文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题10 幂函数与二次函数
考点一
幂函数的定义及图象
考点二
幂函数性质的运用
考点三
二次函数的图象分析与判断
考点四
与二次函数相关的复合函数问题
考点五
根据二次函数的单调性求参数
考点六
二次函数的最值问题
一、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如
的函数称为幂函数，其中底数x 为自变量，
为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
定义域
_____
值域
_____
奇偶性
奇函数
偶函数
_____
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在
上单
调_____
在
上单调递减；
在
上单调递增
在
上单
调递增
在
上单
调递增
在
和
上单调递减
过定点
过定点_____
过定点
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
图象
二、二次函数
1．表示形式
(1)一般式：
.
(2)顶点式：
，其中
为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：
，其中
是抛物线与x 轴交点的_____坐标.
2．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称性
函数图象关于直线_____对称
顶点坐标
奇偶性
当b=0 时是偶函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在
上是_____函数；
在
上是_____函数；
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在
上是_____函数.
在
上是_____函数.
最值
当
时，
当
时，
考点一
幂函数的定义及图象
例1．（2022 秋·高一单元测试）（多选）下列幂函数中，其图像过点
和
，且为偶函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023 春·江苏南京·高三江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函
数
，条件：①
是偶函数；②
为
上的减函数．则
________．
例3．（2022 秋·高三课时练习）如图，下列3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①
，②
，③
B．①
，②
，③
C．①
，②
，③
D．①
，②
，③
例4．（2023 秋·云南怒江·高三校考期末）若幂函数
的图象经过
，则
（ ）
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．3
C．
D．
例5．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数
是幂函数，且为偶函数，
则实数
______．
考点二
幂函数性质的运用
例6．（2021 秋·高一课时练习）幂函数
在
上单调递减，则实数
的值为
_______
例7．（2022 秋·高三课时练习）已知幂函数
，若
，则a 的取值范围是
__________.
例8．（2023·天津·一模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例9．（2022 秋·安徽芜湖·高三芜湖一中校考期中）已知幂函数
的图像关于
轴对称，
且在
上是减函数，
(1)求
的值.
(2)若
，求
的取值范围.
例10．（2023 秋·河北邯郸·高三校考期末）（多选）已知点
在幂函数
的图像上，则
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
函数
是（ ）
A．奇函数
B．
上的增函数
C．偶函数
D．
上的减函数
考点三
二次函数的图象分析与判断
例11．（2021 秋·陕西渭南·高三统考期末）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例12．（2022 秋·四川巴中·高三四川省平昌中学校考阶段练习）已知函数
的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例13．（2023 春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考阶段练习）设
均为非零实数，则直线
和
在同一坐标系下的图形可能是（ ）．
A．
B．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
D．
例14．（2022 秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）若
，则一元二次方程
有
整数根的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
例15．（2022 秋·云南曲靖·高三会泽县实验高级中学校校考阶段练习）（多选）如图所示，函数
的图象与
轴交于
，
两点，与
轴交于
点，且对称轴为
，点
坐标为
，则下面结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
时的解集是
考点四
与二次函数相关的复合函数问题
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例16．（2022 秋·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数
是
偶函数，函数
的最小值为
，则实数
的值为_________．
例17．（2022 秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）函数
的值域为
___________.
例18．（2023·全国·高三专题练习）下列是函数
的单调减区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例19．（2023 秋·广东清远·高三统考期末）已知函数
.
(1)若
，求
在
上的值域；
(2)若关于
的方程
有解，求
的取值范围.
例20．（2023 春·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考开学考试）已知函数
，
.
(1)若函数
的图象关于直线
对称，求实数
的值，并写出函数
的单调区间；
(2)解关于
的不等式
.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考点五
根据二次函数的单调性求参数
例21．（2023 秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知函数
在
上是减函数，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例22．（2023 春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数
，
在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
例23．（2022 秋·高三单元测试）已知函数
与
在区间
上都是减函数，那么
__________.
例24．（2023 春·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习）“
”是“函数
在区
间
上的增函数”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
例25．（2021 秋·高三课时练习）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考点六
二次函数的最值问题
例26．（2022 秋·上海闵行·高一校考期末）已知函数
严格单调，且
的最大
值为8，求实数的值.
