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专题11 对数与对数函数
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：对数的化简与求值
题型二：对数函数的图象及应用
题型三：对数型复合函数的综合问题
题型四：比较指数式、对数式大小
题型五：解对数方程、不等式
题型六：对数函数性质的综合应用
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理
解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
【考点预测】
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a 叫做对数
的底数，N 叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
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(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM
＋
log
aN；
②loga＝logaM
－
log
aN；
③logaMn＝n log
aM(n∈R).
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0
，＋
∞
)
值域：R
当x＝1 时，y＝0，即过定点(1
，
0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y ＝
log
ax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关
于直线y ＝
x 对称.它们的定义域和值域正好互换.
【常用结论】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底
数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
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由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
【方法技巧】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的
底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底
对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互
化.
4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清
三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1 的大小关系；
三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、
分类讨论、转化与化归思想的应用.
二、【题型归类】
【题型一】对数的化简与求值
【典例1】(1)计算log535＋2log
\f(1,2
－log5－log514 的值．
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log1258＋log254＋log52)的值．
(3)设x，y，z 均为大于1 的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则＋的最小值为________．
【解析】(1)原式＝log5＋2log
\f(1,2
2＝log553－1＝2.
(2)原式＝(log52＋log52＋log52)＝log25×3log52＝13.
(3)因为x，y，z 均为大于1 的实数，所以lgx>0，lgy>0，lgz>0，又由z 为x 和y 的等比中项，
可得z2＝xy.＋＝lgz×＝lgxy×＝＝≥＝.故填.
【典例2】(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25 的值；
(2)计算(log32＋log92)(log43＋log83)的值；
(3)设函数f1(x)＝x，f2(x)＝log2015x，ai＝(i＝1，2，…，2015)，记Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－
fk(a2)|＋…＋|fk(a2015)－fk(a2014)|，k＝1，2，则( )
A．I1＜I2
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B．I1＝I2
C．I1＞I2
D．I1与I2的大小关系无法确定
【解析】(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52
＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5
＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(2)原式＝
＝
＝×＝.
(3)∵f1(ai＋1)－f1(ai)＝－＝，
∴I1＝|f1(a2)－f1(a1)|＋|f1(a3)－f1(a2)|＋…＋|f1(a2015)－f1(a2014)|
＝×2014＝.
∵f2(ai＋1)－f2(ai)＝log2015－log2015＝log2015＞0，
∴I2＝|f2(a2)－f2(a1)|＋|f2(a3)－f2(a2)|＋…＋|f2(a2015)－f2(a2014)|
＝log2015＝log20152015＝1.
∴I1＜I2.故选A.
【典例3】设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m 等于( )
A. B．10 C．20 D．100
【解析】2a＝5b＝m，
∴log2m＝a，log5m＝b，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5
＝logm10＝2，
∴m2＝10，
∴m＝(舍m＝－)．
故选A.
【题型二】对数函数的图象及应用
【典例1】已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b 满足的关系
是( )
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A．0<a－1<b<1
B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1
D．0<a－1<b－1<1
【解析】由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，logab)，由
函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上有0<<b<1.故选A.
【典例2】若方程4x＝logax 在上有解，则实数a 的取值范围为 ．
【解析】
若方程4x＝logax 在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax 在上有交点，
由图象知解得0<a≤.
【典例3】已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2 的零点，则
＋ln x2的值
为( )
A．e2＋ln 2
B．e＋ln 2
C．2
D．4
【解析】根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2 的零点，
函数f(x)＝ex＋x－2 的零点为函数y＝ex的图象与y＝2－x 的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x1，
)，
函数g(x)＝ln x＋x－2 的零点为函数y＝ln x 的图象与y＝2－x 的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，
又由函数y＝ex与函数y＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y＝x 对称，
而直线y＝2－x 也关于直线y＝x 对称，则点(x1，
)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x 对称，则有
x1＝ln x2，则有
＋ln x2＝
＋x1＝2.
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【题型三】对数型复合函数的综合问题
【典例1】已知函数f(x)＝log
\f(1,2
(x2－2ax＋3)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a 的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a 的取值范围；
(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围；
(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值．
【解析】(1)由f(x)的定义域为R，
知x2－2ax＋3＞0 的解集为R，
则Δ＝4a2－12＜0，解得－＜a＜.
∴a 的取值范围为(－，)．
(2)函数f(x)的值域为R 等价于u＝x2－2ax＋3 取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－
a2≤0⇒a≤－或a≥.
