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8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02
知识
落实主干
..................................................................................................................................3
知识点一．直线与圆的位置关系判断................................................................................................3
知识点二．两圆位置关系的判断........................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03
题型
探究核心
..................................................................................................................................5
题型一：直线与圆的位置关系............................................................................................................5
题型二：弦长问题................................................................................................................................7
题型三：切线问题..............................................................................................................................10
题型四：切点弦问题..........................................................................................................................13
题型五：圆上的点到直线距离个数问题..........................................................................................17
题型六：最值与范围问题..................................................................................................................19
题型七：圆与圆的位置关系..............................................................................................................24
题型八：公共弦问题..........................................................................................................................25
题型九：公切线问题..........................................................................................................................27
04
课时精练(
题、
题
真
模拟
)...........................................................................................................31
1
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（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
2
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知识点一．直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心
到直线
的距离，则
：
直线与圆相交，交于两点
，
；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由
，
消元得到一元二次方程
，
判别式为
，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
知识点二．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆
的半径分别是
，（不妨设
），且两圆的圆心距为
，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（
时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为
，
，圆心距为
，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实
数解
一组实
数解
两组实数解
一组实
数解
无实数解
3
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公切线条数
4
3
2
1
0
常用二级结论
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆
上一点
的圆的切线方程为
．
（2）过圆
上一点
的圆的切线方程为
（3）过圆
上一点
的圆的切线方程为
（4）求过圆
外一点
的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为
，利用圆
心到切线的距离等于半径，列出关于
的方程，求出
值．若求出的
值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的
值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
4
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题型一：直线与圆的位置关系
【例题1】直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
【答案】B
【解析】由圆的方程
可得圆心为
，半径为
，
圆心到直线的距离为
，
所以直线与圆相切.
故选：B.
【例题2】直线
与圆
（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．位置关系不确定
【答案】C
【解析】圆
的圆心
的坐标为
，半径
，
直线
，由
，解得
，
即直线过定点
，由
，
则
位于圆
的内部，所以直线与圆
相交.
故选：C
【解题总结】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d 与r 的关系．
（2）代数法：联立方程之后利用Δ 判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
【变式1】（25-26 高三上·四川成都·月考）设直线l 的方程为
，圆C 的方程为
，则直线l 与圆C 的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
5
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C．相离
D．无法确定
【答案】A
【解析】因为圆C 的方程为
，所以圆心为
半径为
，
则圆心到直线距离
，所以
，所以则直线l 与圆C 相交.
故选：A.
【变式2】（25-26 高二上·上海·月考）已知直线l：
与圆C：
，点
，则下
列说法错误的是（ ）
A．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
C．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
【答案】C
【解析】圆心
到直线l 的距离
，
若点
在圆C 上，则
，所以
，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；
若点
在圆C 内，则
，所以
，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；
若点
在圆C 外，则
，所以
，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；
若点
在直线l 上，则
，即
，所以
，直线l 与圆C 相切，故
D 正确．
故选：C
【变式3】（25-26 高三上·广西柳州·开学考试）直线
与圆
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定的
【答案】C
【解析】由
，
可知：圆心
，半径为，
圆心
到直线
的距离
，
所以直线与圆的位置关系为相离，
6
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故选：C
题型二：弦长问题
【例题3】（2025·四川达州·一模）已知圆
，若过点
有且仅有两条直线被圆
所截得
的弦长为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】圆
的圆心
，半径
，
令过点
的直线被圆
所截弦长为
的弦中点为
，则
，
，因此点
在以原点为圆心，
为半径的圆
上，
此时
为圆
的切线，依题意，过点
可以作圆
的两条切线，
则点
在圆
外，于是
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
【例题4】过点
作直线与曲线
相交于
，
两点，
为坐标原点，当
时，直
线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，则
，
，即
，
7
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所以曲线
是以原点为圆心，
为半径的圆的上半部分，如图．
因为
，
，即
，所以
，
所以圆心
到直线 的距离为
．
设直线 的斜率为
，则直线 的方程为
，
，
圆心
到直线 的距离
，解得
，
因为
，所以
．
故选：C．
【解题总结】
弦长问题
①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系
，这也是求弦长最常
用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦
长．
③利用弦长公式：设直线
，与圆的两交点
，将直线方程代入圆的方程，
消元后利用根与系数关系得弦长：
．
【变式4】（2025·四川成都·模拟预测）已知直线
截圆
所得的弦长为4，
则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆
的标准方程为
，则
，可得
，
圆心为
，半径为
，
圆心
到直线
的距离为
，
8
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由垂径定理可得
，解得
，满足
.
