】设曲线
和曲线
在公共点
处的切线相同，
则
，
由题意知
，
即
，解得
，
故切点为
，切线斜率为
，
所以切线方程为
，即
，
故答案为：
23
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三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2017•上海）在数列
中，
，
，则
A．等于
B．等于0
C．等于
D．不存在
【解答】解：数列
中，
，
，
则
．
故选：
．
2．（2022•甲卷）当
时，函数
取得最大值
，则
（2）
A．
B．
C．
D．1
【解答】解：由题意
（1）
，则
，
则
，
当
时函数取得最值，可得
也是函数的一个极值点，
（1）
，即
．
，
易得函数在
上单调递增，在
上单调递减，
24
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故
处，函数取得极大值，也是最大值，
则
（2）
．
故选：
．
3．（2020•全国）设函数
，若
，则
A．3
B．
C．
D．1
【解答】解：
，
，又
，
，
，
故选：
．
二．多选题（共1 小题）
4．（2022•新高考Ⅰ）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若
，
均为偶函数，则
A．
B．
C．
（4）
D．
（2）
【解答】解：
为偶函数，
可得
，
关于
对称，
令
，可得
，即
（4），故
正确；
为偶函数，
，
关于
对称，故
不正确；
关于
对称，
是函数
的一个极值点，
函数
在
，
处的导数为0，即
，
又
的图象关于
对称，
，
函数
在
，
的导数为0，
是函数
的极值点，又
的图象关于
对称，
，
关于
的对称点为
，
，
25
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由
是函数
的极值点可得
是函数
的一个极值点，
，
进而可得
，故
是函数
的极值点，又
的图象关于
对称，
，
关于
的对称点为
，
，
，故
正确；
图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故
错误．
解法二：构造函数法，
令
，则
，则
，
，
满足题设条件，可得只有选项
正确，
故选：
．
三．填空题（共6 小题）
5．（2022•上海）已知函数
为定义域为
的奇函数，其图像关于
对称，且当
，
时，
，若将方程
的正实数根从小到大依次记为
，
，
，
，
，则
2
．
【解答】解：
函数
为定义域为
的奇函数，其图像关于
对称，且当
，
时，
，
是周期为4 的周期函数，图像如图：
26
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将方程
的正实数根从小到大依次记为
，
，
，
，
，
则
的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
．
故答案为：2．
6．（2019•上海）计算
2
．
【解答】解：
．
故答案为：2．
7．（2020•新课标Ⅲ）设函数
，若
（1）
，则
1
．
【解答】解：
，
，
（1）
，
，则
，
故答案为：1．
8．（2019•全国）若函数
，
，则
3
．
【解答】解：由
，得
，
，
，
．
故答案为：3．
9．（2018•天津）已知函数
，
为
的导函数，则
（1）的值为 ．
【解答】解：函数
，
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则
；
（1）
．
故答案为：．
10．（2016•天津）已知函数
，
为
的导函数，则
的值为
3
．
【解答】解：
，
，
．
故答案为：3．
四．解答题（共1 小题）
11．（2018•江苏）记
，
分别为函数
，
的导函数．若存在
，满足
且
，则称
为函数
与
的一个“
点”．
（1）证明：函数
与
不存在“
点”；
（2）若函数
与
存在“
点”，求实数
的值；
（3）已知函数
，
．对任意
，判断是否存在
，使函数
与
在区
间
内存在“
点”，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：
，
，
则由定义得
，得方程无解，则
与
不存在“
点”；
（2）
，
，
，
28
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由
得
，得
，
，得
；
（3）
，
，
，
由
，假设
，得
，得
，
由
，得
，得
，
令
，
，
设
，
，
则
，
（1）
，得
（1）
，
又
的图象在
上不间断，
则
在
上有零点，
则
在
上有零点，
则存在
，使
与
在区间
内存在“
”点．
1 ．（2015• 莆田一模）常用以下方法求函数
的导数：先两边同取以
为底的对数
，为自然对数的底数）得
，再两边同时求导，得
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，即
．运用此方法可以求函数
的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
在
递减，在
，
递增，
最小，
故选：
．
2．（2014•鼓楼区校级模拟）下列求导运算正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．
，
错误．
．
，
错误．
．
，
错误．
．
