第十六题 圆锥曲线的性质
高考真题
16. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，点 在 轴上，
，则 的离心率为________．
【思路分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于 的
表达式，从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将点 代入双
曲线 得到关于 的齐次方程，从而得解；
【解析】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
知识点总结
1.椭圆的定义
满足下列两个条件:
(1)在同一个平面内动点P和两个定点F ,F ;
1 2
(2)|PF |+|PF |为定值,且|PF |+|PF |> | F F |,动点P的轨迹为椭圆.
1 2 1 2 1 2
2.椭圆的标准方程和几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形x∈ [- a , a ] , x∈ [- b , b ] ,
范围
y∈[-b,b] y∈[-a,a]
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
A (-a,0),A (a,0) A (0,-a),A (0,a)
1 2 1 2
顶点
B (0,-b),B (0,b) B (-b,0),B (b,0)
1 2 1 2
c
离心率 e= ,且e∈(0,1)
a
a,b,c关系 c2= a 2 - b 2
3.双曲线的定义
满足下列两个条件
(1)在同一个平面内动点P和两定点F ,F ;
1 2
(2) | | PF |- | PF ||为定值,且0<||PF |-|PF ||<|F F |的动点P的轨迹为双曲线.
1 2 1 2 1 2
4.双曲线的标准方程和几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点坐标: 顶点坐标:
性质
顶点
A (- a ,0) , A ( a ,0) A (0,- a ) , A (0 , a )
1 2 1 2
b a
渐近线 y=± x y=± x
a bc
离心率 e= ,e∈(1,+∞)
a
a,b,c关系 c2= a 2 + b 2
线段A A 叫做双曲线的实轴,它的长|A A |= 2 a ;
性质 1 2 1 2
线段B B 叫做双曲线的虚轴,它的长|B B |= 2 b ;
1 2 1 2
实虚轴
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴
长
①定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与
虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
等轴双曲线
②性质:a=b;e=❑√2;渐近线互相垂直;等轴双曲线上
任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
5．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
6．抛物线的标准方程和几何性质
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
标准
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
图形
顶点 O (0 ， 0)
对称轴 x 轴 y 轴
焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－)
离心率 e＝1准线
x＝－ x＝ y＝－ y＝
方程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口
向右 向左 向上 向下
方向
P(x ，y )
0 0
焦半径
|PF|＝x ＋ |PF|＝－x ＋ |PF|＝y ＋ |PF|＝－y ＋
0 0 0 0
题型展示
椭圆定义的应用
x2 y2
(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知 F1,F2 是椭圆 C: + =1 的两个焦点,点 M 在 C 上,则|MF1|·|
9 4
MF2|的最大值为( C )
A.13 B.12 C.9 D.6
( ❑√5 )( ❑√5 ) 5
【解析】选C.设M(x,y),则|MF1|·|MF2|= 3+ x 3- x =9- x2≤9,当x=0时取等号,故
3 3 9
所求最大值为9.
x2 y2
(2)已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,若|MF1|=4,则∠F1MF2=(
9 2
C)
A.30° B.60° C.120° D.150°
x2 y2
【解析】选 C.由题意,椭圆方程 + =1,可得 a=3,b=❑√2,c=❑√a2-b2=❑√7,所以焦点 F1(-❑√7
9 2
,0),F2(❑√7,0),又由椭圆的定义,可得|M F |+|M F |=2a=6,因为|MF1|=4,所以|M F |=2,
1 2 2
在△F1MF2中,由余弦定理可得|F F | 2 =|M F | 2 +|M F | 2 -2|M F ||M F |cos∠F1MF2,
1 2 1 2 1 2
1
所以(2❑√7)2=42+22-2×4×2cos∠F1MF2,解得cos∠F1MF2=- ,
2又由∠F1MF2∈(0,π),所以∠F1MF2=120°.
