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7-6 隐零点
极值点偏移问题
与
7-6 隐零点与极值点偏移问题.............................................................................................................................1
一、分类题型..................................................................................................................................................... 1
题型一 隐零点问题.................................................................................................................................2
题型二 极值点偏移问题...................................................................................................................... 12
1
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、分
题
一
类
型
题
型一隐零点问题
导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存
在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过
整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．
【例题精析1】
已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【例题精析2】
已知函数
．
(1)若
时，函数
有2 个极值点，求
的取值范围；
(2)若
，
，方程
有几个解？
【例题精析3】
已知函数
.
(1)若
，证明：
存在唯一的极值点.
(2)若
，求
的取值范围.
【例题精析4】
已知函数
．
(1)设
，求
在
上的最大值；
(2)当
时，求证：
．
【例题精析5】
已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)设
，若
，
，都有
，求实数
的取值范围．
2
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零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′
(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适
当缩小．
【对点精练1】
已知函数
（k 为常数，且
）．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若函数
在区间
上存在极值，求实数k 的取值范围．
【对点精练2】
已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
在
上的单调性．
【对点精练3】
已知函数
(1)若
，求
的极小值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)当
时，
恒成立，求
的最大整数值．
【对点精练4】
设函数
，
，
，已知曲线
在点
处的切线
与直线
垂直．
(1)求a 的值；
(2)求
的单调区间；
(3)若
对
成立，求b 的取值范围．
【对点精练5】
已知函数
．
(1)若
，求
的极小值．
(2)讨论函数
的单调性；
(3)当
时，证明：
有且只有
个零点．
3
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题
型二极值点偏移问题
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极
值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，
计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特
色．
【例题精析6】
（2021·全国·统考高考真题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
【例题精析7】
已知函数
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
有两个不同的零点
，求
的取值范围，并证明：
．
【例题精析8】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性和最值；
(2)若关于
的方程
有两个不等的实数根
，求证：
.
【例题精析9】
已知函数
（1）若
，(
为
的导函数)，求函数
在区间
上的最大值；
（2）若函数
有两个极值点
，求证：
极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>(<)2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论
x1x2>(<)x 型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单
调性证明．
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【对点精练6】
（2023·全国·高二专题练习）已知函数
.
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
.
【对点精练7】
设向量
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
，若
存在两个极值点
，证明：
.
【对点精练8】
已知函数
有两个零点
、
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
.
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