文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
9.5 三定问题及最值（精讲）
一．定点
1. 参数法解决定点问题的思路:
①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);
②利用条件找到k 与过定点的曲线F(x,y)=0 之间的关系,得到关于k 与x,y 的等式,再研究变化量与参数何
时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);直线方程的
斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二．定值
1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
三．定直线：是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题
1.设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;
2.待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;
3.验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.
四．最值
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2.利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
考点一 定点
【例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆
与椭圆
的离心率相同，且椭圆
的焦距是椭圆
的焦距的
倍．
(1)求实数
和
的值；
(2)若梯形
的顶点都在椭圆
上，
，
，直线
与直线
相交于点
．且点
在
椭圆
上，证明直线
恒过定点．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【例1-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆
的离心率是
，上、下顶点
分别为
，
.圆
与
轴正半轴的交点为
，且
.
(1)求
的方程；
(2)直线与圆
相切且与
相交于
，
两点，证明：以
为直径的圆恒过定点.
【一隅三反】
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点
分别为
，
，A，B 分别是C 的右、上顶点，且
，D 是C 上一点，
周长的最大值为8.
(1)求C 的方程；
(2)C 的弦
过
，直线
，
分别交直线
于M，N 两点，P 是线段
的中点，证明：以
为
直径的圆过定点.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知圆
：
，点
，
是圆
上任意一点，
线段
的垂直平分线和半径
相交于
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)经过点
和
的圆与直线：
交于
，
，已知点
，且
、
分别与
交于
、
.
试探究直线
是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
考点二 定值
【例2】（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆
(
)的左右焦点分别为
，
，
点
为
上的一个动点(非左右顶点)，连接
并延长交
于点
，且
的周长为，
面积的
最大值为2．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若椭圆
的长轴端点为
，且
与
的离心率相等，
为
与
异于
的交点，直线
交
于
两点，证明：
为定值．
【一隅三反】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆
：
（
）与椭圆
：
（
）的离心率相同，且椭圆
的焦距是椭圆
的焦距的
倍．
(1)求实数a 和b 的值；
(2)若梯形
的顶点都在椭圆
上，
，
，直线BC 与直线AD 相交于点P．且点P 在
椭圆
上，试探究梯形
的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆
：
（
）中，其所有外切矩形的顶点在一
个定圆
：
上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆
过
，
.
(1)求椭圆
的方程；
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)过椭圆
的蒙日圆上一点
，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点
，若
，
存在，证明：
为定值.
考点三 定直线
【例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点为
，
，
分别为椭圆
的左、右顶点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
作斜率不为的直线，直线与椭圆
交于
，
两点，记直线
的斜率为
，直线
的
斜率为
，求证：
为定值；
(3)在（2）的条件下，直线
与直线
交于点
，求证：点
在定直线上.
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【一隅三反】
1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）如图1 所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出
的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线
的左、右焦点分别为
、
，从
发出的光线经过图2 中的
、
两点反射后，分别
经过点
和
，且
，
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)设
、
为双曲线
实轴的左、右顶点，若过
的直线与双曲线
交于
、
两点，试探究直
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
线
与直线
的交点
是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
2．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知双曲线C：
，直线l 在x
轴上方与x 轴平行，交双曲线C 于A，B 两点，直线l 交y 轴于点D.当l 经过C 的焦点时，点A 的坐标为
.
(1)求C 的方程；
(2)设OD 的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M 的直线与C 交于P，Q，与线段AB 交于点N，
，
均成立；若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考点四 最值
【例4-1】（2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆
的左右顶点分别为
､
，且焦距
为
.点
在椭圆上且异于
两点，若直线
与
的斜率之积为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作不与
轴重合的直线与椭圆
相交于
两点，直线
的方程为：
，过点
作
垂直于直线
，交
于点
.求
面积的最大值.
【一隅三反】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知点
在椭圆
上，直线交
于
，
两点，
直线
，
的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)求
的面积的最大值（
为坐标原点）．
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线
，直线
与C 交于A，B 两点，且
.
(1)求p；
(2)设C 的焦点为F，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值.
10
