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9.5 三定问题及最值（精讲）
一．定点
1. 参数法解决定点问题的思路:
①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);
②利用条件找到k 与过定点的曲线F(x,y)=0 之间的关系,得到关于k 与x,y 的等式,再研究变化量与参数何
时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);直线方程的
斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二．定值
1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
三．定直线：是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题
1.设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;
2.待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;
3.验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.
四．最值
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
1
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2.利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
考点一 定点
【例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆
与椭圆
的离心率相同，且椭圆
的焦距是椭圆
的焦距的
倍．
(1)求实数
和
的值；
(2)若梯形
的顶点都在椭圆
上，
，
，直线
与直线
相交于点
．且点
在
椭圆
上，证明直线
恒过定点．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【解析】（1）由椭圆
方程可得其焦距为
，离心率为
；
由椭圆
可得其焦距为
，离心率为
；
由题意知：
，解得：
（舍）或
，
，
.
（2）设
，
，
，则
，
2
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，
，
分别为
的中点，
，
，
，
，
，
，
，即
，
同理可得：
，
直线
的方程为
，
直线
恒过定点
.
【例1-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆
的离心率是
，上、下顶点
分别为
，
.圆
与
轴正半轴的交点为
，且
.
(1)求
的方程；
(2)直线与圆
相切且与
相交于
，
两点，证明：以
为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得
，
，
.
则
，
，
，所以
.
因为
，又
，所以
，
.
3
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故
的方程为
.
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为
，即
.
因为直线与圆
相切，所以
，即
.
设
，
，则
，
.
由
化简，得
，
由韦达定理，得
所以
，
所以
，
故
，即以
为直径的圆过原点
.
当直线的斜率不存在时，的方程为
或
.
这时
，
或
，
.
显然，以
为直径的圆也过原点
.综上，以
为直径的圆恒过原点
.
【一隅三反】
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点
分别为
，
，A，B 分别是C 的右、上顶点，且
，D 是C 上一点，
周长的最大值为8.
(1)求C 的方程；
(2)C 的弦
过
，直线
，
分别交直线
于M，N 两点，P 是线段
的中点，证明：以
为
4
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直径的圆过定点.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【解析】（1）依题意，
，
周长
，当且仅当
三点共线时等号成立，
故
，
所以
，所以
的方程
；
（2）设
，直线
，代入
，整理得
，
，
，
易知
，令
，得
，同得
，
从而中点
，
以
为直径的圆为
，
由对称性可知，定点必在
轴上，
5
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令
得，
，
，
所以
，即
，因为
，
所以
，即
，
解得
，所以圆过定点
.
2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知圆
：
，点
，
是圆
上任意一点，
线段
的垂直平分线和半径
相交于
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)经过点
和
的圆与直线：
交于
，
，已知点
，且
、
分别与
交于
、
.
试探究直线
是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
【答案】(1)
(2)经过定点，定点坐标为
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【解析】（1）如图所示，
∵
，且
，
∴点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，
设椭圆方程
，则
，
，∴
，
.
所以点
的轨迹方程为：
.
（2）设直线
的方程为：
，
由
，得
设
，
，则
，
.
所以，
，
因为直线
的方程为：
，令
，得
，
所以，
，同理可得
，
以
为直径的圆的方程为：
，
7
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即
，
因为圆过点
，所以，
，
得
，代入得
，
化简得，
，解得
或
（舍去），
所以直线
经过定点
，
当直线
的斜率为0 时，此时直线
与
轴重合，直线
经过点
，
综上所述，直线
经过定点
.
考点二 定值
【例2】（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆
(
)的左右焦点分别为
，
，
点
为
上的一个动点(非左右顶点)，连接
并延长交
于点
，且
的周长为，
面积的
最大值为2．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若椭圆
的长轴端点为
，且
与
的离心率相等，
为
与
异于
的交点，直线
交
于
两点，证明：
为定值．
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【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
的周长为，由椭圆的定义得
，即
，
又
面积的最大值为2，
，即
，
，
，
，解得
，
椭圆
的标准方程为
.
（2）由（1）可知
，
，椭圆
的离心率
，
设椭圆
的方程为
，则有
，
，解得
，
椭圆
的标准方程为
，
设
，
，
，
点
在曲线
上，
，
依题意，可设直线
，
的斜率分别为
，
则
的方程分别为
，
，
于是
，
联立方程组
，消去
整理，得
，
，
，
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，
同理可得：
，
，
，
为定值.
【一隅三反】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆
：
（
）与椭圆
：
（
）的离心率相同，且椭圆
的焦距是椭圆
的焦距的
倍．
(1)求实数a 和b 的值；
(2)若梯形
的顶点都在椭圆
上，
，
，直线BC 与直线AD 相交于点P．且点P 在
椭圆
上，试探究梯形
的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)是定值，该定值为
．
【解析】（1）由题意知，
，且
，
解得
，
．
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（2）梯形
的面积是定值，该定值为
．
理由如下：
由（1）知
：
，
：
,
设
，
，
，则
，
因为
，
，所以A，B 分别为PD，PC 的中点，
则
，
，则
，
作差可得，
．
因为
，即
，所以
．
同理可得，
，所以C，D 都在直线
上，
即直线CD 的方程为
．
联立
，可得
，
，
则
，
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即
．
又因为点P 到直线CD 的距离
，
所以
的面积为
．
又因为
∽
，
，所以
，
所以梯形ABCD 的面积为
．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆
：
（
）中，其所有外切矩形的顶点在一
个定圆
：
上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆
过
，
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过椭圆
的蒙日圆上一点
，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点
，若
，
存在，证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）将
，
代入到
，
可得
，解得
，
，
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所以椭圆
的方程为：
.