故选：A.
【变式5】已知圆
，直线过点
，且与
交于
两点，
是
上异于
的
一点，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】C
【解析】第一步：当的斜率不存在时，求
面积的最大值，
当的斜率不存在时，的方程为
，
，
故
面积的最大值为
．
第二步：当的斜率存在时，设出的方程，得到
面积的表达式，
当的斜率存在时，设的方程为
，即
，
则圆心
到的距离
，则
，
所以
，
．
第三步：利用函数与导数知识求最值，即可得解，
设
，
则
．令
，得
，
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
，则
．
综上，
面积的最大值为
．
故选：C．
【变式6】（24-25 高三上·山东临沂·月考）过点
作圆
的两条切线，切点为
、
，若
，则四边形
（
为圆
的圆心）的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为
，
如下图所示：
9
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由圆的几何性质可得
，
，
，
，
所以，
，所以，
，
设
，则
，
因为
。
易知
为锐角，则
，
，
所以，
，
因此，
.
故选：C.
题型三：切线问题
【例题5】（2025·广东·模拟预测）若圆
上点
处的切线与抛物线
有且
仅有一个公共点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】易知圆心坐标为
，故切点与圆心连线的斜率为
，
故切线的斜率
，
所以该切线方程为
，即
，
联立
，则
，
由公共点唯一可知：
，解得
（舍）或
．
10
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故选：D
【例题6】（2025·高三·甘肃武威·月考）过点
且与圆
相切的两条直线的夹角
为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，B，D 为切点，则
，
，
，
由圆
可得
，
，又
，
所以
，
所以
，则
，
故
.
故选：A.
【解题总结】
（1）圆的切线方程的求法
①点
在圆上，
法一：利用切线的斜率
与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于
，即
．
法二：圆心
到直线的距离等于半径．
②点
在圆外，则设切线方程：
，变成一般式：
，因为
与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有
一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆
上一点
的切线方程是
；
过圆
上一点
的切线方程是
．
【变式7】（2025·高三·湖北武汉·期中）已知点
在圆
上，直线l 过点A 且与圆
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C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为M､N，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】C
【解析】由圆
，可得圆心
，
因为
为切点，所以
，所以直线的斜率为
，
所以的方程为
，即直线
，
令
，可得
，再令
，可得
，即
，
则
.
故选：C.
【变式8】（2025·高二·贵州黔西·期末）过原点且与圆
相切的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原点
在圆
上，而圆心
，
直线
斜率为
，因此切线的斜率为
，方程为
，即
.
故选：A
【变式9】（2025·高二·重庆渝北·期中）过直线
上一动点
作圆
的切线，切
点为
，则线段
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【解析】圆
的圆心为
，半径
，
则圆心
到直线
的距离
，
可知直线
与圆
相离，
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由题意可知：
，
当且仅当
与直线
垂直时，等号成立，
所以线段
的最小值为5.
故选：B.
题型四：切点弦问题
【例题7】（2025·高二·河南漯河·期末）设点P 为直线l：
上任意一点，过点P 作圆O：
的切线，切点分别为A，B，则直线AB 必过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，连接
，
，
根据题意，设
为直线
上的一点，则
，
由于
为圆
的切线，则有
，
，
则点
、
在以
为直径的圆上，
以
为直径的圆的圆心为
，半径
，
则其方程为
，变形可得
，
联立
可得直线AB：
，
又由
，则有AB：
，
变形可得
，
13
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则有
，解可得
，故直线
恒过定点
.
故选：B.