例27．（2022 秋·浙江杭州·高三校考阶段练习）（多选）已知函数
，若存在实数
，
，使
得
在
的取值范围为
，那么
可以为（ ）
A．1
B．0
C．
D．
例28．（2022 秋·湖南郴州·高二安仁县第一中学校考阶段练习）已知二次函数
，且满足
条件：①不等式
的解集为
；②函数
的图象过点
．求：
(1)求函数
的解析式；
(2)设
，若函数
在区间
上的最小值为3，求实数
的值．
例29．（2022 秋·高一单元测试）设函数
是定义域为
的偶函数，
是定义域为
的奇函数，且
.
(1)求
与
的解析式；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的值.
例30．（2023 秋·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考期末）设二次函数
在
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
上有最大值，最大值为
，当
取最小值时，
的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．4
一、单选题
1．（2022 秋·山东青岛·高三校考期中）幂函数
的图像分布在第一、二象限，则实数
（ ）
A．2 或
B．2
C．
D．0
2．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·天津河北·高二统考期中）下列四个图象中，有一个图象是函数
的导数的图象，则
的值为（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
4．（2022 秋·河北邢台·高三统考期末）在定义域内存在
，使得
成立的幂函数
称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 秋·辽宁丹东·高一统考期末）已知幂函数
的图象经过点
，则
在定义域内（ ）
A．单调递增
B．单调递减
C．有最大值
D．有最小值
6．（2023·高三课时练习）已知
，且
是方程
的两实数根，
则
，
，m，n 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022 秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）以速度（单位：
）从地面竖直向上发射子
弹，经过时间（单位：）的子弹高度（单位：
）可由二次函数
确定．已知发射后第
末时的子弹高度为
，则子弹在
以上的高度能持续多少秒（ ）
A．10
B．大于5 小于10
C．大于10
D．5
8．（2022·全国·高三专题练习）若函数
在区间
上的最大值是M，最小值m，则
（ ）
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．与a 无关，且与b 有关
B．与a 有关，且与b 无关
C．与a 有关，且与b 有关
D．与a 无关，且与b 无关
9．（2022 秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数
在区间
上的最小值为
，最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
10．（2021 秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数
的值域
为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2022 秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）函数
，若函数
在
[2，+∞)上是增函数.则a 的取值有可能是（ ）
A．0
B．-
C．
D．
12．（2022 秋·高三单元测试）下列函数中，既是奇函数，又在
上单调递增的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023 秋·福建漳州·高三统考期末）若函数
，则（ ）
A．
的图象经过点
和
B．当
的图象经过点
时，
为奇函数
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．当
的图象经过点
时，
为偶函数
D．当
时，存在
使得
14．（2022 秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设函数
且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上至少有一个零点.
三、填空题
15．（2021 春·陕西渭南·高三校考阶段练习）如图是二次函数
图象的一部分，图象过点
，对称轴为
．给出下面四个结论：①
；②
；③
；④
．其
中正确结论的序号是__________．
16．（2023 春·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）已知幂函数
在
上为单调减
函数，则实数
的值为__________.
17．（2023 秋·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知函数
,若关于x 的函数
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
有6 个不同的零点,则实数b 的取值范围是______
18．（2021 秋·高三课时练习）对于幂函数
，若0<a<b，则
，
的大小关系是
________．
四、解答题
19．（2023 春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知幂函数
的图象过点
.
(1)求此函数的解析式；
(2)根据单调性的定义判断函数
在
上的单调性；
(3)判断函数
的奇偶性，并加以证明.
20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知函数
的最小值为
.
(1)求
的解析式；
(2)若
，求实数
的取值范围.
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
15