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和
离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
椭圆的标准方程
(1)在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是( A )
x2 y2 y2 x2
A. + =1(y≠0) B. + =1(y≠0)
25 9 25 9
x2 y2 y2 x2
C. + =1(y≠0) D. + =1(y≠0)
16 9 16 9
【解析】选 A.由|AC|+|BC|=18-8=10>8知,顶点C的轨迹是以 A,B为焦点的椭圆(A,B,C不
x2 y2
共线).设其方程为 + =1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b=3.由A,B,C不共线知y≠0.故顶点C的轨
a2 b2
x2 y2
迹方程是 + =1(y≠0).
25 9
(2)已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆 C1相内切,和
圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是 ( D )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. + =1 C. - =1 D. + =1
64 48 48 64 48 64 64 48
【解析】选D.设动圆的圆心M(x,y),半径为r.因为圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与C2:
(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.
|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,点M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭
x2 y2
圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,所以动圆的圆心M的轨迹方程为 + =1.
64 48
y2 x2 y2 x2
（3）过点(❑√3,-❑√5),且与椭圆 + =1有相同焦点的椭圆的标准方程为 + =1 .
25 9 20 4
y2 x2
【解析】方法一:(待定系数法)设所求椭圆方程为 + =1(k<9),将点(❑√3,-❑√5)的坐标
25-k 9-k
(-❑√5)2 (❑√3)2 y2 x2
代入可得 + =1,解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
25-k 9-k 20 4
y2 x2
方法二:(定义法)椭圆 + =1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.
25 9
由椭圆的定义知,2a=❑√(❑√3-0)2+(-❑√5+4)2+❑√(❑√3-0)2+(-❑√5-4)2,解得a=2❑√5.y2 x2
由c2=a2-b2可得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
20 4
椭圆的离心率
2022年10月7日21时10分,中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载
火箭,采用“一箭双星”方式,成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6试验卫星发射升空,
卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,
长轴长为2❑√2天文单位,其左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,点P在椭圆上且满足|OP|=|OF1|=|
4
OF2|=c,直线PF2与椭圆交于另一个点Q,若cos∠F1QF2= ,则地球同步转移轨道的离心率为 (
5
B )
1 ❑√2 3 4
A. B. C. D.
2 2 5 5
【解析】选B.因为|OP|=|OF1|=|OF2|=c,所以PF1⊥PF2,
4
因为cos∠F1QF2= ,设|PQ|=4m,|F1Q|=5m,则|PF1|=3m,又|PQ|+|F1Q|+|PF1|=4a,
5
c ❑√2
即12m=4❑√2,即3m=❑√2, 则|PF1|=❑√2,|PF2|=2❑√2-❑√2=❑√2, 则|F1F2|=2,即c=1,即e= = .
a 2
与椭圆有关的最值(范围)问题
x2 y2
(1)(2023·广州模拟)已知P为椭圆 + =1(a>b>0)上一动点,F1,F2分别为该椭圆的左、右
a2 b2
焦点,B为短轴一端点,如果|PB|长度的最大值为2b,则使△PF1F2为直角三角形的点P共有( B
)
A.8个 B.4个或6个
C.6个或8个 D.4个或8个
【解析】选B.当F1为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点P有2个;
当F2为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点P有2个;
因为B为短轴一端点,令B(0,b),|PB|长度的最大值为2b,
x2 y2
椭圆 + =1(a>b>0),所以说明椭圆与圆x2+(y-b)2=4b2有且仅有下顶点这唯一交点,
a2 b2
设P(x0,y0),所以|PB|≤2b ,即|PB|2≤4b2,所以x2+(y -b)2≤4b2 ,
0 0
x2 y2 y2 a2
因为 0+ 0=1,所以x2 =a2（1- 0）代入x2 +(y -b)2 ≤4b2中得,（1- ）y2 -2by0+a2-3b2≤0,
a2 b2 0 b2 0 0 b2 0
[ a2 a2-3b2]
因为-b≤y0≤b,所以y0+b≥0,所以(y0+b) (1- )y + ≤0,
b2 0 bb2-a2 a2-3b2
所以（ ）y0+ ≤0,
b2 b
b2-a2 b2-a2 a2-3b2 b2-a2 a2-3b2
因为 <0,将y0=-b代入（ ）y0+ ≤0得,（ ）(-b)+ ≤0,
b2 b2 b b2 b
2a2-4b2
≤0, a2≤2b2, b2+c2≤2b2即c≤b ,
b
当c=b 时,P 为下顶点,此时∠F1PF2 最大为直角,根据对称满足的点P有2个,
当c<b 时,P 为下顶点,此时∠F1PF2 为锐角,满足的点P有0个,
所以使△PF1F2为直角三角形的点P共有4个或6个.