【例题8】（2025·浙江·模拟预测）过点
作圆
：
的两条切线，切点分别为
，
，则原点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图可知，
，
，
则
四点共圆，圆的直径是
，点
，
，
，
的中点坐标为
，
所以四边形
的外接圆的方程为
，
即
，圆
，
两式相减得直线
的方程
，
则原点到直线
的距离
.
故选：A
【解题总结】
过圆
外一点
作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上
，做曲线的切线，只需把
替换为
，
替换为
，替换为
，替
换为
即可，因此可得到上面的结论．
【变式10】（2025·高三·海南·月考）过点
作圆
的两条切线，设切点分别为
，
，
则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，即
，故圆心为
，半径为
，
又
，所以
，故切线长
，
由
，得到
，
故选：C.
【变式11】（2025·高二·浙江·期末）已知圆
与直线
，过上任意一
点
向圆
引切线，切点为
和
，若线段
长度的最小值为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为，如下图所示：
由圆的几何性质可知
，
，
因为
，
，
，所以，
，
所以，
，则
，
设
，则
为
的中点，
由勾股定理可得
，
15
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由等面积法可得
，
所以，当
取最小值时，
取最小值，由
，可得
，
所以，
的最小值为
，当
与直线垂直时，
取最小值，
则
，因为
，解得
.
故选：D.
【变式12】（2025·高二·江苏盐城·期末）已知圆
与
轴正半轴的交点为
，从直线
上任一动点
向圆作切线，切点分别为
，
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】易得
，设
，
因为
是圆
的两条切线，所以
所以
在以
为直径的圆上,
又因为
,且
的中点为
，
所以以
为直径的圆的方程为：
.
所以
为以
为直径的圆和圆
的公共弦，
两个圆的方程相减得：
所以直线
,
直线
恒过定点
，
过点
作直线
的垂线，垂足为
,
则
在以
为直径的圆上，设圆的圆心为
，半径为
，
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所以
，
所以
的最小值为:
．
故选：B
题型五：圆上的点到直线距离个数问题
【例题9】（2025·高二·江苏常州·月考）若圆
上到直线
的距离为1 的点有
且仅有2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由圆
，圆心为
，半径为，
则圆心
到直线
的距离为
，
因为圆上的点到直线的距离为1 的点有且仅有2 个，
所以
，则
，解得
，
即r 的取值范围是
.
故选：B.
【例题10】（2025·高三·河南·月考）若圆
上到直线
的距离为
的点有且
仅有2 个，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【解析】由题意圆心为
，则
到直线
的距离
，
要使圆
上到直线
的距离为
的点有且仅有2 个，
则
，则的取值范围是
.
故选：C.
【解题总结】
临界法
【变式13】（2025·高二·河北衡水·期末）若圆
上仅有4 个点到直线
的距离为
1，则实数r 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
作出到直线
的距离为1 的点的轨迹，得到与直线
平行，
且到直线
的距离等于1 的两条直线，
圆
的圆心为原点，
原点到直线
的距离为
，
两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为
，
又
圆
上有4 个点到直线
的距离为1，
两条平行线与圆
有4 个公共点，即它们都与圆
相交.
由此可得圆的半径
，
即
，实数r 的取值范围是
.
故选：A.
【变式14】（2025·高三·陕西商洛·期中）若圆
上有且仅有3 个点到直线
的距离为1，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
18
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【答案】B
【解析】圆
的圆心
，半径
，
由圆
上有且仅有3 个点到直线
的距离为1，
得圆心
到直线
为1，则
，而
，
所以
.
故选：B
【变式15】（2025·高三·广东·开学考试）已知直线
与圆
，则“
”是“圆
上恰有3 个点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由圆
上恰有3 个点到直线的距离为1 得到圆心到直线的距离为1，
则
，解得
，则“
”是“圆
上恰有3 个点到直线的距离为1”的充分不必要条件.
故选：A.