所以实数a 的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，
知u(x)＝x2－2ax＋3＞0 对x∈[－1，＋∞)恒成立，
因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，
所以当a＜－1 时，u(x)min＝u(－1)＞0，
即 解得－2＜a＜－1；
当a≥－1 时，u(x)min＝u(a)＝3－a2＞0，即－＜a＜，所以－1≤a＜.
综上可知，a 的取值范围为(－2，)．
(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3 的值域为[2，＋∞)，
又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，
则有u(x)min＝3－a2＝2，
解得a＝±1.
【典例2】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，∴a＝－1，
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这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0 得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．
令u(x)＝－x2＋2x＋3.
则u(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
又y＝log4u 在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值是0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3 应有最小值1，显然a≠0，
因此应有 解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0.
【典例3】已知函数f(x)＝loga是奇函数(a＞0，a≠1)．
(1)求m 的值；
(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性；
(3)当a＝时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞＋b 恒成立，求实数b 的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)在其定义域内恒成立，
即loga＝－loga，
∴1－m2x2＝1－x2恒成立，
∴m＝－1 或m＝1(舍去)，即m＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝loga(a＞0，a≠1)，
令u＝＝1＋，则u 在(1，＋∞)上为减函数．
∴当a＞1 时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数；
当0＜a＜1 时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
(3)对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞＋b 恒成立⇔f(x)－＞b 在[3，4]上恒成立．
令g(x)＝f(x)－，
由(2)知，g(x)在[3，4]上是单调递增函数，
所以b＜g(x)min＝g(3)＝－，
即b 的取值范围是.
【题型四】比较指数式、对数式大小
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【典例1】设a＝log3e，b＝e1.5，c＝
，则( )
A．b<a<c
B．c<a<b
C．c<b<a
D．a<c<b
【解析】c＝
＝log34>log3e＝a.
又c＝log34<log39＝2，b＝e1.5>2，
∴a<c<b.
故选D.
【典例2】设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则( )
A．b<c<a
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<b<a
【解析】因为a，b，c 都是正数，
所以＝log36＝1＋log32，
＝log612＝1＋log62，
＝log1224＝1＋log122，
因为log32＝，
log62＝，
log122＝，且lg 3<lg 6<lg 12，
所以log32>log62>log122，
即>>，
所以a<b<c.故选C.
【典例3】设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则( )
A．a>b>c
B．b>c>a
C．a>c>b
D．c>b>a
【解析】a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，
∵log43>log53>log63，∴a>b>c.
故选A.
【题型五】解对数方程、不等式
【典例1】方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
【解析】原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又
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x>1，所以x＝.
【典例2】已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0 成立，则实数x 的取值范围是____________．
【解析】原不等式⇔①
或②
解不等式组①得<x<，不等式组②无解．
所以实数x 的取值范围为.
【典例3】若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，a≠1)，则实数a 的取值范围是 ．
【解析】依题意loga(a＋1)<loga(2)<loga1，
∴或
解得<a<1.
【题型六】对数函数性质的综合应用
【典例1】设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
【解析】f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln
＝ln＝ln，
∵y＝1＋在上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．
【典例2】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )
A．[1,2)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【解析】令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数f(x)在
(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
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【典例3】已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a 的取值范围是____________
【解析】当x≥1 时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x<1 时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a 必须是增函数，且
最大值大于或等于1 才能满足f(x)的值域为R，可得
解得a∈(1,2]．
三、【培优训练】
【训练一】已知loga(a＋1)<log(a＋1)a(a>0 且a≠1)，则a 的取值范围是 ．
【解析】∵loga(a＋1)－log(a＋1)a
＝－
＝
＝
当a>1 时，lg(a＋1)>lg a>0，
∴loga(a＋1)>log(a＋1)a，不符合题意；
当0<a<1 时，lg a<0，lg(a＋1)>0，
lg(a＋1)－lg a＝lg>lg 1＝0，
lg(a＋1)＋lg a＝lg [a(a＋1)]
＝lg，
∴loga(a＋1)<log(a＋1)a(0<a<1)
即为lg>0，
由于y＝lg x(x>0)单调递增，
∴2－>1.
又0<a<1，解得<a<1，
综上有a 的取值范围是.
【训练二】已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．
(1)当k＝－4 时，解不等式f(x)>2；
(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x 的方程f(x)＝x－2m 有实根，求实数m 的取值范围．
【解析】(1)当k＝－4 时，f(x)＝log2(2x－4)．
由f(x)>2，
得log2(2x－4)>2，
得2x－4>4，
得2x>8，
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解得x>3.
