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8.2 二项式定理（精讲）
一．二项式定理
1.二项式定理：（a＋b）n＝Cn
0an＋Cn
1an－1b1＋…＋Cn
kan－kbk＋…＋Cn
nbn（n∈N*）
①项数为n＋1
②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a 与b 的指数的和为n
③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1 直到零；字母b 按升幂排列，
从第一项起，次数由零逐项增1 直到n.
2.通项公式：Tk＋1＝Cn
kan－kbk=g（r）·xh（r）它表示第k＋1 项
①h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；
②h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；
③h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；
④h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.
3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn
0，Cn
1，…，Cn
n.
二.二项式系数的性质
1
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一．形如(a＋b)n(n N
∈
*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
①写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cn
kan－kbk，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
③把k 代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．
二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n N
∈
*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．
三.求二项式系数最大项
1.如果n 是偶数，那么中间一项(第n
2 +1项)的二项式系数最大；
2，如果n 是奇数，那么中间两项(第n+1
2
项与第n+1
2
+1项)的二项式系数相等且最大.
四.求展开式系数最大项
求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为
A1，A2，…，An＋1，且第k 项系数最大，应用{
Ak ≥Ak -1,
Ak ≥Ak +1,解出k.
五．求三项展开式中特定项（系数）的方法
方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解
方法二：两次利用二项展开式的通项求解
2
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方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个
因式中取因式中的量
六．二项式定理应用
1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，
再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，
使其满足近似计算的精确度．
考点一 二项式定理的展开式
【例1】（2023 广西柳州）化简
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2022·高二课时练习）设A＝37＋
·35＋
·33＋
·3，B＝
·36＋
·34＋
·32＋1，则A－B 的值为(
)
A．128
B．129
C．47
D．0
2．（2023·重庆九龙坡）
A．
B．
C．
D．
考点二 二项式指定项的系数
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）在二项式
的展开式中，含
的项的二项式系数为（ ）
A．28
B．56
C．70
D．112
【例2-2】（2022·甘肃兰州·统考一模）
的展开式的常数项是（ ）
A．40
B．-40
C．20
D．-20
3
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【例2-3】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）
展开式中
的系数为（ ）
A．270
B．240
C．210
D．180
【例2-4】（2023·四川绵阳·统考二模）
展开式中，只有第4 项的二项式系数最大，则n 的值为
（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【一隅三反】
1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式
的展开式中，含
项的二项式系数为（ ）
A．5
B．
C．10
D．
2．（2023·河南驻马店·统考二模）
的展开式中的常数项是（ ）
A．－112
B．－48
C．48
D．112
3．（2023·全国·高三对口高考）在
的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式中常数
项是（ ）
A．
B．7
C．
D．
考点三 三项式指定项系数
【例3】（2023·全国·高三专题练习）
的展开式中常数项是（ ）
A．-252
B．-220
C．220
D．252
【一隅三反】
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．10
C．
D．30
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）
的展开式中
的系数为 （用数字作
答）．
4
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3．（2023 秋·福建三明·高三统考期末）
展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
4．（2023 秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式
的展开式中含
的项的系数
为
，则
．
考点四 二项式系数性质
【例4】（2023 春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）
的展开式中二项式系数最大的项是
（ ）
A．160
B．240
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数
项是
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．各项的二项式系数之和为1024
C．
D．各项的系数之和为1024
2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知
的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式
中x 的系数为
3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知
的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，
则展开式中的常数项为 ．
考法五 系数最大项和系数和
【例5-1】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）
的二项展开式中系数最大的项为 .
【例5-2】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数
5
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（
，
）的定义域为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
被8 整除余数为1
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）
的展开式中系数最大的项为（ ）
A．70
B．56
C．
或
D．
2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知
的展开式中前三项的二项式系数和为
，则展
开式中系数最大的项为第（ ）
A．项
B．项
C．项
D．
项
3．（2023 春·山东青岛）（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大值为
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考法六 二项式定理的应用
6
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【例6-1】（2023 春·课时练习）设
为奇数，那么
除以13 的余数
是（ ）
A．
B．2
C．10
D．11
【例6-2】（2023 北京）今天是星期二，经过7 天后还是星期二，那么经过
天后是（ ）
A．星期三
B．星期四
C．星期五
D．星期六
【例6-3】（2023·全国·高三专题练习）
的计算结果精确到0.01 的近似值是 ．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）
（小数点后保留三位小数）．
2．（2023·辽宁丹东·统考一模）
除以7 所得余数为 ．
3．（2022 秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习） （精确到0.01）
7