题型六：最值与范围问题
【例题11】（多选题）（2025·高三·江西南昌·开学考试）已知P 是圆C：
上的一个动
点，过原点O 的动直线与圆C 交于M，N 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．|OP|的最大值为
B．|OP|的最小值为
C．|MN|最大值为6
D．|MN|最小值为2
【答案】ABC
【解析】由于P 是圆C：
上的一个动点，过原点O 的动直线与圆C 交于M，N 两点,所
以点
在圆
内，
19
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所以
，故A 正确；所以
，故B 正确；
设圆心C 到直线
的距离为
,则
,当
为直径时，
，所以
,故C 正确；
由于
时
,所以
,故D 不正确；
故选：ABC
【例题12】（多选题）（2025·高三·黑龙江·月考）过直线
上的动点
，作圆
的
两条切线，切点分别为
，
，则（ ）
A．直线
恒过点
B．线段
的中点
在一个定圆上运动
C．
的取值范围是
D．四边形
面积的最小值
【答案】ABD
【解析】设点
，则两切点连线的直线方程为
，
因为
，所以
，
所以直线
的方程为
，
即
，
所以当
，即
时，直线
恒过定点
，故A 正确；
由垂径定理可知
，因为直线
经过定点
，
所以
，所以
中点
在以
为直径的圆上运动，故B 正确；
设圆
的半径为，则
，
因为
，而
，
所以
的取值范围是
，故C 错误；
因为四边形
的面积等于
，
因为
，所以
，
即四边形
面积的最小值等于
，故D 正确．
故选：ABD．
【解题总结】
20
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直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的
最近和最远距离再加减半径长的问题．
【变式16】（多选题）（2025·高三·河南·月考）已知直线
与
交于
，
两
点，
为实数，则下列正确的有（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．若
，则
D．若
上恰有4 个点到直线l 的距离为，则
【答案】AD
【解析】选项A，
，
圆心为
，半径为
，
，
恒过定点
，
，
在
内，
的最大值为直径
，故选项A 正确；
选项B，当直线与
垂直时，
最小，
，
，故选项B 错误；
选项C，
变形为
，
则圆心
到直线的距离为
，
，
，
，
，故选项C 错误；
21
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选项D，
上恰有4 个点到直线l 的距离为，
圆心
到直线的距离
，
，故选项D 正确.
故选：AD.
【变式17】（多选题）（2025·高三·吉林·月考）若动直线
与圆
相交于
两点，则（ ）
A．直线过定点
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．过直线
上一点作圆C 的切线，切线长的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A，由
，可得
，故直线恒过定点
，故A 正确；
对于B，圆
，圆心为
，半径为3，
由圆的性质可得当
时，
最小，
此时
，故B 正确；
对于C，取
的中点
，则
，
又
，则圆心
到直线的距离
，所以
，
则
的最大值为
，故C 错误；
对于D，设
为直线
上任意一点，
过点
作圆
的切线，则切线长为
，
要使切线长取最小值，则
有最小值，
即圆心
到直线
距离最短，
22
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当
与直线
垂直时，
有最小值，即
，
所以切线长取最小值为
，故D 正确.
故选：ABD．
【变式18】（多选题）（2025·高二·江苏泰州·月考）已知直线
，圆
，则下列说法正确的是（ ）.
A．直线过定点
B．圆心
到直线距离的最大值是
C．直线被圆
截得的弦长最小值为
D．若点
在圆
上，则
的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A 选项，直线的方程可化为
，由
可得
，
所以直线过定点
，A 对；
对于B 选项，设圆心
到直线的距离为
，记点
，
当
时，此时
取最大值，即
，
故圆心
到直线距离的最大值是
，B 错；
对于C 选项，设直线被圆
截得的弦长为
，则
，
当
取最大值
，
取最小值，则
，
故直线被圆
截得的弦长最小值为
，C 对；
对于D 选项，如下图所示：
23
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由题意可知
，圆
的圆心为
，且该圆的半径为
，
由圆的几何性质可得
，
，
即
，故
，D 对.
故选：ACD.