故不等式f(x)>2 的解集是(3，＋∞)．
(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，
所以f(0)＝1，
即log2(1＋k)＝1，
解得k＝1.
所以f(x)＝log2(2x＋1)．
因为关于x 的方程f(x)＝x－2m 有实根，
即log2(2x＋1)＝x－2m 有实根．
所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x 有实根．
令g(x)＝log2(2x＋1)－x，
则g(x)＝log2(2x＋1)－x
＝log2(2x＋1)－log22x
＝log2＝log2.
因为1＋>1，log2>0，
所以g(x)的值域为(0，＋∞)．
所以－2m>0，
解得m<0.
所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．
【训练三】已知函数f(x)＝lg.
(1)计算：f(2 020)＋f(－2 020)；
(2)对于x∈[2,6]，f(x)<lg 恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】(1)由>0，得x>1 或x<－1.
∴函数的定义域为{x|x>1 或x<－1}．
又f(x)＋f(－x)＝lg＝0，
∴f(x)为奇函数．
故f(2 020)＋f(－2 020)＝0.
(2)当x∈[2,6]时，f(x)<lg 恒成立可化为<恒成立．
即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．
又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.
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∴当x＝4 时，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.
即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．
【训练四】设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D 内是单调增函数；②存在[m，
n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D 的“成功函
数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0 且a≠1)是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【解析】因为g(x)＝loga(a2x＋t)是定义在R 上的“成功函数”，
所以g(x)为增函数，且g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，故g(m)＝m，g(n)＝n，
即g(x)＝x 有两个不相同的实数根.
又loga(a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.
令s＝ax，s>0，
即s2－s＋t＝0 有两个不同的正数根，
可得
解得0<t<.
【训练五】已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；
(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；
(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；
(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是________.
【解析】零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.
令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，
可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2 的图象的交点个数问题.
对于(1)，当k＝0 时，y2＝2 与y1＝|lg x|的图象有两个交点，(1)正确；
对于(2)，存在k<0，使y2＝kx＋2 与y1＝|lg x|的图象相切，(2)正确；
对于(3)，若k<0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2 的图象最多有2 个交点，(3)错误；
对于(4)，当k>0 时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)图象的切线，此时共有两个交点，当
直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3 个交点，故(4)正确.
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【训练六】已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k 的取值范围.
【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x
＝2－2(log2x－1)2.
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t 对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0 时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15 的最小值为－3.
所以k<－3.
综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3).
四、【强化测试】
【单选题】
1. 已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．b<c<a
【解析】∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.
2. 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x B. C．
D．2x－2
【解析】函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，
所以a＝2.
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故f(x)＝log2x.故选A.
3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－
m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等
是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
【解析】由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度
为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，则lg ＝－25.25，∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，
∴＝1010.1.故选A.
4. 若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b 为常数，则函数g(x)＝ax＋b 的图象大
致是( )
【解析】由f(x)的图象可知0<a<1,0<b<1，
∴g(x)的图象应为D.
5. 设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2)
B．f(a＋1)<f(2)
C．f(a＋1)＝f(2)
D．不能确定
【解析】由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，
＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．故选A.
6. 若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )
A．0<a<1
B．0<a<2，a≠1
C．1<a<2
D．a≥2
【解析】当a>1 时，y 有最小值，则说明x2－ax＋1 有最小值，故x2－ax＋1＝0 中Δ<0，即a2
－4<0，所以2>a>1.
当0<a<1 时，y 有最小值，
则说明x2－ax＋1 有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C．
7. 已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx 是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32 的解集为( )
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A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，1)
【解析】由f(x)＝log3(9x＋1)＋mx 是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x
＋1)＋mx，变形可得m＝－1，
即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R 上为增函数，且
g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x<log32⇒g(x)<g(0)，则有x<0，即不等式的解集为(－∞，
0)．故选C．
8. 设函数f(x)＝则满足f(x)≤2 的x 的取值范围是( )
A．[－1，2]
B．[0，2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
【解析】当x≤1 时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1 时，1－log2x≤2，解得x≥，所以
x>1.综上可知x≥0.故选D.
【多选题】
9. 已知a，b>0 且a≠1，b≠1，若logab>1，则( )
A．(a－1)(a－b)<0
B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0
D．(b－1)(b－a)>0
【解析】①当a>1 时，logab>1＝logaa，
∴b>a，∴b>a>1，
∴(a－1)(a－b)<0.
②当0<a<1 时，logab>1＝logaa，∴b<a，
∴0<b<a<1，
∴b－1<0，b－a<0，
∴(b－1)(b－a)>0.