x2 y2
(2)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(❑√2,1)在椭圆内
a2 b2
( ❑√2)
部,则椭圆C的离心率的取值范围是 0, .
2
【解析】由题意可知,a=2,
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 + =1,
4 b2
2 1
因为点P(❑√2,1)在椭圆内部,所以 + <1,
4 b2
可得b2>2,又b2<a2=4,所以2<b2<4,
b2 b2 ( 1)
所以e2=1- =1- ∈ 0, ,
a2 4 2
( ❑√2)
所以椭圆C的离心率的取值范围是 0, .
2
求解与椭圆有关的范围、最值问题的常用思路
(1)充分利用椭圆的几何性质,结合图形进行分析.
(2)注意利用椭圆的范围如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1构造不等式.
(3)列出所求目标的解析式,构造函数利用单调性,或者利用基本不等式求最值或范围.
双曲线定义及应用
(1)已知F ,F 分别为双曲线x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且|PF | 2 =8|F F |
1 2 2 1 2
,则|PF |= ( A )
1
A.6❑√2 B.2❑√2
C.2❑√2+4 D.2❑√2+2
【解析】选A.在双曲线x2-y2=2中,a=❑√2,b=❑√2,c=2,因为|PF | 2 =8|F F |=8×4=32,所以|PF |
2 1 2 2=4❑√2,又|PF |-|PF |=2a=2❑√2, 所以|PF |=2❑√2+|PF |=6❑√2.
1 2 1 2
x2
(2)(2023·厦门模拟)已知F ,F 分别是双曲线C: -y2=1的左、右焦点,动点P在双曲线的左
1 2 4
支上,点Q为圆G:x2+(y+2)2=1上一动点,则|PQ|+|PF |的最小值为 ( A )
2
A.6 B.7 C.3+❑√5 D.5
【解析】选A.如图,圆G的圆心为(0,-2),半径为1,F (-❑√5,0),
1
|PQ|+|PF |=|PQ|+|PF |+2a≥|PG|-1+|PF |+4,
2 1 1
当 P,G,F 三点共线时,|PQ|+|PF |最小,最小值为|GF |+3,而|GF |=❑√(❑√5)2+22=3,所以|GF |
1 2 1 1 1
+3=6.
双曲线的标准方程
(1)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上,则顶
点C的轨迹方程为 ( A )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1(x>2) B. - =1(x>3) C. + =1(0<x<2) D. + =1(0<x<3)
4 5 9 5 9 5 9 4
【解析】如图,设△ABC与圆的切点分别为D,E,F,则有|AD|=|AE|=5,|BF|=|BE|=1,
|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=5-1=4.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外),
即c=3,a=2,又c2=a2+b2,所以b2=5,
x2 y2
所以方程为 - =1(x>2).
4 5
(2)已知两圆 C :(x+4)2+y2=2,C :(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C ,C 都相切,则动圆圆心 M的轨
1 2 1 2
迹方程是 ( D )
x2 y2
A.x=0 B. - =1(x≥❑√2)
2 14x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1或x=0
2 14 2 14
【解析】动圆M与两圆C ,C 都相切,有四种情况:①动圆M与两圆都外切;②动圆M与两
1 2
圆都内切;③动圆M与圆C 外切、与圆C 内切;④动圆M与圆C 内切、与圆C 外切.在①②情
1 2 1 2
况下,动圆圆心M的轨迹方程为x=0.在③的情况下,设动圆M的半径为r,则|MC |=r+❑√2,|MC |=r-
1 2
❑√2.