题型七：圆与圆的位置关系
【例题13】（2025·高三·重庆·月考）已知圆
，圆
，则这
两圆的位置关系为（ ）
A．内含
B．相切
C．相交
D．外离
【答案】A
【解析】根据题意，化简得圆
，圆心为
，半径
，
圆
，圆心为
，半径
，
圆心距
，
所以两圆内含．
故选：A
【例题14】（2025·高二·湖北·期中）已知直线
与圆
相切，则圆
和圆
的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【答案】C
【解析】圆
的圆心
，半径
，
由直线
与圆
相切，得
，解得
，
圆
的圆心
，半径
，
而
，所以圆
和圆
相交.
24
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故选：C
【解题总结】
已知两圆半径分别为
，两圆的圆心距为，则：
（1）两圆外离
；
（2）两圆外切
；
（3）两圆相交
；
（4）两圆内切
；
（5）两圆内含
；
【变式19】（2025·高二·陕西榆林·期中）圆
与圆
的位置关
系是（ ）
A．相交
B．内切
C．外切
D．内含
【答案】C
【解析】由圆
的圆心
，半径为
，
与圆
的圆心
，半径为
，
则圆心距
，
所以两圆位置关系是相外切，
故选：C.
【变式20】（2025·高二·河北保定·期中）已知圆
与圆
的
位置关系为（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
【答案】B
【解析】
，即
，圆心
，半径
，
，圆心为
，
，
则
，
则
，故两圆相交.
故选：B.
【变式21】（2025·高二·重庆长寿·期中）已知两圆分别为圆
和圆
，
这两圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．外切
C．内含
D．相交
【答案】D
【解析】圆
的圆心
，半径
；
25
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将圆
化为标准方程
，得圆心
，半径
，
则
，所以圆
与圆
相交.
故选：D
题型八：公共弦问题
【例题15】（2025·高二·天津·期中）若圆
，与圆
相交于A，B，则公共弦
AB 的长为 .
【答案】
【解析】由题意知，两圆的方程相减，得
，
即直线
的方程为
，如图，
所以
.
故答案为：
【例题16】（2025·高三·重庆·月考）圆
与圆
的公共弦所在的直线
方程的斜率等于 ．
【答案】
【解析】由题意圆
和圆
的标准方程分别为
和
，
两圆的圆心距为
，且
，所以两圆相交.
因此公共弦所在直线方程为
，
整理得
，即
，所以其斜率为
.
故答案为：.
【解题总结】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【变式22】若圆
与圆
（
）的公共弦的长为
，则
.
26
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【答案】
【解析】已知两个圆的方程分别为
与
，
将两个圆作差可得相交弦的直线方程为
，
所以可得：圆心
到直线
的距离
，
由此可得：
，又
，解得：
.
故答案为：
【变式23】已知圆
与圆
相交，则公共弦所在的直线方程为
．
【答案】
【解析】由题意得，把圆
，圆
的方程都化为一般方程．
圆
，①
圆
，②
由②
①得
，
即
为所求公共弦所在直线方程．
故答案为：
.
【变式24】（2025·天津北辰·三模）已知圆
与圆
相交的两个公共点
所在直线为，若与抛物线
交于
两点，则
.
【答案】20
【解析】已知圆
，圆
，将两式相减消去二次项可得直线的方程：
，即
.
联立直线与抛物线方程联立
，将
代入
可得：
，即
，
设
，
，由韦达定理可得
，
.
根据弦长公式
（其中
为直线的斜率），直线的方程为
，
其斜率
，则：
故答案为：20.
27
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题型九：公切线问题
【例题17】（2025·高三·天津武清·月考）在平面直角坐标系
中，已知圆
与
圆
，则两圆的公切线的条数是 ．
【答案】4
【解析】由圆
的方程
，即
可知圆
的圆心为
，半径
为
；
由圆
的方程
，即
可知圆
的圆心为
，半径为
.
所以两圆的圆心距为
，
而
，所以圆
与圆
外离，
则两圆的公切线的条数是4.
故答案为：4.
【例题18】（2025·江苏·模拟预测）写出与圆
和
都相切的一条直线的方程
．
【答案】
（或
，
）
【解析】由题知
的圆心为
，半径为
，
的圆心为
，半径为
，
所以
，故两圆位置关系为外切，有三条公切线.