故选AD.
10. 已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y 轴对称
C．f(x)的最大值为0
D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增
【解析】f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，
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∴A 错误，B 正确；
根据f(x)的图象(图略)可知D 错误；
∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故C 正确．
故选BC.
11. 已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则( )
A．f(x)在(2，6)上单调递增
B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2，6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4 对称
【解析】f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则
y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，
所以f(x)的图象关于直线x＝4 对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4 时，
t 有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD．
12. 在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b 与g(x)＝logbx 的图象如图，则下列关系不正确的是(
)
A．k＜0，0＜b＜1
B．k＞0，b＞1
C．fg(1)＞0(x＞0)
D．x＞1 时，f(x)－g(x)＞0
【解析】由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A，B 不正确；而g(1)＝0，故C 不正确；而
当x＞1 时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0.所以D 正确．故选ABC.
【填空题】
13. 设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
【解析】因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，
所以m＝.
答案：
14. 已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A 的坐标为________；若
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点A 也在函数f(x)＝3x＋b 的图象上，则f(log32)＝________．
【解析】令x＋3＝1 可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，可知定点A 的坐标为.点A 也在函数
f(x)＝3x＋b 的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝3log32－1＝
2－1＝1.
答案： 1
15. 已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．
【解析】由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝当x>1 时，y＝ln x＋
2>2；当x≤1 时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．
答案：2 (－2，e－2]∪(2，＋∞)
16. 已知函数f(x)＝－log2x，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)
①函数f(|x|)为偶函数；
②若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1；
③函数f(－x2＋2x)在(1，3)上单调递增．
【解析】对于①，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函
数，故①正确；对于②，若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，即－
log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得到ab＝1，故②正确；对于③，函数f(－x2＋2x)
＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x>0，解得0<x<2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0，2)，因
此在(1，3)上不具有单调性，故③错误．
答案：①②
【解答题】
17. 已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
【解析】(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3<u<3)，
所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3<x<3)．
(2)f(x)是奇函数，理由如下：
因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．
18. 设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0 且a≠1)，且f(1)＝2.
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(1)求实数a 的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
【解析】(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.
由得－1<x<3，
所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在区间上的最大值是f(1)＝log24＝2.
19. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0 时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
【解析】(1)当x＜0 时，－x＞0，
则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
所以x＜0 时，f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)＞－2 可化为
f(|x2－1|)＞f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0＜|x2－1|＜4，解得－＜x＜且x≠±1，
而x2－1＝0 时，f(0)＝0＞－2，所以x＝1 或x＝－1.
所以－＜x＜.
所以不等式的解集为{x|－＜x＜}.
20. 当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax 恒成立，求a 的取值范围？
【解析】设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，
要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax 恒成立，
只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax 的图象的下方即可.
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当0＜a＜1 时，显然不成立.
当a＞1 时，如图所示，
要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax 的图象的下方，
只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，
所以loga2≥1，解得1＜a≤2.
21. 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0 且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1 时，求使f(x)>0 的x 的解集．
【解析】(1)f(x)是奇函数，证明如下：
因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
所以
解得－1<x<1，f(x)的定义域为(－1,1)．
f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(－x＋1)]＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为当a>1 时，y＝loga(x＋1)是增函数，
y＝loga(1－x)是减函数，
所以当a>1 时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
f(x)>0 即loga(x＋1)－loga(1－x)>0，
loga>0，>1，>0，
2x(1－x)>0，解得0<x<1，
故使f(x)>0 的x 的解集为(0,1)．
22. 已知f(x)＝lg，f(1)＝0，当x>0 时，恒有f(x)－f＝lgx.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝lg(m＋x)的解集是∅，求实数m 的取值范围．
【解析】(1)∵当x>0 时，f(x)－f＝lgx 恒成立，
∴lg－lg＝lgx，即(a－b)x2－(a－b)x＝0.
∵x≠0，∴上式若恒成立，则只能有a＝b，
又f(1)＝0，即a＋b＝2，从而a＝b＝1，∴f(x)＝lg.
(2)由lg＝lg(m＋x)知
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即
由于方程的解集为∅，故有如下两种情况：
①方程x2＋(m－1)x＋m＝0 无解，即Δ<0，
解得3－2<m<3＋2；
②方程x2＋(m－1)x＋m＝0 有解，两根均在区间[－1，0]内，令g(x)＝x2＋(m－1)x＋m，则有
即无解．
综合①②知，实数m 的取值范围是{m|3－2<m<3＋2}．
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