故得|MC |-|MC |=2❑√2.在④的情况下,同理得|MC |-|MC |=2❑√2.
1 2 2 1
由③④得|MC |-|MC |=±2❑√2.
1 2
已知|C C |=8,根据双曲线定义,可知点M的轨迹是以C (-4,0),C (4,0)为焦点的双曲线,
1 2 1 2
x2 y2
且a=❑√2,c=4,b2=c2-a2=14,其方程为 - =1.
2 14
x2 y2 ❑√5
(3)已知双曲线 - =1 (a>0,b>0)的虚轴长为2,离心率为 ,则其方程是 ( C )
a2 b2 2
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
16 4 8 2
x2 y2
C. -y2=1 D.x2- =1
4 4
x2 y2 ❑√5 c ❑√5
【解析】由题意,双曲线 - =1的虚轴长为2,离心率为 ,可得b=1,e= = ,
a2 b2 2 a 2
❑√5 x2
即c= a,因为c2=a2+b2,解得:a=2.所以双曲线的方程为 -y2=1.
2 4
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法.根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系
有:①c2=a2+b2;②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法.
一般步骤.
双曲线的离心率
x2 y2
(1)(2023·珠海模拟)双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右支上一点M关于原点O的对称点为点
a2 b2π
N,F为双曲线的右焦点,若MO=OF,∠FMN= ,则双曲线C的离心率e为( D )
3
A.❑√2 B.❑√3 C.❑√2+1 D.❑√3+1
1
【解析】设 F'为双曲线左焦点,连接 MF',NF',NF(图略),OF= MN,由平面几何知识可知
2
MF⊥NF,根据对称性,四边形MFNF'为矩形,在Rt MFN中,MN=F'F=2c,所以MF=c,NF=❑√3c,根
c 2
据双曲线的定义可知MF'-MF=❑√3c-c=2a e= = △ =❑√3+1.
a ❑√3-1
⇒ x2 y2
(2)(2022·福州模拟)已知F ,F 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0) 的两个焦点,曲线上的点P
1 2 a2 b2
❑√22
到原点的距离为b,且sin∠PF F =2sin∠PF F ,则该双曲线的离心率为 .
2 1 1 2 2
【解析】设焦距为2c,
1 1
因为sin∠PF F =2sin∠PF F , c·|PF |sin∠PF F = c·|PF |sin∠PF F ,
2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1
所以|PF |=2|PF |,又|PF |-|PF |=2a,|PF |=2a,|PF |=4a,
1 2 1 2 2 1
b2+c2-16a2 b2+c2-4a2
因为cos∠POF = ,cos∠POF = ,∠POF +∠POF =180°,
1 2bc 2 2bc 1 2
b2+c2-16a2 b2+c2-4a2 c2 11 c ❑√22
所以 =- , 结合b2=c2-a2整理得 = ,即e= = .
2bc 2bc a2 2 a 2
求双曲线离心率的方法
c
(1)若可求得a,c,直接利用e= 求解;
a
√ b
(2)若已知a,b,可直接利用e=❑1+( ) 2得解;
a
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且pqr≠0),则转化为关于e的
方程pe2+qe+r=0求解.
与双曲线有关的面积问题
x2 y2
(1)双曲线C: - =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则
4 2△PFO的面积为 ( A )
3❑√2 3❑√2
A. B. C.2❑√2 D.3❑√2
4 2
x2 y2 ❑√2
【解析】方法一:双曲线 - =1的右焦点F(❑√6,0),一条渐近线的方程为 y= x,不妨设点
4 2 2
❑√6 ❑√2 ❑√6 ❑√3
P在第一象限,由|PO|=|PF|,得点P的横坐标为 ,纵坐标为 × = ,即△PFO的底边长为
2 2 2 2
❑√3 1 ❑√3 3❑√2
❑√6,高为 ,所以它的面积为 ×❑√6× = .