如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程为
，
则由直线与
相切得：
，即
，
由直线与
相切得：
，即
，
所以
，即
，
所以
，
28
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当
时，
，代入
整理得
，解得
或
，
此时公切线方程为
（
）或
，
当
时，
，代入
整理得
，解得
，此时公切线方
程为
（
），
综上，所求的公切线方程为
，
或
故答案为：
（或
，
）
【解题总结】
待定系数法
【变式25】（2025·高二·北京大兴·期中）已知圆
与圆
有4
条公切线，则实数
可以取的一个值为 .
【答案】3（答案不唯一）
【解析】由题可得，圆
，圆心
，半径
，
圆
，圆心
，半径
，
因为两圆有4 条公切线，所以两圆外离，
所以
，即
，解得
或
，
所以实数
可以取的一个值为.
故答案为：3.（答案不唯一）
【变式26】已知圆
与圆
，若两圆有四条公切线，则直线
与圆
的位置关系是 ．
【答案】相离
【解析】圆
的圆心为
，半径为2，
圆
的圆心为
，半径为1，
由两圆存在四条切线，故两圆外离，则
．
，即
或
，可得
或
，
圆
的圆心为
，半径为1，
29
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则圆心
到直线
的距离
，
直线
与圆
相离．
故答案为：相离.
【变式27】（2025·高三·福建福州·月考）已知点
，符合点A，B 到直线l 的距离分别为1，2
的直线方程为 （写出一条即可）.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由题意可知直线l 是圆
与圆
的公切线，
两圆圆心距为
，则两圆为外离关系，所以满足条件的直线l 有四条．
如图，当直线l 是两圆的外公切线时，
有
，则
，
所以
，则
，即
为
的中点，则
，
设直线l 的方程为
，则
，解得
，
此时直线l 的方程为
或
；
如图，当直线l 是两圆的内公切线时，
根据对称性，可得
，又
，
则
，所以
，则
，即
，
设直线l 的方程为
，则
，解得
，
此时直线l 的方程为
或
．
综上所述，所求直线方程为
或
或
或
.
故答案为：
（答案不唯一）．
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31
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1．（2026·河南郑州·模拟预测）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，圆
的圆心为
，半径
，两切点为
，
如下图所示，则
，
易知
，
，
即
.
故选：B
2．（2025·四川乐山·模拟预测）已知点
，圆
，以
为直径的圆与圆
相
交于
，
两点，则直线
与圆
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．不确定
【答案】C
【解析】如图所示，由于
为直径，故
⊥
，
又
为圆
的半径，故直线
与圆
相切.
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故选：C
3．（2025·陕西·模拟预测）若直线
与圆
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】圆的标准方程为
，圆心为
，半径为1，
根据题意得圆心
到直线
的距离
，
解得
．
故选：D．
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）过点
作直线l 交圆
于点M，N，若
，则点N
的横坐标是（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】
设
，
∵点
在圆
上，∴
．
已知
，则
，
∵
，∴
．
设
，则
，
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则
，
则
．
∵点
在圆
上，∴
．
将
代入上式可得：
，
解得
，
故选：A．
5．（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆
交于
，
两点，
为圆心，若
的面积等于8，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】圆
的半径
，由已知得
，故
，
所以
，所以
.
故选：D.
6．（2025·重庆·模拟预测）已知圆
，直线
与圆
相切，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】已知圆
，圆心
，
直线
，即
,
由于直线与圆相切，则
，则
.
故选：C
7．（24-25 高二上·江苏徐州·期末）已知点
，若圆
上存在点
，使得
为坐标原点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设点
，又
，由
，
34
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所以
，化简得
，
所以点
在以
为圆心，半径为
的圆上，
又点
在圆
上，
所以圆
与圆
有公共点，
所以
，即
，
所以
，即
，
又
，
，所以
的解集为
，
由
，
所以
，
故选：B.
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆
与圆
有两个交点，
则r 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知：圆心
与圆心
，
则圆心距
，
因为圆
与圆
有两个交点，
所以
，
解得：
.
