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跟踪训练
【训练1】（2021 春•T8 联考）已知椭圆
与抛物线
有公
共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过椭圆
的右焦点作一条斜率为
的直线交椭圆于
，
两点，交
轴于点
，
为弦
的中点，过点
作直线
的垂线交
于点
，问是否存在一定点
，使得
的长度为定值？若存在，则求出点
，若不存在，请说明理由．
【训练2】（2026•武汉三月调考）曲线
与直线
交于点
，
过点
且与垂直的直线交曲线
于另外的点
，设线段
的中点为
，定点
的坐标
为
．
（1）用表示点
的坐标；
（2）证明：
为定值；
（3）是否存在某条直线始终与以
为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不
存在，请说明理由．
【训练3】（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的左、
右焦点分别为
，
．已知
和
都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设
，
是椭圆上位于
轴上方的两点，且直线
与直线
平行，
与
交
于点
．
（ⅰ）若
，求直线
的斜率；
（ⅱ）求证：
是定值．
跟踪训练
【训练1】（2024•潍坊三模）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
为直线
上
一点，动点
满足
，
．
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）若过点
作直线与
交于不同的两点
，
，点
，过点
作
轴的垂线
分别与直线
，
交于点
，
．证明：
为线段
的中点．
【训练2】（2024•青原区校级模拟）如图，
为圆
上一动点，过点
分别作
轴，
轴的垂线，垂足分别为
，
，连接
并延长至点
，使得
，点
的轨
迹记为曲线
．
（1）求曲线
的方程；
（2）若过点
的两条直线
，
分别交曲线
于
，
两点，且
，求证：直
线
过定点；
（3）若曲线
交
轴正半轴于点
，直线
与曲线
交于不同的两点
，
，直线
，
分别交
轴于
，
两点．请探究：
轴上是否存在点
，使得
？若存在，求出点
坐标；若不存在，请说明理由．
跟踪训练
【训练3】（2022 春•浦东新区校级月考）已知椭圆
的左、右顶点
分别为
，
，点
在椭圆
上，过椭圆
的右焦点
作与
轴垂直的直线与椭
圆相交于
，
两点，且四边形
的面积为6．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）点
椭圆上异于
，
的一点，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求证
为定值；
（3）
轴上有一点
，
，直线过点
且与椭圆
相交于
，
两点，
若
的值与
的取值无关，求直线的斜率．
【训练4】．（2025 秋•和林格尔县校级期中）已知椭圆
，点
在
上，且离心率为
．（1）求椭圆
的方程；（2）设
，
是椭圆
上的
两点，
为
的右焦点，直线
与曲线
相切．证明：
，
，
三点
共线的充要条件是
．
跟踪训练
【训练5】（2025 秋•宁波期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，抛物线
的焦点和椭圆的右焦点重合，且椭圆
和抛物线
的准线在第二象
限交点的纵坐标为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过右焦点
的直线与椭圆
相交于
，
两点，点
关于
轴的对称点为
，试
问△
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【训练6】（2025 秋•贵溪市校级月考）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，动点
满足直线
与
的斜率之积为
，记
的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程，并说明
是什么曲线；
（2）已知直线与
交于
，
两点，与圆
交于
，
两点，若不重合的
两条直线
与
分别平分线段
，
．①求证：
为定值；②已知直
线
与曲线
交于
，
两点，
与曲线
交于
，
两点，
，求四边形
面积的最大值．
【训练7】（2024 秋•河西区期末）已知点
，椭圆
的离心
率为
，
是椭圆的右焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，当
的面积最大时，求直线的方
程．
【训练1】（2024•安徽模拟）已知椭圆
的左右顶点分别为
，
，过
的直线与椭圆
交于
，
两点（异于左右顶点），直线
，
相交于点
．
（1）求证：点
在定直线上；
（2）线段
的中点为
，求△
面积的最大值．
【训练2】（2016•天津）设椭圆
的右焦点为
，右顶点为
．已知
，其中
为原点，为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点
的直线与椭圆交于点
不在
轴上），垂直于的直线与交于点
，
与
轴于点
，若
，且
，求直线的斜率的取值范围．
【训练3】
（2026•湖北11 校联考）已知抛物线
，
为其焦点，直线过点
交抛
物线
于
、
两点，若三角形
面积的最小值为
．
（1）求
；
（2）若三角形
外接圆与抛物线的最后一个交点为点
．
设
，
，
，
，
，
，证明：
．
若
平分
，求线段
长度的所有可能取值．
跟踪训练
【训练1】(2017•新课标Ⅰ文)设
，
为曲线
上两点,
与
的横坐标之和为4.
