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专题11 等差数列与等比数列
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 数列的有关概念
1、数列的定义及表示
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项
间的大小
关系分类
递增数列
其中n∈N*
递减数列
常数列
1
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按其他标
准分类
有界数列
存在正数M，使
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列
对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列的通项公式：如果数列
的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列
的首项(或前几项)，且任一项
与它的前一项
(或前几
项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
知识点2 等差数列
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：
(
，
为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b 组成等差数列，则A 叫做a，b 的等差中项．
3、通项公式与前n 项和公式
（1）通项公式：
．
（2）前项和公式：
．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差
时，等差数列的通项公式
是关于
的一次函数，
且一次项系数为公差
.若公差
，则为递增数列，若公差
，则为递减数列．
②前n 项和：当公差
时，
是关于
的二次函数且常数项为0.
知识点3 等差数列的性质
已知数列
是等差数列，
是其前
项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：
．
（2）若
，则
．
（3）若
的公差为d，则
也是等差数列，公差为
．
（4）若
是等差数列，则
也是等差数列．
2、等差数列前
项和的性质
2
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（1）
；
（2）
；
（3）两个等差数列
，
的前n 项和
，
之间的关系为
.
（4）数列
，
，
，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为
，则
，
；
（2）若项数为
，则
，
，
，
.
知识点4 等比数列
1、等比数列的定义
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
表示。
（2）数学语言表达式：
(
，
为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项，其中
.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n 项和公式
（1）通项公式：若等比数列
的首项为
，公比是
，则其通项公式为
；
通项公式的推广：
.
（2）等比数列的前
项和公式：当
时，
；当
时，
.
知识点5 等比数列的性质
已知
是等比数列，
是数列
的前
项和．
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
，
，
，…仍是等比数列，公比为
.
（2）若
，
（项数相同）是等比数列，则
，
，
，
，
仍是等比数
列．
3
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（3）若
，则有
口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若
是等比数列，且
，则
（
且
）是以
为首项，
为公差的
等差数列。
（5）若
是等比数列，
，则
构成公比为
的等比数列。
2、等比数列前
项和的性质
（1）在公比
或
且
为奇数时，
，
，
，……仍成等比数列，其公比为
；
（2）对
，有
；
（3）若等比数列
共有
项，则
，其中
，
分别是数列
的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前
项和
，令
，则
（
为常数，且
）
重难点01 等差数列前n 项和最值求法
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n 配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次
函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
【典例1】（23-24 高三下·辽宁葫芦岛·二模）等差数列
中，
，
，则使得前n 项的和最大
的n 值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【典例2】（23-24 高三下·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
是等差数列，
是其前
项的和，则下列结
论错误的是（ ）
A．若
，则
取最小值时
的值为12
B．若
，则
的最大值为108
C．若
，则必有
D．若首项
，
，则
取最小值时
的值为9
4
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重难点02 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n 项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
【典例1】（23-24 高二上·天津武清·月考）若等差数列
的首项
，
，记
，则
．
【典例2】（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）已知数列
的前n 项和为
.若
为等差数列，且满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
.
一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数
列)等方法.
2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征
和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用
或
，
处理.
【典例1】（23-24 高三上·山东泰安·开学摸底）已知数列1，
，
，
，3，…，按此规律，
是该
数列的（ ）
A．第11 项
B．第12 项
C．第13 项
D．第14 项
【典例2】（23-24 高三下·贵州黔南·二模）
，数列1，
，7，
，31，
的一个通项公式为
（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
【典例3】（23-24 高三下·广东梅州·一模）
.
二、数列周期性解题策略
1、周期数列的常见形式
（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而
求有关项的值或者前
项的和．
【典例1】（23-24 高三下·山东济宁·三模）已知数列{an}中，
，
则
（ ）
A．−2
B．
C．1
D．2
【典例2】（23-24 高三下·辽宁·模拟预测）数列
中，
，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【典例3】（23-24 高三下·重庆·开学考试）已知数列
满足
，
，则
的前
项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、求数列最大项或最小项的方法
（1）将数列视为函数
当x∈N*时所对应的一列函数值，根据
的类型作出相应的函数图象，或利用
求函数最值的方法，求出
的最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）通过通项公式
研究数列的单调性，
利用
确定最大项，利用
确定最小项．
（3）比较法：
6
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①若有
（或
时，
），
则
，即数列
是递增数列，所以数列
的最小项为
；
②若有
（或
时，
），
则
，即数列
是递减数列，所以数列
的最大项为
．
【典例1】（23-24 高三下·山东济南·二模）已知
是各项均为正整数的递增数列，
前
项和为
，
若
，当
取最大值时，
的最大值为（ ）
A．63
B．64
C．71
D．72
【典例2】（23-24 高三下高三·全国·专题练习）已知数列{an}的通项公式为
，则此数列的最
大项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（23-24 高三下·上海·模拟预测）数列
的最小项的值为 .
四、等差数列的基本运算的解题策略
1、等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体
现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用
它们表示已知量和未知量是常用方法．
【典例1】（23-24 高三下·新疆·二模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·江苏南京·月考）已知公差大于0 的等差数列
的前6 项和为
，
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【典例3】（23-24 高三下·内蒙古包头·三模）设
为等差数列
的前n 项和，若
，
，若
时，
，则
等于（ ）
A．11
B．12
C．20
D．22
7
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五、等差数列的判定与证明的方法
1、定义法：
或
是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足
；
3、等差中项法：
为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如
为常数
为等差数列；
5、前n 项和公式法：
为常数
为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项
，使得
即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
【典例1】（23-24 高三下高三·全国·专题练习）已知数列
满足
．证明：数列
是等差数列；
【典例2】（23-24 高二下·江苏·月考）数列
的前
项和为
，且
，当
时，
.