（2）由题意可知，蒙日圆方程为：
.
（ⅰ）若直线
斜率不存在，则直线
的方程为：
或
.
不妨取
，易得
，
，
，
，
.
（ⅱ）若直线
斜率存在，设直线
的方程为：
.
联立
，化简整理得：
，
据题意有
，于是有：
.
设
（
），
（
）.
化简整理得：
，
，
，
.
则
，
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，所以
.
综上可知，
为定值
.
考点三 定直线
【例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点为
，
，
分别为椭圆
的左、右顶点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
作斜率不为的直线，直线与椭圆
交于
，
两点，记直线
的斜率为
，直线
的
斜率为
，求证：
为定值；
(3)在（2）的条件下，直线
与直线
交于点
，求证：点
在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）依题可得
，解得
，所以
，
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所以椭圆
的方程为
．
（2）设
，
，因为直线过点
且斜率不为，
所以可设的方程为
，代入椭圆方程
得
，
其判别式
，所以
，
.
两式相除得
，即
．
因为
分别为椭圆
的左、右顶点，所以点
的坐标为
，点
的坐标为
，
所以
，
．
从而
．
（3）由（1）知
，设
，则
，
所以直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
可得
，
所以直线
与直线
的交点
的坐标为
，
所以点
在定直线
上.
【一隅三反】
1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）如图1 所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出
的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线
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的左、右焦点分别为
、
，从
发出的光线经过图2 中的
、
两点反射后，分别
经过点
和
，且
，
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)设
、
为双曲线
实轴的左、右顶点，若过
的直线与双曲线
交于
、
两点，试探究直
线
与直线
的交点
是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在直线
上
【解析】（1）解：如图所示：
延长
与
交于
，因为
，
，
则
，即
，
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令
，则
，
所以，
，
由双曲线的定义可得
，则
，
，则
，
又因为
，即
，解得
，
所以，
，
，
由勾股定理可得
，则
，
故
，
因此，双曲线
的方程为
.
（2）解：若直线与
轴重合，则直线与双曲线
的交点为双曲线
的两个顶点，不合乎题意，
设直线的方程为
，设点
、
，
联立
可得
，
由题意可得
，解得
，
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由韦达定理可得
，
，
易知点
、
，则
，
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立直线
、
的方程并消去
可得
，
可得
，解得
，
因此，直线
与直线
的交点
在定直线
上.
2．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知双曲线C：
，直线l 在x
轴上方与x 轴平行，交双曲线C 于A，B 两点，直线l 交y 轴于点D.当l 经过C 的焦点时，点A 的坐标为
.
(1)求C 的方程；
(2)设OD 的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M 的直线与C 交于P，Q，与线段AB 交于点N，
，
均成立；若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）由已知C：
，点A 的坐标为
，得
，
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焦点
，
，
.
所以
，
，故C：
.
（2）设l 的方程为
，则
，故
，
由已知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 的方程为
，故
.
与双曲线方程联立得：
，
由已知得
，
，设
，
，
则
，
①
由
，
得：
，
，
消去
得：
，
即
②
由①②得：
，由已知
，
故存在定直线l：
满足条件.
考点四 最值
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【例4-1】（2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆
的左右顶点分别为
､
，且焦距
为
.点
在椭圆上且异于
两点，若直线
与
的斜率之积为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
作不与
轴重合的直线与椭圆
相交于
两点，直线
的方程为：
，过点
作
垂直于直线
，交
于点
.求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知：
，
，设
，
则
，
，
又
，
，
，
椭圆
的标准方程为：
.
（2）
设直线
，
，则
，
由
得：
，
20
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显然
，
，
，
，又
，
直线
方程为：
，
令
，则
，
直线
过定点
；
而
，
则
，
令
，有
在
上单调递增，
则
，即
时 ，
取最小值4，
于是当
时，
，
所以
面积的最大值是
.
【一隅三反】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知点
在椭圆
上，直线交
于
，
两点，
直线
，
的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)求
的面积的最大值（
为坐标原点）．
【答案】(1)1
(2)
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【解析】（1）由题意得
，解得
，
代入椭圆方程中，
，解得
或6（舍去），
故
，
当直线的斜率不存在时，
关于
轴对称，此时有对称性可知，直线
，
的斜率之和不为0，舍
去；
设
，联立椭圆方程
得，
，
则
，则
，
设
，则
，
，
故
，
即
，故
，
22
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即
，
当
时，
，此时直线
，
显然直线恒过
，矛盾，
当
时，经检验，满足题意，
故直线的斜率为1；
（2）设
，联立椭圆方程
得，
，
，解得
，
，
点
到直线的距离为
，
故
，
故当
，即
时，
取得最大值，最大值为
.
2．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线
，直线
与C 交于A，B 两点，且
.
(1)求p；
(2)设C 的焦点为F，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值.
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）设
，
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由
，可得
，
所以
，
，
所以
，
即
，因为
，解得
；
（2）由（1）得抛物线
，
因为
，显然直线
的斜率不可能为零，
设直线
：
，
，
，
由
，可得
，所以
，
，
，
因为
，所以
，
即
，
亦即
，
将
，
代入得，
，
，
所以
，且
，解得
或
，
设点
到直线
的距离为
，则
，
24
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，
所以
的面积
，
而
或
，
所以当
时，
的面积
.
25
