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专题10 解答题18 题、19 题压轴题
（6 阶题组）专项训练（一）
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．如图，平面四边形
中，点
是线段
上一点，
，
，沿着
将
折叠得
到四棱锥
．
(1)求证：平面
平面
．
(2)若
，且
，
，折叠后
．
①求平面
与平面
夹角的余弦值的最大值．
②若三棱锥
的四个顶点均在以
为球心的球上，试问三棱锥
的外接球的体积是否存在最
小值？若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由．
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19．已知函数
定义域为
，
，若
，
，当
时，都有
．则称为
在
上的“Ω 点”．
(1)设函数
．
（i）当
时，求
在
上的最大“Ω 点”；
（ii）若
在
上不存在“Ω 点”，求a 的取值范围；
(2)设
，且
，
．证明：
在D 上的“Ω 点”个数不小
于
．
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（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
，
分别是椭圆
的左、右顶点，
点
，
在椭圆
上，且不与
两点重合.
(1)当四边形
为平行四边形时，请写出点
，
的位置关系（说明理由即可，不需证明）.
(2)在（1）的条件下，若
，且
.
（i）求椭圆
的方程；
（ii）若点
在直线
上，且
，
，求
的面积.
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19．已知函数
，
，设
，
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：当曲线
经过点
时，
有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于
的实数
，若关于
方程
恰有三个不同的实根，则
.
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（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．记
.
(1)判断并证明
的奇偶性；
(2)将
的最小值记为
，
（i）求数列
，
（ii）若
恒成立，求
的最小整数值
.
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19．平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，
经过
且倾斜角为
的直线与
交于A，B 两点（其中点
在
轴上方），且
的周长为8，现将平
面
沿
轴向上折叠，折叠后A，B 两点在新图形中对应的点分别记为
，且二面角
为
直二面角，如图所示.
(1)求折叠前
的标准方程；
(2)若
，求
；
(3)当
时，折叠后，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
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（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知双曲线
的离心率为
，焦距为4．
(1)求双曲线
的标准方程．
(2)过双曲线
的左焦点
的直线与双曲线
交于
两点，
的中点为
，点
的轨迹为曲线
．
（i）求
的方程．
（ii）已知点
在曲线
上，点
在
轴的右侧，点
在
轴的左侧，
为坐标原点，直线
与直线
分别交于点
．求证：
.
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19．已知函数
．
(1)当
时，求
在
上的最大值．
(2)当
时，证明：
在
上单调递增．
(3)证明：
，使得
．
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（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．设抛物线
的焦点为
，过点
的直线交
于
两点，
为坐标原点.
(1)求
；
(2)设点
，直线
，
与
的另一个交点分别为
，求
面积的最小值.
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19．已知函数
.
(1)
为
的导数，讨论
的单调性；
(2)若函数
在定义域内有两个极值点
，
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
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（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知函数
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)证明
存在唯一的极大值点
，且
；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
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19．已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，上顶点和右顶点分别为
，
.
(1)求
的方程.
(2)已知过点
的直线与
交于
两点，过点
且与垂直的直线与
交于
两点，
在
轴的上
方，
分别为
的中点，直线
与
交于点
.
（i）求证：直线
过定点；
（ii）求
面积的最小值.
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