2 2 2 4
b ❑√2
方法二:不妨设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,所以|OF|=❑√6.又tan∠POF= = ,所以
a 2
❑√6 ❑√2 ❑√3 1 ❑√3 3❑√2
等腰三角形POF的高h= × = ,所以S = ×❑√6× = .
2 2 2 PFO 2 2 4
△
x2 y2
(2)已知 F 是双曲线 C: - =1 的一个焦点,点 P 在 C 上,O 为坐标原点.若|OP|=|OF|,则
4 5
△OPF的面积为 ( B )
3 5 7 9
A. B. C. D.
2 2 2 2
x2 y2
【解析】由F是双曲线 - =1的一个焦点,知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.不妨设点P在第一
4 5
56
{❑√x2+ y2=3, {x2= ,
0 0 0 9 (2❑√14 5)
象限,P(x ,y ),x >0,y >0, 则 x2 y2 解得 所以P , ,
0 0 0 0 0- 0=1,
y2=
25
,
3 3
4 5 0 9
1 1 5 5
所以S = |OF|·y = ×3× = .
OPF 2 0 2 3 2
△
与双曲线有关的面积问题的求解策略：一是确定三角形的底与高(易于计算长度的);二是
分别求出高与底边长度;三是计算出面积.
与双曲线渐近线有关的问题
x2 y2
(1) (2022·临沂模拟)已知双曲线 - =1 (a>0,b>0)的焦距为4❑√5,实轴长为4,则C的渐近线
a2 b2
方程为 ( A )
1 ❑√5
A.y=±2x B.y=±❑√5x C.y=± x D.y=± x
2 5
【解析】由已知得,双曲线的焦点在x轴上,双曲线的焦距2c=4❑√5,解得c=2❑√5,双曲线的实
b
轴长为2a=4,解得a=2, 则b=❑√c2-a2=❑√20-4=4, 即双曲线C的渐近线方程为 y=± x=±2x.
ax2 y2
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方
a2 b2
程为 y = ±❑√3 x .
x2 y2 √c2 √a2+b2 b2
【解析】因为双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为2,所以e=❑ =❑ =2,所以 =3,
a2 b2 a2 a2 a2
b
所以该双曲线的渐近线方程为y=± x=±❑√3x.
a
根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程:
n x2 y2
(1)渐近线为y= x的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0);
m m2 n2
(2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0);
x2 y2 x2 y2
(3)与双曲线 - =1共渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0).
a2 b2 a2 b2
抛物线的定义及标准方程
(1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l
于Q，则线段FQ的垂直平分线( B )
A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
【解析】如图所示，因为线段 FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛
物线上，根据定义可知，＝，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.
(2)(2023·岳阳模拟)已知抛物线y＝x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q(1，1)，当
△PQF的周长最小时，点P的坐标为__(1，)______．
【解析】如图，设l：y＝－1是抛物线的准线，过P作PH⊥l于H，作QN⊥l于N，
则＝，F(0，1)，＝1，
＋＝＋，易知当Q，P，H三点共线时，＋的值最小，且最小值为1＋1＝2，所以△PQF的周长最
小值为3，此时x ＝1，y ＝，即P(1，).
P P
抛物线的几何性质
(1)(2023·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为
8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为( B )
A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝－2 D．x＝－4
【解析】抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F(，0)，由y2＝16p，可得y＝±4，不妨令P(8，4)，
则S ＝××4＝p＝2，解得p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
OFP
△(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上
一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为_ x＝－
_．
【解析】由已知可设P，所以k ＝2，k ＝－，
OP PQ
因此直线PQ的方程为y－p＝－，
令y＝0得x＝，因此|FQ|＝－＝2p＝6，则p＝3，
所以C的准线方程为x＝－＝－.