(1)计算：
，
；
(2)证明
为等差数列，并求数列
的通项公式；
【典例3】（23-24 高三下·江苏南通·二模）设数列
的前
项和为
，若
，
.
(1)求
，
，并证明：数列
是等差数列；
(2)求
.
8
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六、等差数列 性质的应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n 时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【典例1】（23-24 高三下·广西柳州·模拟预测）在等差数列
中，若
，则
（ ）．
A．7
B．12
C．16
D．24
【典例2】（24-25 高三上·广东·联考）在等差数列
中，若
，则
的值为
（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
【典例3】（23-24 高三下·云南·月考）已知
为等差数列
的前n 项和，
，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
七、等差数列的前n 项和常用的性质应用
1、等差数列的依次k 项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d 的等差数列．
2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)⇔数列为等差数列．
3、若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1 时，S 奇－S 偶＝an，＝.
【典例1】（24-25 高三上·广东·开学考试）在等差数列
中，
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·天津南开·月考）已知等差数列
和
的前
项和分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（23-24 高三下高三·全国·专题练习）在等差数列
中，
，其前
项和为
，若
9
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，则
.
八、求解等比数列的基本量常用的思想方法
1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：
，已知其中三个量，
可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q 的方
程或者方程组，是解题的关键．
2、分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当
时，
；当
时，
；在判断等比数列单调性时，也必须对
与
分类讨论．
【典例1】（23-24 高三下·四川凉山·三模）已知
是等比数列
的前n 项和，
，
，则公比
（ ）
A．
B．
C．3 或
D．
或
【典例2】（23-24 高三下·江苏无锡·开学考试）设各项均为正数的等比数列
的前
项和
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．15
D．31
【典例3】（23-24 高三下·辽宁丹东·开学考试）设等比数列{an}的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
或9
B．8 或
C．8 或9
D．
或
九、等比数列的判定与证明常用的方法：
1、定义法：
为常数且
数列
是等比数列．
2、等比中项法：
数列
是等比数列．
3、通项公式法：
数列
是等比数列．
4、前
项和公式法：若数列的前
项和
，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
10
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（2）只满足
的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要
.
【典例1】（23-24 高三下·宁夏银川·二模）已知数列
满足
，
，则下列是
等比数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)求
．
【典例3】（23-24 高三下·重庆·月考）已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
，
，并证明：数列
为等比数列；
(2)求
的值．
十、等比数列的性质及应用
1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n 项和公式的变
形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2 个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若
，则有
”，可以减少运算量，提高解题
速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意
设而不求思想的运用．
【典例1】（23-24 高三下·山东淄博·二模）已知等比数列
则
（ ）
A．8
B．±8
C．10
D．±10
11
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【典例2】（23-24 高三下·广西·二模）设
是等比数列
的前n 项和，若S2=2，
，则
S6
S4
=
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【典例3】（23-24 高三下·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．40
B．-30
C．30
D．-30 或40
十一、等差数列与等比数列的实际应用
解决数列新背景问题的步骤
（1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意；
（2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型；
（3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n 项和.
【典例1】（23-24 高三下·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天
干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由
“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列
到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即
“丙子”，…，依此类推．已知2024 年是甲辰年，则2124 年为（ ）
A．丁辰年
B．癸未年
C．甲午年
D．甲申年
【典例2】（23-24 高三下·云南昆明·模拟预测）每年6 月到9 月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池
塘内某种单瓣荷花的花期为3 天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000 个花蕾，第一天有10 个花蕾开花，
之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2 倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【典例3】（23-24 高三上·河南周口·月考）如图，正方形A1B1C1D1的边长为1，记其面积为
，取其四边
的中点
，
，
，
，作第二个正方形
，记其面积为
，然后再取正方形
各边的
中点
，
，
，
，作第三个正方形
，记其面积为
，如果这个作图过程一直继续下去，记
这些正方形的面积之和
，则面积之和将无限接近于（ ）
12
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A．
B．2
C．
D．4
易错点1 混淆数列与函数的区别
点拨：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解
数列问题，要注意
的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。
【典例1】（22-23 高三·河南郑州·月考）等差数列
中，
，当
取得最小值时，
n 的值为（ ）
A．4 或5
B．5 或6
C．4
D．5
【典例2】（22-23 高三下·云南·月考）已知等差数列{
}的前n 项和为
，满足
，且
，
则当
取得最小值时，n 的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
易错点2 错误理解等比数列的“中项”概念
点拨：若
成等比数列，则
为
和
的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项，在解
题时务必要注意此点。
【典例1】（23-24 高三下·安徽芜湖·三模）设
，则“
”是“
为
的等比中项”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24 高三上·天津武清·月考）在等比数列
中，
，则
与
的等比中项为
.
易错点3 等比数列求和时忽视对
讨论
13
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点拨：注意等比数列的求和公式是分段表示的：
，所以在利用等比数列求和公式求和
时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1 和q≠1 讨论.
【典例1】（23-24 高三下·山西太原·二模）已知
，
分别是等差数列和等比数列，其前
项和分别
是
和
，且
，
，
，则
（ ）
A．9
B．9 或18
C．13
D．13 或37
【典例2】（23-24 高三上·江西上饶·月考）已知等比数列的前n 项和为，若，，成等差数列，则 ．
14
