文档文本内容
第17 讲 等比数列
目 录
题型01 等比数列通项公式基本量计算及性质应用
题型02 等比数列前n 项和公式及基本量计算
题型03 等比数列中an 与Sn 的关系
题型04 等比数列前n 项和公式的重要性质
题型05 等比数列中的函数性质
题型06 等比数列的证明
强化训练（共11 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 等比数列通项公式基本量计算及性质应用
题型点拨
（1）等比数列的通项公式
设等比数列
的首项为
，公比为
，则它的通项公式
．
（2）推广形式：
（3）等比中项：如果
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项．
即
是
与
的等比中项 ⇔
，
，
成等比数列 ⇒
．
（4）等比中项的推广：若m+n=r + s时，则aman=ar as，特别地，当m+n=2r时，aman=ar
2．其中
m,n,r ,s∈N
*．
（5）①设{an}为等比数列，则{λ an}（λ为非零常数），{|an|}仍为等比数列；当m∈Z，或在各项
an
m均有意义的前提下，数列{an
m}仍为等比数列，其公比为q
m．
②设
与
为等比数列，则
也为等比数列．
（6）若
，
（项数相同）是等比数列，则
，
，
，
，
仍是等比
数列．
（7）在等比数列
中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
为
等比数列，公比为q
k，其中k ∈N
*．
【典例1】（25-26·广东）已知等比数列
的前3 项积为8，
，
，则
等于（ ）
A．4
B．
C．16
D．2
【变式1】已知等比数列
的公比大于1，且
，则
的最小值为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．38
题型2 等比数列前n 项和公式及基本量计算
题型点拨
等比数列的前n 项和公式
等比数列
的公比为
，其前
项和为
注：①等比数列的前
项和公式有两种形式，在求等比数列的前
项和时，首先要判断公比
是否为1，
再由
的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比
是否为1 时，要分
与
两种情况讨论求
解．
②已知
（项数），则利用
求解；已知
，则利用
求
解．
③
，
为关于
的指数型函数，且系数与常数互为
相反数．
【典例1】已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．16
B．32
C．27
D．81
【变式1】（25-26·甘肃白银）已知等比数列
的前
项和为
，且
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．64
D．32
题型3 等比数列中an 与Sn 的关系
题型点拨
【典例1】已知数列
的前
项和
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】记
为数列
的前
项和，若
，则
．
题型4 等比数列前n 项和公式的重要性质
题型点拨
（1）公比不为－1 的等比数列
的前
项和为
，则
，
，
仍成等比数列，其公比
为
．
（2）
为等比数列，若
，则
成等比数列．
（3）当
，
时，
是
成等比数列的充要条件，此时
．
【典例1】（25-26·河南南阳）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．56
B．105
C．112
D．189
【变式1】（25-26·海南省直辖县级单位）设公比小于零的等比数列
的前
项和为
，
，且
，则
（ ）
A．243
B．216
C．81
D．27
题型5 等比数列中的函数性质
题型点拨
1、等比数列
的单调性（等比数列的单调性由首项
与公比
决定）．
当
或
时，
为递增数列；
当
或
时，
为递减数列．
当q =1时，{an}为常数列；
当q<0时，由于各项正负交替，{an}既不是递增数列，也不是递减数列。
2、
与
的关系
（1）当公比
时，等比数列的前
项和公式是
，
它可以变形为
，设
，则上式可以写成
的形式，
由此可见，数列
的图象是函数
图象上的一群孤立的点；
（2）当公比
时，等比数列的前
项和公式是
，则数列
的图象是函数
图象上
的一群孤立的点。
3、
与
的关系
当公比
时，等比数列的前
项和公式是
，它可以变形为
设
，
，则上式可写成
的形式，则
是
的一次函数。
【典例1】（25-26·四川）若等比数列
的前
项和为
，则“
”是“
单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（25-26·吉林松原）设公比为q 的等比数列
的前n 项和为
，前n 项积为
，且
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列
无最大值
C．
是数列
中的最大值
D．
题型6 等比数列的证明
题型点拨
等比数列的判定方法
1、定义法：an+1
an
=q（常数），且an≠0(n∈N
*)，⇒{an}为等比数列；
2、中项法：
（
）
为等比数列；
3、通项公式法：an=k q
n,k q≠0或an=k q
n−1（其中k ≠0,q≠0）⇒{an}为等比数列.
【典例1】（25-26·广东江门）记数列
的前
项和为
，已知
.
(1)证明：数列
为等比数列；
【变式1】（25-26·广东江门）数列
满足
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
强化训练（共11 题）
1．（25-26·福建）在等比数列
中，
，若
，
，
成等差数列，则
的公比为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（25-26·江苏苏州）已知
为等比数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．0
B．3
C．
D．12
3．（25-26·江苏南京）记
为等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1 或
D．
或
4．（25-26·黑龙江哈尔滨）对于等比数列
，则“
”是“数列
为单调递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（25-26·安徽合肥）已知等比数列
的前n 项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．40
C．30 或
D．
或40
6．（25-26·山西吕梁）数列
的通项公式为
，当
的前n 项积最大时，n 为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．（25-26·浙江湖州）已知数列
的前n 项和为
，若
，且
（
），则（ ）
A．
为等比数列
B．
为等差数列
C．
为等比数列
D．
为等
差数列
8．（25-26·北京昌平）设无穷等比数列
的公比为
，前
项积为
，则“
有最大值”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，且满足条件
，
，
，则下列选项不正确的是（ ）
A．
为递减数列
B．
C．
是数列
中的最大项
D．
10．（25-26·福建宁德）已知数列
中，
.
(1)若
依次成等差数列，求
；
(2)若
，证明：数列
为等比数列；
11．（25-26·广东东莞）已知
为数列
的前n 项和，且
（
）．
(1)证明数列
为等比数列；
知识小测（共5 题）
1．（25-26·北京海淀）在等比数列
中，已知
，则n 为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
2．（25-26·福建龙岩）已知
是等比数列，
，
，则
（ ）
A．10
B．
C．6
D．
或6
3．已知实数
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设等比数列
的前n 项和为
.已知
，
，则
.
5．（25-26·黑龙江哈尔滨）已知等比数列
中，
，则公比
（ ）
A．2
B．4
C．16
D．