抛物线的焦点弦问题
(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为
坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( B )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
【解析】抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为
A，
所以△OAF的面积为··＝4，解得a＝±8.
所以抛物线方程为y2＝±8x.
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段
AB的长为8，则p＝___2___．
【解析】由题意可知过焦点的直线方程为 y＝x－.联立抛物线与直线方程⇒x2－3px＋＝
0，设A(x ，y )，B(x ，y )，又|AB|＝x ＋x ＋p＝3p＋p＝8 p＝2.
1 1 2 2 1 2
关于焦点弦的几个常用技巧
⇒
1．过抛物线y2＝2px的焦点的直线方程常设为x＝my＋.
2．抛物线的焦点弦长为(θ为过焦点的直线的倾斜角)，最小值为2p.
3．过抛物线的焦点弦的两个端点作抛物线的切线，两条切线的交点在准线上．真题演练
一、单选题
1．设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．
已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
3．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C交于A，B两点，若 面
积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
4．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点．若 ，则
（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3【答案】B
5．连接抛物线 的焦点F与点 所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形
OAM的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．已知点P在抛物线 上，那么点P到点 的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，
点P的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
7．抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线交 于第一象限的点 ，
若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则
A． B． C． D．
【答案】D
8．等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；
则 的实轴长为
A． B． C． D．
【答案】C
9．已知双曲线 的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A， 的面积为 （O
为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D10．椭圆 （ 为参数）的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
二、填空题
11．已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且
，则l的方程为 ．
【答案】
12．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线 的左焦点重合，若两曲线相交于
， 两点，且线段 的中点是点 ，则该双曲线的离心率等于 .
【答案】
13．设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限.若 为等腰三角形，则
的坐标为 .
【答案】
14．过抛物线 的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于 两点， 在 轴上的正射影分
别为 ．若梯形 的面积为 ，则 ．
【答案】２模拟训练
一、单选题
1．已知 为双曲线 ： 的右焦点，平行于 轴的直线 分别交 的渐近线和右支于
点 ， ，且 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为 的直线交
抛物线C于A，B两点，则 （ ）．
A． B．5 C． D．2
【答案】A
3．P为椭圆 上一点，曲线 与坐标轴的交点为A，B，C，D，若
，则P到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．已知抛物线C： ，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线OA，OB的斜率分别为 ， ，且
，直线AB与x轴的交点为P，则 的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B5．已知直线 过抛物线 的焦点，直线 与抛物线 相交于 两点，若 的中点
到抛物线 的准线的距离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
6．已知 是椭圆 的长轴上的两个顶点，点 是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点 与
点 关于 轴对称，则直线 与直线 的交点 所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
【答案】A
二、多选题
7．过抛物线C： 上一点 作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M、N，则
（ ）
A．C的准线方程是
B．过C的焦点的最短弦长为12
C．直线 过定点
D．当点A到直线 的距离最大时，直线 的方程为
【答案】AD
8．已知双曲线 的焦点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线 与椭圆 的离心率互为倒数C．若双曲线 上一点 满足 ，则 的周长为28
D．若从双曲线 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【答案】CD
三、填空题
9．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，C的离心率为 ，过 且倾斜角
为120°的直线l与C交于A，B两点，若 的内切圆的面积为 ，则C的虚轴长为 ．
【答案】6
10．设 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆 上，若 ，则 .
【答案】2
11．已知双曲线 的左焦点为 ，坐标原点为 ，若在双曲线右支上存在一点
满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为 .
【答案】
12．若 为抛物线 ： 在第二象限内一点，抛物线 的焦点为 ，直线 的倾斜角为 ，
抛物线在点 处的切线与 轴相交于点 .若 （ 为坐标原点），则 的面积为
.
【答案】