(1)求直线
的斜率;
(2)设
为曲线
上一点,
在
处的切线与直线
平行,且
,求直线
的方
程.
【训练2】（2024•广州期末）已知抛物线
的准线与
轴的交点为
，直
线过抛物线
的焦点
且与
交于
，
两点，
的面积的最小值为4．
（1）求抛物线
的方程；
（2）若过点
的动直线交
于
，
两点，试问抛物线
上是否存在定点
，使
得对任意的直线，都有
，若存在，求出点
的坐标；若不存在，则说明理由．
【训练3】（2023•南宁一模）设抛物线
的焦点为
，点
，过
的直线交
于
，
两点．当直线
垂直于
轴时，
．
（1）求
的方程；
（2）若点
，
，过点
的动直线交抛物线
于
、
，直线
交抛物线
于另一点
，连接
并延长交抛物线于点
．证明直线
与直线
的斜率之和为定
值．
跟踪训练
【训练4】过抛物线
上一点
作圆
的两条切线交
于
点
，
，求直线
的方程.
【训练5】（2023•贵州模拟）抛物线
的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长．
（1）求抛物线
的方程；
（2）设
是抛物线
上位于第一象限的一点，过
作圆
（其中
的两条切线，分别交抛物线
于点
，
，证明：直线
经过定点．
【训练6】（2025 天津期末）椭圆
经过点
，右焦点为
，
直线
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）经过点
的直线
与椭圆
交于
、
两点（都不与点
重合），与直线相交
于点
，记
，
，
的斜率分别为
，
，
．问：是否存在常数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
跟踪训练
【训练1】（2024•南京月考）已知椭圆
的左焦点为
，离心
率为，椭圆过点
与
．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设经过点
的直线与圆
的交点为
、
，若
，求
的
长；
（3）设不经过点
的直线
与椭圆
交于两点
、
，记直线
与
的斜率
分别为
、
，且
，求
的值．
【训练2】（2025•厦门月考）已知椭圆
的下顶点为点
，右焦点
为
．延长
交椭圆
于点
，且满足
．
（1）试求椭圆
的标准方程；
（2）
，
分别是椭圆长轴的左、右两个端点，
，
是椭圆上与
，
均不重合的相
异两点，设直线
，
的斜率分别是
，
若直线
过点
，求证：
．
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【训练3】（2026•扬州月考）如图，椭圆
经过点
，右准线
，设
为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆
交于不同两点
，
（均异
于点
，直线
交于
（点
在
轴下方）．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过右焦点
作
的垂线与以
为直径的圆交于
，
两点，若
，求圆
的方程；
（3）若直线
与
的斜率之和为2，证明：直线
过定点，并求出该定点．
跟踪训练
【训练4】（2023•赣州教师竞赛）已知椭圆
的离心率为
,椭
圆
上的点，与
的最大距离为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设椭圆
的下、上顶点分别为A、B,过点P 的直线与椭圆Q 交于C、D 两点，与y
轴交于点M，直线AC 与直线BD 交于点N，试探究
是否为定值.
【训练5】（2021·北京）已知椭圆
：
（
）的一个顶点
，以
椭圆
的四个顶点围成的四边形面积为
.