，正确．
故选：
．
3 ．（2015• 莆田校级模拟）定义：如果函数
在
，
上存在
，
满足
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，
，则称函数
是
，
上的“双中值函数”．已知函数
是
，
上的“双中值函数”，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
，
D．
，
【解答】解：由题意可知，
，
在区间
，
存在
，
，
满足
，
，
，
方程
在区间
有两个不相等的解．
令
，
则，
解得；
．
实数
的取值范围是
，
故选：
．
4．（2023•漳州模拟）函数
的导函数为
，则
A．0
B．1
C．
D．
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【解答】解：
的导函数为
，
则
，
故
．
故选：
．
二．多选题（共1 小题）
5．（2023•鼓楼区校级模拟）定义在
上的函数
、
，其导函数分别为
、
，若
，
，
，
，则
A．
是奇函数
B．
关于
对称
C．
周期为4
D．
（1）
（3）
（5）
【解答】解：对于
，由题意，
为偶函数，
为奇函数，
正确；
对于
，
为奇函数，显然
为奇函数，
所以
，即
，所以
关于
对称，
为偶函数，显然
为偶函数，
所以
，
为奇函数，
因为
，
所以
，即
，
32
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所以
关于
对称，
正确；
对于
，因为
为奇函数，
关于
对称，
所以
，即
，
错误；
对于
，由于
（1）
，
（3）
，
所以
（1）
（3）
（5）
，
正确．
故选：
．
三．填空题（共4 小题）
6．（2014•福建模拟）设
是函数
的导函数，且
．现给出以下四个命题：
①若
是奇函数，则
必是偶函数；
②若
是偶函数，则
必是奇函数；
③若
是周期函数，则
必是周期函数；
④若
是单调函数，则
必是单调函数．
其中正确的命题是
①
．（写出所有正确命题的序号）
【解答】解：①当
是奇函数时，则
，
即
，
即
，
数是偶函数．
①准确．
②当
是偶函数，
不是奇函数，
②错误；
③若
是周期函数，则
不是周期函数，
③错误；
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④若
，则
，满足
是单调增函数，但
，不单调，
④错误．
故答案为：①
7．（2023•思明区校级模拟）写出一个同时具有下列性质①②的函数
．
①
；
②
．
【解答】解：构造函数
，
对于①：
，
故函数
满足性质①，
对于②：
恒成立，
故函数
满足性质②．
故答案为：
．
8 ．（2023• 鲤城区校级模拟）已知函数
是偶函数，
是
的导函数，且
，当
时，
，写出满足条件的一个函数
（答案不唯一） ．
【解答】解：
是偶函数，
，
．
又
当
时，
，
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令
，
当
时，易知
单调递增；
令
，
在
时，易知
单调递增，且
，
即
，使得
，
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
又
，
即
，使得
，
故
在
和
上单调递增，
上单调递减，
当
时，
恒成立，故
单调递增；
综上，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
而
，故
，即
，
不妨令
，则
．
故答案为：
（答案不唯一）．
9．（2022•鼓楼区校级模拟）已知函数
，则函数
．
【解答】解：
，
，
，
，
，
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．
故答案为：
．
1 ．（2019• 濮阳一模）已知
，若对任意两个不等的正实数
，
，都有
恒成立，则
的取值范围是
A．
，
B．
C．
D．
，
【解答】解：对任意两个不等的正实数
，
，都有
恒成立，假设
，
，即
对于任意
成立，
令
，
在
为增函数，
在
上恒成立，
，则
故选：
．
2．（2020•南充模拟）设
，函数
的导函数是
，且
是奇函数．若曲线
的一条切线的斜率是
，则切点的横坐标为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对
求导得
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又
是奇函数，故
解得
，
故有
，
设切点为
，
，
则
，
得
或
（舍去），
得
．
故选：
．
二．填空题（共1 小题）
3
．
（
2018•
天
心
区
校
级
一
模
）
已
知
，
且
满
足
的整数
共有
个，
的最大值为
，且
，
则实数
的取值范围为
．
【解答】解：
函数
，
，
即函数
是偶函数；
若
，
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则
①，或
②；
由①得
，
即
，解得
或
；
由②得
，
即
，解得
；
综上
或
；
又
（1）
当
时，也满足要求，
的值有3 个，即
；
又
，
；
的最大值为
，
可得
恒成立，其中
，
设直线
与曲线
相切于点
，
，
，
，
，
解得
，
由于
的最大值为
，其中
，
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故答案为：
．
39