故选：D
9．（多选题）（2025·浙江宁波·模拟预测）已知圆
，点
，（ ）
A．若过点A 作圆C 的切线有且仅有一条，则
B．若圆C 上总存在两点到点
的距离为
，则
C．若过点A 且横纵截距相等的直线被圆C 截得的弦长为
，则
D．若圆C 与圆心在
上且半径为1 的圆
交于M，N 两点，则当
最大时，
【答案】BD
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【解析】圆
的圆心为
，半径为
，
对于选项
,过点A 作圆C 的切线有且仅有一条，则点
在圆上，即
，
解得
，故
错误；
对于选项
，此问题等价于圆
与圆
相交，
两圆心的距离为
，即
，
解得
，故
正确；
对于选项
，当直线在坐标轴上截距相等且不为
时，设过点
的直线方程为
，
将点
的坐标代入直线方程得
，
圆
的圆心到该直线的距离
，由几何关系可知
解得
，则
；
当直线在坐标轴上截距相等且为
时，设过点
的直线方程为
，
同理由几何关系可知
，解得
，
将点
的坐标代入直线方程得
，故
错误；
对于选项
，如图所示，
,圆
的直径为
，则
，
当
最大时，
，在
△
中，
,故
正确；
故选：
.
10．（多选题）如图，
，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线
，则
（ ）
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A．曲线
与
轴围成的图形的面积等于
B．曲线
上有5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧
所在圆的方程为
D．弧
与弧
的公切线方程为
【答案】BC
【解析】对于A，如图所示，连接
，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
，则曲线
与
轴围成的图形的面积
．A 错误；
对于B，曲线
上有
5 个整点．B 正确；
对于C，弧
所在圆的圆心为
，半径为1，故圆的方程为
．C 正确；
对于D，设弧
与弧
的公切线方程为
，根据图象知
，
则
，解得
，即公切线方程为
．D 错误；
故选：BC.
11．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知直线l：
与圆C：
，下列说法
正确的是（ ）
A．直线l 过定点（0，1）
B．直线l 与圆恒相交
C．直线l 被圆截得的最短线段长为
D．圆C 与圆M：
有2 条公共切线
【答案】BD
【解析】对于A，当
时，
，故直线l 定点
，故A 错误；
对于B，C：
，圆心C 为
，
因为
，所以
位于圆内，所以直线l 与圆恒相交，故B 正确；
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对于C，定点
与圆心的距离为
，
直线l 被圆截得的最短线段长为
，故C 错误；
对于D，圆C 与圆M 圆心的距离为
，
所以两圆相交，有两条公共切线，故D 正确．
故选：BD．
12．（2025·广东·模拟预测）已知圆
与圆
交于
，
两点，则公共弦长
．
【答案】
【解析】由题得，
，
，两方程相减得，
，则圆心
到此直线距离为
，
所以
．
故答案为：
.
13．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知圆
：
，定直线经过点
，若对
任意的实数
，定直线被圆
截得的弦长始终为定值
，则定值
．
【答案】4
【解析】圆心
坐标为
，半径
.
令
，
，消去参数
可得，
，
所以圆心
在直线
上运动.
因为直线被圆
截得的弦长始终为定值，结合弦长公式可知，圆心到直线的距离为定值.
因此直线应与圆心轨迹直线平行.
又直线经过点
，所以直线方程为：
，即
.
所以圆心
到直线的距离等于两平行线的距离
.
所以定直线被圆
截得的弦长始终为定值
.
故答案为：4.
14．（2025·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点
，城市有两个交通枢纽站点
、
，其中站点
在市中心
的正东方向，距离
点4 公里，站点
在市中心
的正北方向，距离
点
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也是4 公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心
点2 公里的位置，设置一个移动数据采
集点
，通过监测
的大小来优化信号．当
最大时，
．（结果精确到
）
【答案】
【解析】
不妨以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴建立平面直角坐标系，则：
，
，设
是
圆
上的点，设
.
，
，
结合图象，易知当
最大时，点
位于第一象限，且
为钝角，设
，
则两直线夹角
的正切值公式为：
则：
，
，
又因为
在圆
上，故
，
因此，
，
令
，则
，因为
在圆
上，因此可认为直线
与圆
有交点，
即圆心到直线的距离
，解得
.