（I）求椭圆
的方程；
（II）过点
作斜率为
的直线与椭圆
交于不同的两点
，
，直线
、
分
别与直线
交于点
、
，当
时，求
的取值范围.
【训练6】（2023·泸县期末）已知动点
与定点
的距离和
到定直线：
的距离的比是常数
.
（1）求动点
的轨迹方程，并说明轨迹即曲线
的形状.
（2）过
作两直线与抛物线
（
）相切，且分别与曲线
交于
，
两
点，直线
，
的斜率分别为
，
.
①求证：
为定值；
②试问直线DE 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
【训练7】已知抛物线
，
为坐标原点，焦点在直线
上．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点
作动直线与抛物线
交于
，
两点，直线
，
分别与圆
交于点
，
两点（异于点
，设直线
，
斜率分别为
，
．
①求证：
为定值；
②求证：直线
恒过定点．
跟踪训练
【训练1】已知点
为抛物线
的焦点．
（1）求抛物线
的方程；
（2）点
、
、
是抛物线上三点且
，求△
面积的最大值．
跟踪训练
【训练1】（2012•山东）在平面直角坐标系
中，
是抛物线
的焦点，
是抛物线
上位于第一象限内的任意一点，过
，
，
三点的圆的圆心为
，点
到抛物线
的准线的距离为
．
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）是否存在点
，使得直线
与抛物线
相切于点
？若存在，求出点
的坐标；
若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点
的横坐标为
，直线
与抛物线
有两个不同的交点
，
，
与圆
有两个不同的交点
，
，求当
时，
的最小值．
跟踪训练
【训练1】椭圆上
一动点
，
，
直线MA ，MB 分别交
椭圆于P ，Q 两点，
且
，
，求证
为定值.
【训练2】椭圆
，
为x 轴上一点，过Q 点的直线交椭圆于M，N 两点，
交y 轴于T.
若
，
，证明
为定值.
跟踪训练
【训练1】（2025 春•浙江月考）已知抛物线
，抛物线
上一点
在第
一象限，按照如下方式依次构造点
：过点
作斜率为
的直线交
于
，
再过点
作斜率为
的直线交
于点
．
（1）若点
，且
；
求抛物线
的方程，并写出准线方程；
求直线
的斜率；
（2）记
为△
的面积，求
的表达式（用
，
，
表示）．
【训练2】（2025 秋•龙海区校级月考）已知双曲线
，
，
分别为左、右焦点，点
在双曲线
上．
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，在双曲线的右支上任取一点
，
，以
为切点作双曲线右支的切线，
交两渐近线于
，
两点，过
，
两点分别作两渐近线的平行线交于点
，过
作
直线
的平行线分别交两渐近线于
，
两点，再过
，
两点分别作两渐近线的
平行线交于点
，一直反复操作，可得
，
，
，
，
．
①证明：点
，
，
，
，
，
，
在同一条直线上，并求该直线方程；
②记△
，2，
，
的面积为
，记
，证明：
．
【训练3】（2025•方城县校级模拟）在平面直角坐标系中，矩形
，动点
在线段
上，动点
在
延长线上，满足
，直线
与直线
交于
点，已
知
，
．
（1）证明：动点
点所在曲线方程为双曲线
．
（2）在
的右支上任取一点
，
，以
为切点作
的切线交两条渐近线于
，
两点，过
，
两点分别作两条渐近线的平行线交于
，过
作直线
的平行线，
分别交两条渐近线于
，
，再过
，
两点分别作两条渐近线的平行线交于
，一
直反复操作，可得
，
，
．
写出直线
的方程（不需要证明），并证明点
，
，
，
，
，
在同一条
直线上．
设
，
，以此类推．证明：
．
跟踪训练
【训练1】设曲线
为正常数）与
在
轴上方仅有一个公共
点
．
（1）求实数
的取值范围（用
表示）；
（2）
为原点，若
与
轴的负半轴交于点
，当
时，试求△
的面积的最
大值（用
表示）．