由于点
在第一象限的圆
上，易知
，因此
，
故
.
由于
是关于的减函数(分母增大，整体减小)，因此当
时，
取得最小，即
最小，此时对
应
最大.
39
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当
时，结合
，解得
，即
.
，
，
又因为
，
解得
，
故答案为：
.
15．（24-25 高二上·天津·期中）已知圆C 的方程为
(1)若直线l 经过圆C 的圆心，且倾斜角为
，求直线l 的方程；
(2)若直线
与圆C 交于A，B 两点，求弦AB 的长.
【解析】（1）由题意得圆C 的标准方程为：
，
所以圆心坐标为
，
由直线的点斜式方程可得直线方程为
，
即
；
（2）圆心
到直线
的距离为
，
所以弦AB 的长为
.
16．（25-26 高二上·河北石家庄·月考）已知圆心为C 的圆经过
，
两点，且圆心
在直线
上.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)已知线段PQ 的端点Q 的坐标是
，端点P 在圆C 上运动，线段PQ 的中点T 的轨迹为曲线S，曲线
S 与圆C 相交于D，E 两点，求
.
【解析】（1）由题知线段
的中点为
，
的斜率为
，
所以线段
的垂直平分线的斜率为，其方程为
，
所以圆心C 在直线
上，
又因为圆心C 在直线
上，
所以
，解得
，即圆心坐标为
，
40
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所以圆C 的半径为
所以圆C 的标准方程为
（2）设
，
因为
，所以由中点坐标公式得
因为P 在圆C 上运动，即
所以
，即
，
所以点
的轨迹方程为
，即曲线的方程.
圆
：
，曲线：
所以圆
与曲线的公共弦
方程为
，
圆心
到公共弦
的距离为
，
所以公共弦
17．（2025·上海徐汇·一模）已知抛物线
的焦点为
，准线为．
(1)若点
在抛物线
上，求
所在直线的斜率；
(2)若准线
，点
为抛物线
准线上的一个动点，过点
作圆
的两条切线，
切点分别为
、
．若两条切线
、
与
轴分别交于点、
，求
的最小值；
(3)若点
到准线的距离为
，过抛物线
的准线上一点
作圆
的两条切线、
，且、
分别与
交于
、
两点和
、
两点．问：是否存在某个圆
，
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使得当点
运动时，
为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）将点
的坐标代入抛物线
的方程可得
，解得
，
故抛物线
的标准方程为
，其焦点为
，
故直线
的斜率为
.
（2）圆
的标准方程为
，则圆心为
，半径为
，
因为抛物线
的准线方程为
，即
，可得
，故抛物线
的方程为
，
设点
，由题意可知，切线
、
的斜率都存在，设它们的斜率分别为
、
，
不妨设过点
的切线方程为
，即
，
由题意知，圆心
到直线
的距离为，即
，
整理可得
，
依题意，
、
是关于
的方程
的两根，
所以
，且
，
，
易知直线
的方程为
，令
可得
，即得点
，同理点
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，故
的最小值为
.
（3）若点
到准线的距离为
，即
，故抛物线
的方程为
，
其准线的方程为
，设点
，
圆
的圆心为
，半径为，
由题意可知，过点
的切线的斜率存在，设过点
的切线方程为
，即
，
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因为圆心
到切线的距离为，则
，
整理可得
，
设切线、
的斜率分别为
、
，
则
、
为关于
的方程
的两根，
故
，
，
将直线的方程与抛物线
的方程联立
，可得
，
由韦达定理可得
，同理可得
，
故
为定值，则
，
因为
，解得
，
故当
时，即存在定圆
，使得当点
运动时，
为定值
.
18．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知直线
与圆
交于
两点，点
（不同于点
）在圆
上
(1)若
时，求
的面积；
(2)若
，求直线l 的方程．
【解析】（1）当
时，直线
，
因为圆
，半径
，
所以圆心C 到直线l 的距离
，
所以
，
所以
；
（2）由于
，过点C 作
于点H，则
，
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又因为
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
又因为
，
所以
，
所以直线l 的方程为
或
.
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